Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

1.12 Matrizen
Neben Vektoren, deren Komponenten einen Index tragen, z.B.
⎛ ⎞
( ) b 1
a1
⃗a = , ⃗ b = ⎝ b
a 2
⎠ ,
2
b 3
ist es nützlich auch Matrizen zu betrachten, deren Komponenten zwei Indizes
tragen, also etwa
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
( ) b
a11 a 11 b 12 b 13 c 11 c 12
A = 12
, B = ⎝ b
a 21 a 21 b 22 b 23
⎠, C = ⎝ c 21 c 22
⎠ .
22
b 31 b 32 b 33 c 31 c 32
Definition: Unter einer m × n Matrix A verstehen wir ein Schema
⎛
⎞
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n
A = (a ij ) = ⎜
⎝
.
. . . . . . ..
⎟ . . . ⎠
a m1 a m2 . . . a mn
von m × n Zahlen, bestehend aus m Zeilen und n Spalten. Der erste Index
i = 1, . . ., m bezeichnet die Zeilen, der zweite Index j = 1, . . ., n die Spalten.
In der Physik haben Matrizen zweierlei Anwendungen. Erstens gibt es
physikalische Grössen, die sich in einem gegebenen Koordinatensystem durch
eine Matrix darstellen lassen. Solche Grössen heissen Tensoren zweiter Stufe.
Die Stufe eines Tensors ist dabei die Anzahl Indizes, ein Vektor ist also ein
Tensor erster Stufe. Ein Beispiel für einen Tensor ist der Trägheitstensor,
welcher beschreibt was für ein Drehimpuls resultiert, wenn ein starrer Körper
um eine bestimmte Achse rotiert wird.
Zweitens können Matrizen lineare Abbildungen (Drehungen und Streckungen)
von Vektoren beschreiben. Matrizen können also dazu benutzt werden
um die Komponenten eines Vektors in einem neuen Bezugssystem auszurechnen,
wie wir unten sehen werden.
1.12.1 Eigenschaften und Rechenregeln
1) Gleicheit zweier Matrizen A und B:
A = B ⇐⇒ a ij = b ij ∀ i, j
Beachte: A und B müssen gleichen Typs m × n sein.
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