Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

“Orthonormalsystem ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 ”
Die drei Vektoren ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 bilden (im 3 dimensionalen Raum) ein vollständiges System,
d.h. jeder Vektor ⃗a lässt sich als Linearkombination von ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 schreiben:
3∑
⃗a = a 1 ⃗e 1 + a 2 ⃗e 2 + a 3 ⃗e 3 = a i ⃗e i
Begründung: Definiere ⃗ ∆ durch
i=1
Dann gilt:
⃗a = (⃗a · ⃗e 3 )⃗e 3 + (⃗a · ⃗e 2 )⃗e 2 + ⃗ ∆
⃗∆ · ⃗e 3 = ⃗ ∆ · ⃗e 2 = 0
=⇒ ⃗ ∆ ist parallel zu ⃗e 1 ,
=⇒ ⃗ ∆ = x⃗e 1 | · ⃗e 1
⃗∆ · ⃗e 1 = x = [⃗a − (⃗a · ⃗e 3 )⃗e 3 − (⃗a · ⃗e 2 )⃗e 2 ] · ⃗e 1 =⇒ x = ⃗a · ⃗e 1
Also zusammengefasst:
⇒ ⃗a = (⃗a · ⃗e 1 )⃗e 1 + (⃗a · ⃗e 2 )⃗e 2 + (⃗a · ⃗e 3 )⃗e 3
⇒ ⃗a als LK von ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 dargestellt. □
⃗a = a 1 ⃗e 1 + a 2 ⃗e 2 + a 3 ⃗e 3 =
3∑
a i ⃗e i
Die reellen Zahlen a k heissen Komponenten von ⃗a (bezüglich ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 ). Die
Zerlegung ist eindeutig: Sei
i=1
⃗a = a 1 ⃗e 1 + a 2 ⃗e 2 + a 3 ⃗e 3
⃗a · ⃗e k = a k □
Für gegebene Basis ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 :
⎛
⎞
⃗a
⎝ Basisunabhängiges ⎠ ←→
Objekt
⎛
⎝
| · ⃗e k
(a 1 , a 2 , a 3 )
“Darstellung von ⃗a”
bezüglich gegebener Basis
Studiere folgende andere Schreibweise der obigen Rechnung:
⎞
⎠
⃗a = ∑ i
a i ⃗e i
| · ⃗e k
⃗a · ⃗e k
= ∑ i
= ∑ i
a i (⃗e i · ⃗e k )
a i δ ik = a k (1.1)
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