Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

integrieren können. Durch Integration auf beiden Seiten erhält man
∫
y(x)e A (x) = dxβ(x)e A (x) + C 2 ,
y(x) = e −A(x) { ∫ dxβ(x)e A(x) + C 2
}
Damit haben wir die allgemeine Lösung explizit konstruiert. Es scheint allerdings,
dass diese zwei Integrationskonstante C 1 und C 2 aufweist. Durch
explizites Auswerten sieht man aber, dass die Lösung nur von einer Kombination
abhängt:
∫
y(x) = e
{C −Â(x) +
dxβ(x)eÂ(x) }
,
wobei C = e −C 1
C 2 und Â(x) die Stammfunktion mit C 1 = 0 ist. Man kann
also ohne Einschränkung der Allgemeinheit C 1 = 0 setzen.
Beispiel: Für die Gleichung
˙v(t) + γv(t) = g .
welche wir im letzten Kapitel diskutiert hatten ist α(t) = γ und β(t) = g
∫
A(t) = dtγ = γt ,
∫ )
v(t) = e
(C −γt + dt ge γt = Ce −γt + g/γ .
Wir reproduzieren also unser früheres Resultat (6.14).
6.2.3 Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
Wir lösen nun die allgemeine homogene lineare Gleichung (6.17) im einfachen
Fall, wo die Koeffizienten konstant sind:
d n y(t)
dt n
+ A n−1
d n−1 y(t)
dt n−1
+ · · · + A 1
dy(t)
dt
+ A 0 y(t) = 0 . (6.16)
Die Gleichung n-ter Ordnung hat eine Lösungsschar mit n Parametern, d.h.
n Integrationskonstanten.
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