Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Die Lösung erhält man, indem man die Gleichung durch f(y) dividiert
und beide Seiten integriert:
∫
dx dy ∫
1
dx f(y) = dxg(x) + C .
Es genügt dabei eine Integrationskonstante einzuführen, denn was zählt ist
die Differenz zwischen den Integrationskonstanten auf beiden Seiten. Auf der
linken Seite wechselt man nun die Integrationsvariable von x auf y(x). Der
Variablenwechsel bringt das Integral auf die Form
∫
dy dx ∫
dy 1
= dxg(x) + C ,
dy dx f(y)
∫ ∫
1
=⇒ dy = dxg(x) + C . (6.25)
f(y)
Nach der Bestimmung der Stammfunktion muss man die Gleichung nach y
auflösen, um die Lösung zu erhalten.
Eine Methode sich zu merken, welches Integral man ausrechnen muss,
ist die Ableitung y ′ (x) = dy als Bruch dy dividiert durch dx zu lesen und
dx
Gleichung (6.24) in der Form
dy
f(y) = dxg(x)
zu schreiben und dann links und rechts ein Integralzeichen hinzusetzen. Mathematisch
macht das wenig Sinn, aber diese Eselsbrücke liefert das korrekte
Integral (6.25).
Beispiele:
i) Für y ′ (x) = sin(y(x)) lautet das Integral
∫
∫
1
dy = dx + C = x + C ,
cos 2 (y)
tan(y) = x + C ,
y = arctan(x + c)
ii) Für y ′ (x) = f(x)y lautet das Integral
∫
dy 1 ∫
= dxf(x) + C = F(x) + C ,
y
ln(y) = F(x) + C ,
y = e F(x)+C
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