Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

7.2 Funktionen von drei (oder mehr) Variablen
⃗x = (x, y) = (x 1 , x 2 ) −→ ⃗x = (x 1 , x 2 , x 3 )
F(⃗x) = F(x 1 , x 2 ) −→ F(⃗x) = F(x 1 , x 2 , x 3 )
Verallgemeinerung von 7.1 unproblematisch:
• partielle Ableitung
•
Bsp.:
∂F(x 1 , x 2 , x 3 )
∂x 1
⃗∇F =
= ∂F
∂x 1
∣ ∣∣∣x2
,x 3
≡ ∂ x1 F ≡ ∂ 1 F
( ∂F
∂x 1
, ∂F
∂x 2
, ∂F
∂x 3
)
; Gradient
skalares Feld F −→ Vektorfeld ⃗ ∇F
F = α⃗x 2
⃗∇F = 2α⃗x
F = konst. =⇒ α⃗x 2 = konst. =⇒ Kugelfläche mit Radius √ konst./α
⃗∇ F steht senkrecht auf der Kugelfläche .
• Taylorentwicklung 1. Ordnung:
F(⃗x 0 + −→ δx) = F(x 01 + δx 1 , x 02 + δx 2 , x 03 + δx 3 )
3∑ ∂F
≃ F(⃗x 0 ) + (⃗x 0 ) δx i
∂x i
i=1
= F(⃗x 0 ) + ⃗ ∇F(⃗x 0 ) · −→ δx
⃗∇F zeigt die Richtung an, in welcher F am schnellsten zunimmt.
• ⃗ ∇F steht senkrecht zu den Flächen mit F =konst. [genauer: ⃗ ∇F steht
senkrecht auf den Tangentialebenen an F =konst.]
• Kettenregel: Vergleiche Kapitel 7.1.3.
d
3∑
dt F[⃗x(t)] = ∂F dx i
∂x i dt = ∇F ⃗ · ˙⃗x
i=1
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