Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Beweis von Satz I: Weg C parametrisieren: ⃗x = ⃗x(u)
d
du φ[⃗x(u)] K.R.
= ∂φ dx 1
∂x 1 du + ∂φ dx 2
∂x 2 du + ∂φ dx 3
∂x 3 du
= ∇φ ⃗ · d⃗x
du
∫ ⃗xb
∫ ub
∫ ub
d⃗x · ⃗∇φ = du d⃗x
⃗x a u a
du · ⃗∇φ[⃗x(u)] = du dφ
u a
du
= φ[⃗x(u b )] − φ[⃗x(u a )] = φ[⃗x b ] − φ[⃗x a ] . □
Anwendungen in der Mechanik:
1. Das Kraftfeld ⃗ F(⃗x) sei ein Gradientfeld:
⃗F(⃗x) = − ⃗ ∇V (⃗x) .
Die Arbeit längs eines Weges C lässt sich dann in der Potenzialdifferenz
ausdrücken:
∫ ⃗xb
⃗x a
d⃗x · ⃗F[⃗x] = − [V (⃗x b ) − V (⃗x a )] : wegunabhängig
Das Minuszeichen vor der eckigen Klammer auf der rechten Seite ist
eine Folge des Minuszeichens in der Relation ⃗ F = − ⃗ ∇V .
Vorzeichen: Kraftfeld leistet positive Arbeit bei Verschiebung in Richtung
des abnehmenden Potenzials.
δܵ
2. Bewegung unter dem Einfluss eines Gradientfeldes:
m¨⃗x = ⃗ F tot (⃗x) = − ⃗ ∇V (⃗x)
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