Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Betrachte f(u n , ∆u) im Limes ∆u → 0:
∆u→0
f(u n , ∆u) ————-→ d⃗x
∣
du
· ⃗F[⃗x(u n )] = ⎢
d⃗x(u)
⎣ du · ⃗F[⃗x(u)]
⎥
⎦
} {{ }
φ(u)
∣
u = un
wobei φ(u) eine skalare Funktion ist. Zusammengefasst:
∑
A = ∆u φ(u n ) : Riemann-Summe!
A =
lim
∆u→0
∫ ub
n
u a
du φ(u) =
∫ ub
u a
⎡
du d⃗x(u)
du · ⃗F[⃗x(u)] .
⎤
u=u n
Das Linienintegral ist somit zurückgeführt auf ein bestimmtes Integral über
einen Parameter u (“Kurvenparameter”).
Beispiel: ⃗ F(⃗x) = (0, −x 1 , 0).
C :
Parameterdarstellung von C:
Viertelkreis
x 2 1 + x2 2 = 1
x 3 = 0 .
⃗x(u) = (cosu, sinu, 0)
d⃗x
= (− sin u, cosu, 0)
du
⃗F[⃗x(u)] = (0, − cosu, 0)
ܾ
Ü
Ü
Ù Ü
φ(u) = d⃗x
du · ⃗F[⃗x(u)] = (− sin u, cosu, 0) · (0, − cosu, 0) = − cos 2 u
∫ ⃗xb
⃗x a
d⃗x · ⃗F(⃗x) =
∫ π/2
0
du (− cos 2 u) = − π 4 .
ܽ
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