Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

4 Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen spielen in der Physik eine wichtige Rolle. Im Folgenden
wird davon ausgegangen, dass im bisherigen Unterricht komplexe Zahlen eingeführt
wurden. Interessierte finden bei www.wikipedia.org unter dem Stichwort
Komplexe Zahlen eine gut lesbare Darstellung. Hier werden nur wichtige
Eigenschaften kurz diskutiert.
1) Definition: Als komplexe Zahlen bezeichnet man Objekte der Form
z = α + iβ ,
wobei α, β beliebige reelle Zahlen sind. Man nennt α (β) den Realteil
(Imaginärteil) der komplexen Zahl z. Die imaginäre Einheit i ist ein
Objekt mit der Eigenschaft i 2 = −1.
2) Gauss’sche Zahlenebene: Definiere die komplexe Zahl α + iβ als Punkt
(α, β) in der Ebene IR 2 .
Die Teilmenge der reellen Zahlen (β = 0) bildet die waagrechte Achse,
diejenige der rein imaginären komplexen Zahlen (α = 0) die senkrechte
Achse.
Der Addition zweier komplexer Zahlen z 1 , z 2 entspricht in der Gauss’schen
Zahlenebene die komponentenweise Addition von Vektoren mit den
Komponenten (α 1 , β 1 ), (α 2 , β 2 ).
3) Addition: Die Summe zweier komplexer Zahlen z 1 = α 1 + iβ 1 , z 2 =
α 2 + iβ 2 ist definiert durch
z 1 + z 2 = (α 1 + α 2 ) + i(β 1 + β 2 ) .
4) Multiplikation: Das Produkt zweier komplexer Zahlen z 1 , z 2 ist definiert
durch
z 1 z 2 = (α 1 α 2 − β 1 β 2 ) + i(α 1 β 2 + α 2 β 1 ).
5) Komplexe Konjugation: Die zu z = α + iβ komplex konjugierte Zahl
ist definiert durch
¯z = z ∗ = α − iβ .
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