Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Bsp. 2:
I
Neue Variable:
.
=
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
Unter Verwendung von
∫ ∞
erhält man somit
−∞
I =
dx e −A x2 +B x
dx e −A(x2 − B A x) =
x − B
2 A = z √
A
(A > 0)
∫ ∞
−∞
dx e −A(x− B
2 A) 2 e B2
4 A
x = B
2 A + z √
A
; dx = 1 √
A
dz
I = 1 √
A
∫ ∞
−∞
dz e −z2 · e B2 /(4 A)
dz e −z2 = √ π (ohne Beweis) (5.2)
∫ ∞
−∞
dx e −A x2 +B x =
√ π
A e1 4
Gilt auch für komplexe A, B, sofern ReA > 0.
B 2
A .
5.7 Partielle Integration (unbestimmt)
u = u(x), v = v(x) seien beliebige (differenzierbare) Funktionen.
=⇒
d
dx (u v) = u′ v + u v ′
∫
∫
d
dx (u v) dx = (u ′ v + u v ′ ) dx
∫ ∫
u v + C = u ′ v dx + u v ′ dx
∫
∫
=⇒ u v ′ dx = C + u v − u ′ v dx
Beispiel:
∫
dx }{{} x ·}{{}
e −x ; u = x ; v ′ = e −x ; u ′ = 1 ; v = −e −x .
u v ′
∫
∫
x e −x dx = C − x e −x + dx · 1 · e −x
Kontrolle: differenzieren!
C − x e −x − e −x
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