Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Satz D 1 : Die Funktionen α(t), β(t) seien stetig. Zu vorgegebenen Werten
von t 0 , v 0 gibt es genau eine Lösung der Differentialgleichung (6.4) mit der
Eigenschaft
v(t 0 ) = v 0 . (6.5)
Offenbar gibt es nicht nur eine Lösung zu (6.4), sonst könnten wir den
Wert der Geschwindigkeit zur Zeit t 0 nicht beliebig vorgeben. Andererseits
ist die Lösungsschar auch nicht beliebig gross: Es genügt, den Wert der Geschwindigkeit
zu einem Zeitpunkt t 0 vorzuschreiben, um alles festzulegen.
Man sagt, es liege eine eindimensionale Lösungsschar vor. Wir werden weiter
unten diesen Satz beweisen, indem wir die allgemeine Lösung von (6.4)
explizit herleiten. Die Bedingung (6.5) heisst die zur Dgl. (6.3) gehörende Anfangsbedingung.
Ein analoger Satz zu D 1 gilt für Gleichungen n-ter Ordnung:
in diesem Fall benötigt man nicht nur eine, sondern n Anfangsbedingungen,
um die Lösung eindeutig festzulegen.
Wir kehren wieder zum ursprünglichen Problem (6.3) zurück. Ausserdem
setzen wir der Einfachheit halber in der Bedingung (6.5) t 0 = 0.
i) Es sei γ = g = 0. Dann lautet die Dgl.
˙v = 0 . (6.6)
Die Geschwindigkeit ist in diesem Fall unabhängig von der Zeit, und
die Lösung der Dgl. lautet offenbar
v = c = konstant . (6.7)
Der Satz D 1 ist richtig in diesem Fall: Wir wählen c = v 0 . Dann ist die
Bedingung (6.5) erfüllt und die Lösung ist eindeutig festgelegt. Die oben
erwähnte eindimensionale Schar von Lösungen ist hier parametrisiert
durch die Konstante c (ein Parameter).
ii) Es sei g = 0, γ ≠ 0. Dann lautet die Dgl.
Wir stellen fest, dass jede Funktion
˙v + γv = 0 . (6.8)
v(t) = c e −γt (6.9)
für beliebige Werte der Konstanten c eine Lösung darstellt. Die Differentialgleichung
(6.8) hat also zumindest eine 1-parametrige Schar von
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