Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ)
x 1 = r sin θ cosϕ
x 2 = r sin θ sin ϕ
x 3 = r cos θ
0 ≤ r < ∞ ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ ϕ < 2π .
Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z)
Satz:
x 1 = r cosϕ
x 2 = r sin ϕ
x 3 = z
0 ≤ r < ∞ ; 0 ≤ ϕ < 2π ; −∞ < z < ∞ .
I =
∫
G
ܽ
ܽ
Ü¿
Ö ×ܾ½·Ü¾·Ü¾¿ ÖÜ
È
³ Ö¡×Ò Ü¾
ȼ
Ü¿ Ö×ܾ½·Ü¾ Ö
Ü È
³ Þȼ
∫∫∫
d 3 ∂(x 1 , x 2 , x 3 )
xφ(⃗x) = du dv dw
φ[⃗x(u, v, w)]
G ∂(u, v, w)
′ } {{ }
∣ ∣
mit der Funktionaldeterminante
⎛
Beweis:
D = det ⎝
Ù
Û
∂x 1
∂u
∂x 1
∂v
∂x 1
∂w
∂x 2
∂u
∂x 2
∂v
∂x 2
∂w
⎞
D(u,v,w)
∂x 3
∂u
∂x 3
∂v
∂x 3
∂w
Ü¿ ÃÓÓÖÒØÒÐÒÒ ÈÖÐÐÐÔÔ
Ü´ÙÚÛµ ܾ
⎠ = D(u, v, w)
ÉÙÖ
¡Ú¡Ù
¡Û ¡Î
Ú
ܽ
ܾ
Das Parallelepiped ist durch die Vektoren
∂⃗x
∂u ∆u ,
∂⃗x
∂v ∆v ,
∂⃗x
∂w ∆w
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