Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Im z
4
iφ
z=4+3i = 5 e
−3
−2
3
2
1
−1
−1
0
Laenge = 5
φ
1 2 3 4 5
Re z
−2
−3
−iφ
z=4−3i = 5 e
Abbildung 4.1: Die Gauss’sche Zahlenebene.
6) Betrag: Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert durch
|z| = (α 2 + β 2 ) 1/2 .
Der Betrag |z| ist eine reelle Zahl und gleich der Länge des entsprechenden
Vektors (α, β) in der komplexen Zahlenebene.
7) Die Menge der komplexen Zahlen wird im folgenden mit C bezeichnet.
8) Exponentialform
Die Exponentialdarstellung von komplexen Zahlen ist äusserst nützlich
für Rechnungen. Sie lautet
z = ρe iφ = ρ(cosφ + i sin φ) ; ρ = |z| .
Die Exponentialfunktion wird im Abschnitt 4.1 kurz diskutiert. In Abbildung
4.1 ist tan φ = 3/4 ⇒ φ = 36.7 ◦ , im Bogenmass φ = 36.7 π = 180
0.643.
Die Multiplikation erscheint in dieser Darstellung besonders einfach.
Mit z 1 = ρ 1 e iφ 1
und z 2 = ρ 2 e iφ 2
haben wir
z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(φ 1+φ 2 ) .
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