Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Gewöhnliches Doppelintegral über dem Gebiet G des Parameterraumes (u, v)
[G ↔ Σ]. Siehe Diskussion der Doppelintegrale in Kap.10.
Flächenintegral ↔
Doppelintegral
Linienintegral ↔ Einfaches Integral .
Beispiel: Σ: Halbkugel, Radius R, Zentrum (0, 0, 0), x 3 ≥ 0, d⃗σ nach aussen
gerichtet.
⃗ω(⃗x)
´Üµ
= . (0, 0, x 3 ) ; geg. Vektorfeld.
Ê ÙÜ
¾
¿
(a) Wir wählen die auf S. 81 angegebene Parametrisierung der Kugeloberfläche:
⃗x(u, v) = R(sin u cosv, sinu sin v, cosu)
∂⃗x
= R(cosucosv, cosusinv, − sin u)
∂u
∂⃗x
= R(− sin u sin v, sin u cosv, 0)
∂v
(b)
∂⃗x
∂u × ∂⃗x
∂v = R2 (sin 2 u cosv, sin 2 u sinv, sin u cosu) (= R sin u⃗x(u, v))
(zeigt nach aussen).
(c)
(d)
I =
⃗ω[⃗x(u, v)] = (0, 0, R cosu) = ⃗ω[u, v] .
∫ π/2
du
∫ 2π
0 0
dvR 3 sin u cos 2 u = 2π 3 R3 .
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