Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

F 2 (x, y) heisst “Taylorentwicklung 2. Ordnung”.
F ∼ F 2 heisst “Taylor-Näherung 2. Ordnung”.
7.1.6 Der Gradient (2-dim.)
Sei F = F(x 1 , x 2 ) = F(⃗x) gegeben.
Definition:
gradF = ⃗ ∇ F(⃗x) =
( ∂F
∂x 1
, ∂F
∂x 2
)
.
Aus einem skalaren Feld wird also durch Differentiation ein Vektorfeld gebildet.
Beipiele zur Illustration:
Bsp. 1:
F = 1 4 x2 1 + x 2
( 1
⃗∇F =
2 x 1, 1)
ܾ
½
½
ܽ
Bsp. 2:
F = 1 (
x
2
4 1 + x2)
2
( 1
⃗∇F =
2 x 1, 1 2)
2 x
ܾ
½
ܽ
Bsp. 3: Taylor-Näherung des Feldes F(⃗x) im Punkt ⃗x (siehe Gl. (7.1)):
F(⃗x + −→ δx) ≃
F(⃗x) + ∂F
∂x 1
δx 1 + ∂F
∂x 2
δx 2
= F(⃗x) + ⃗ ∇F(⃗x) · −→ δx
Bei festem Betrag | −→ δx|:
• stärkste Zunahme in Richtung ∇F ⃗
• keine Änderung in Richtung ⊥ ∇F. ⃗
• stärkste Abnahme in Richtung −∇F.
⃗
Ü ÆÜ
ÆÜ ÆÜ
ÆÜ
Ö
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