Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

) analog
∂ y ∂ y F(x, y) . = ∂2 F(x, y)
∂y 2
. = Fyy
c)
∂ x ∂ y F(x, y)
} {{ }
Fkt. von x,y
“gemischte partielle Ableitung”
.
= ∂2 F(x, y)
∂x∂y
.
= F yx
d)
∂ y ∂ x F(x, y) . = F xy
Beispiel:
F = x · sin y
F x = sin y , F y = x cosy
F xy = cosy , F yx = cosy
Satz: Für eine grosse Klasse von Funktionen gilt
∂ y ∂ x F = ∂ x ∂ y F ,
d.h., die Reihenfolge der Ableitungen spielt keine Rolle (ohne Beweis).
7.1.5 F(x, y). Taylorentwicklung 2. Ordnung
Rep. 7.1.2: Die Taylorentwicklung 1. Ordnung (F 1 ) stimmt mit F in (x 0 , y 0 )
im Funktionswert und in den ersten Ableitungen überein. F 1 ist linear in
den Variablen x, y. Krümmungseigenschaften von F sind demzufolge nicht
berücksichtigt.
Bessere Approximation von F in der Umgebung von (x 0 , y 0 ) durch eine Funktion
F 2 (x, y), welche zweiten Grades in x, y ist und welche in (x 0 , y 0 ) mit F
in den folgenden Grössen übereinstimmt:
F = F 2 ; F x = ∂ x F 2 ; F xx = ∂ 2 x F 2 ; F y = ∂ y F 2 ; F yy = ∂ 2 y F 2 ;
F xy = ∂ x ∂ y F 2 (= ∂ y ∂ x F 2 )
Resultat für F 2 : (Verfikation als Übung)
F 2 (x, y) = F(x 0 , y 0 ) + F x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + F y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) +
1
2 F xx(x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) 2 + 1 2 F yy(x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) 2 +
F xy (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) (y − y 0 ) .
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