Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

i) Die Funktion v(t) in (6.14) heisst allgemeine Lösung der Dgl. (6.3).
Man hat diesen Namen gewählt, weil sich jede Lösung so darstellen
lässt, mit einer geeigneten Konstanten c. Diese Konstante heisst Integrationskonstante.
ii) Die Lösung (6.9) heisst allgemeine Lösung der zur Dgl. (6.3) gehörenden
homogenen Dgl. (6.8).
iii) Die spezielle Lösung v p = g/γ heisst partikuläre Lösung.
Wir können das Resultat (6.14) folgendermassen zusammenfassen: Die
allgemeine Lösung der Dgl. (6.3) ist die Summe der allgemeinen Lösung der
homogenen Gleichung (6.8), plus einer partikulären Lösung der Dgl. (6.3).
Die Prozedur, mit der wir die Lösung erhalten haben ist, kann auch bei anderen
linearen Gleichungen angewendet werden. Man löst lineare Gleichungen,
indem man zuerst die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung herleitet
und dazu noch eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung findet. Es
gibt spezielle Techniken, um eine partikuläre Lösung zu konstruieren, diese
laufen etwa unter dem etwas unglücklichen Namen “Variation der Konstanten”.
6.2.2 Allgemeine Lösung der linearen DG 1. Ordnung
Wir lösen nun die Gleichung
y ′ (x) + α(x)y(x) = β(x) , (6.15)
explizit, für beliebige, stetige Funktionen α(x) und β(x). Als Vorbereitung,
definieren wir dazu zunächst die Funktion
∫
A(x) = dxα(x) + C 1 ,
mit einer Integrationskonstanten C 1 , weil die Stammfunktion von α(x) nicht
eindeutig ist. Danach multiplizieren die Gleichung (6.15) mit e A (x)
e A (x)y ′ (x) + e A (x)α(x)y(x) = e A (x)β(x) ,
d [
y(x)e A (x) ] = e A (x)β(x) .
dx
Die Grösse e A (x) heisst auch ein integrierender Faktor, weil es uns damit
gelungen ist, die Gleichung in einer Form zu schreiben, dass wir sie direkt
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