Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Satz IV: Sei ⃗ω(⃗x) in einem Gebiet G definiert; falls alle geschlossenen Linienintegrale
verschwinden ∮
d⃗x · ⃗ω(⃗x) = 0
(für alle geschlossenen Wege, die ganz in G verlaufen), so gilt ebenfalls
• ∃ φ(⃗x) mit ⃗ω(⃗x) = − ⃗ ∇φ(⃗x)
• Linienintegrale wegunabhängig
Beweis von Satz IV: Einfache Zurückführung auf Satz III.
Ausblick:
Wie sieht man einem Vektorfeld ⃗ω(⃗x) an, ob alle Linienintegrale wegunabhängig
sind, d.h., ob ein Potenzial φ(⃗x) existiert, so dass ⃗ω = − ⃗ ∇φ? Wir
werden sehen:
⃗ω = − ⃗ ∇φ ⇔ (∂ 2 ω 3 − ∂ 3 ω 2 , ∂ 3 ω 1 − ∂ 1 ω 3 , ∂ 1 ω 2 − ∂ 2 ω 1 ) = 0
überall in G
[G muss gewisse Bedingungen erfüllen, die wir später spezifizieren werden].
⃗ω = − ⃗ ∇φ ⇔ ⃗ ∇ × ⃗ω = 0 .
9.8 Weitere Integrale längs einer Kurve C
Analog zum obigen Linienintegral sind folgende Integrale definiert:
∫ ⃗ b
⃗A = C d⃗xφ(⃗x) =
⃗a
∫ ub
∫ ⃗ b
⃗B = C d⃗x × ⃗ω(⃗x) =
⃗a
∫ ⃗ b
D = C |d⃗x| φ(⃗x) =
u a
∫ ub
u a
∫ ub
⃗a
u a
du d⃗x
du φ[⃗x(u)]
du d⃗x
du × ⃗ω[⃗x(u)]
du
d⃗x
∣du∣ φ[⃗x(u)] .
Dabei ist eine Parameterdarstellung des Integrationsweges C vorausgesetzt:
C : ⃗x = ⃗x(u) ; u a ≤ u ≤ u b
⃗x(u a ) = ⃗a; ⃗x(u b ) = ⃗ b.
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