Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

1.4 Rechenregeln
Aus den obigen Definitionen folgt:
(a) ⃗a, ⃗ b gegeben. Dann ist ⃗a + ⃗ b definiert.
(b) ⃗a + ⃗ b = ⃗ b +⃗a
(⃗a + ⃗ b) + ⃗c = ⃗a + ( ⃗ b + ⃗c)
(c) Es existiert ein neutrales Element: ⃗a +⃗0 = ⃗a
(d) Es existiert ein inverses Element: ⃗a + (−⃗a) = ⃗0
(e) Multiplikation mit Skalar definiert: α⃗a
α(β⃗a) = (αβ)⃗a
(f) (α + β)⃗a = α⃗a + β⃗a
(g) α (⃗a + ⃗ b) = α⃗a + α ⃗ b
(h) 1 ·⃗a = ⃗a
Algebraische Strukturen, welche die Eigenschaften (a)–(d) aufweisen, heissen
kommutative Gruppen. Strukturen, die alle Eigenschaften (a)–(h) aufweisen,
heissen Vektorräume (VR).
Wir betrachten im folgenden endlich dimensionale Vektorräume, meistens
d = 2, 3, 4. Daneben gibt es VR mit beliebiger Dimension (siehe lineare
Algebra) und auch ∞-dim. VR.
Es existieren beliebig viele Realisierungen eines Vektorraumes. Die freien
Vektoren sind ein Beispiel. Ein anderes, etwas abstrakteres Beispiel ist das
folgende:
Beispiel: Betrachte alle möglichen Polynome in der reellen Variablen τ. x 1 (τ)
und x 2 (τ) seien 2 solche Polynome (mit Grad 2 zur Illustration ):
wobei α i , β i , γ i ∈ R (i = 1, 2)
x 1 (τ) = α 1 + β 1 τ + γ 1 τ 2
x 2 (τ) = α 2 + β 2 τ + γ 2 τ 2 ,
Addition: (x 1 + x 2 )(τ) . = x 1 (τ) + x 2 (τ) , explizit:
(x 1 + x 2 )(τ) = (α 1 + α 2 ) + (β 1 + β 2 ) τ + (γ 1 + γ 2 ) τ 2 .
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