Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

aufgespannt (vergleiche analoge Überlegungen in Abschnitt 11.3.4), 2-dim.
Fall).
Volumen des Parallelepipeds:
( )
∆V =
∂⃗x ∂⃗x
∣ ∆u ×
∂u ∂v ∆v · ∂⃗x ∣ ∣∣∣
∂w ∆w
I =
lim
∆V →0
∑
∆V k φ(⃗x k )
∑
= lim
∆u,∆v,∆w→0
=
∫∫∫
k
k
( ∂⃗x
∂u × ∂⃗x )
· ∂⃗x
∂v ∂w
∆u ∆v ∆w φ[⃗x(u, v, w)]
∣} {{ }
∣
≡D
G ′ du dv dw |D(u, v, w)| φ[⃗x(u, v, w)] □
D ist also das Spatprodukt von ∂⃗x , ∂⃗x
∂u ∂v
und
∂⃗x
∂w .
12.3.1 Häufig verwendete Koordinatentransformationen
d = 2 Polarkoordinaten
∫∫
∫
dxdy... →
∫
dr r
dϕ...
d = 3 Kugelkoordinaten
∫∫∫ ∫
dxdy dz... →
dr r 2 ∫
∫
dθ sin θ
dϕ...
d = 3 Zylinderkoordinaten
∫∫∫ ∫
dxdy dz... →
∫
dr r
∫
dϕ
dz...
In diesen Beispielen sind die Koordinatenlinien zueinander orthogonal: “Orthogonale
krummlinige Koordinaten”.
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