Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

1.9 Komponentenschreibweise
Oft schreibt man Vektoren in der Form
⎛ ⎞
a 1
⃗a = ⎝ a 2
⎠
a 3
oder
⃗a = (a 1 , a 2 , a 3 ) .
Nach dem oben Gesagten sind die Zahlen a 1 , a 2 , a 3 durch den Vektor ⃗a eindeutig
festgelegt. (Bemerkung: Falls nicht explizite vermerkt, so verwenden
wir immer ein Orthonormalsystem als Basis).
Elementare Operationen in Komponenten
1. ⃗c = ⃗a + ⃗ b : c i = a i + b i
2. ⃗c = λ⃗a : c i = λ a i
3. ⃗a ·⃗b = (a 1 ⃗e 1 + a 2 ⃗e 2 + a 3 ⃗e 3 ) · (b 1 ⃗e 1 + b 2 ⃗e 2 + b 3 ⃗e 3 )
= a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 =
= ∑ i
a i b i
Oder:
⃗a ·⃗b = ∑ i
= ∑ i,k
a i ⃗e i · ∑
b k ⃗e k
a i b k δ ik
k
= ∑ i
a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
4. ⃗a × ⃗ b = (a 1 ⃗e 1 + a 2 ⃗e 2 + a 3 ⃗e 3 ) × (b 1 ⃗e 1 + b 2 ⃗e 2 + b 3 ⃗e 3 )
Oder anders geschrieben:
= ⃗e 1 (a 2 b 3 − a 3 b 2 ) +
⃗e 2 (a 3 b 1 − a 1 b 3 ) +
⃗e 3 (a 1 b 2 − a 2 b 1 )
} {{ }
Komponenten
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