Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

Beispiel einer Anwendung des Skalarproduktes in der Physik:
Verschiebung eines Massenpunktes um den Weg ∆⃗x, Kraft
⃗F. Welche Arbeit ∆A leistet dabei die Kraft ⃗ F?
Definition: ∆A = |∆⃗x| F ′ = |∆⃗x| | ⃗ F | cosγ = ∆⃗x · ⃗F.
1.7 Das Vektorprodukt
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Das Vektorprodukt stellt (neben dem Skalarprodukt) eine weitere Möglichkeit
dar, ein Produkt ⃗c = ⃗a × ⃗ b von zwei gegebenen Vektoren ⃗a und ⃗ b zu definieren:
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(i) ⃗c ⊥ ⃗a, ⃗ b
(ii) |⃗c| = |⃗a| | ⃗ b| sin γ (0 ≤ γ < π)
(iii) ⃗a, ⃗ b, ⃗c bilden ein Rechtssystem: blickt man in Richtung
⃗c, so lässt sich ⃗a mit einer Rechtsdrehung
0 ≤ γ < π in ⃗ b drehen.
Eigenschaften
(i) ⃗c = ⃗a × ⃗ b
ist ein Vektor
(ii) ⃗a ×⃗a = 0
(iii) Bei festen Beträgen a und b: ⃗a × ⃗ b ist maximal für γ = π.
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(iv) ⃗a × ⃗ b = − ⃗ b ×⃗a
(v) (α⃗a) × ⃗ b = α (⃗a × ⃗ b)
(vi) ⃗a × ( ⃗ b + ⃗c) = ⃗a × ⃗ b +⃗a ×⃗c
(vii) ⃗a × ( ⃗ b ×⃗c) ≠ (⃗a × ⃗ b) ×⃗c
im allgemeinen. Beispiel: ⃗ b = ⃗c.
(iix) |⃗a × ⃗ b| = Fläche des von ⃗a und ⃗ b aufgespannten Parallelogrammes.
⃗Σ = ⃗a × ⃗ b: “Flächenvektor”
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