Mathematische Methoden der Physik I - Universität Bern

5.6 Bestimmtes Integral: Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.7 Partielle Integration (unbestimmt) . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.8 Partielle Integration (bestimmt) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.9 Ableiten nach Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Differentialgleichungen 37
6.1 Beispiele und Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2.1 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung . . . . . . 40
6.2.2 Allgemeine Lösung der linearen DG 1. Ordnung . . . . 43
6.2.3 Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . 44
6.3 Separation der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.4 Numerische Lösung: Schrittweise Integration . . . . . . . . . . 49
6.5 Lösen von Differentialgleichungen mit MAPLE . . . . . . . . . 51
6.6 Literatur zu gewöhnlichen Differentialgleichungen . . . . . . . 52
7 Funktionen von 2 oder mehr Variablen 53
7.1 F(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.1.1 Partielle Ableitungen (nach x) . . . . . . . . . . . . . . 53
7.1.2 F(x, y). Taylorentwicklung 1. Ordnung . . . . . . . . . 55
7.1.3 Totale Ableitung, Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.4 Höhere partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.5 F(x, y). Taylorentwicklung 2. Ordnung . . . . . . . . . 58
7.1.6 Der Gradient (2-dim.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2 Funktionen von drei (oder mehr) Variablen . . . . . . . . . . . 61
7.3 Kugelsymmetrische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8 Skalare Felder, Vektorfelder 63
9 Linienintegrale 65
9.1 Einführung am Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.2 Berechnung im einfachsten Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . 66
9.3 Berechnung im allgemeinen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.4 Eigenschaften von Linienintegralen . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.5 Beispiele für das Auftreten von Linienintegralen in der Physik 69
9.5.1 Mechanik: Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.5.2 Mechanik: kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . 69
9.5.3 Magnetostatik: Gesetz von Ampère . . . . . . . . . . . 70
9.6 Linienintegrale in Gradientfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.7 Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.8 Weitere Integrale längs einer Kurve C . . . . . . . . . . . . . . 74
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