Formelsammlung Signaldarstellung Grundlagen

Signaldarstellung.nb 10
Diskrete Fourier Transformation +DFT/
Definition DFT : DFR mit
x n
X k
x n
0
X k
0
Vektordarstellung : X W x
für 0 n N bei N periodizität
sonst
für 0 k N bei N periodizität
sonst
Signalvektor
Transformationsmatrix Signalvektor
N 1
1
Parsevallsches Theorem : E X Ix n I 2
n 0
Eigenschaften einer DFR :
N 1
N k 0
IX k I 2
Linerität : ax 1 n bx 2 n DFT aX 1 k bX 2 k
Zirk.Verschiebung : x n m mod N DFT e j 2 km
N X k W N km X k
Zirkuläre Faltung :
e j 2
m 0
Zirkuläre Modulation : x 1 n x 2 n DFT 1
nm
N x n W N nm x n DFT X n m mod N
N 1
x 1 n x 2 n m mod N DFT X 1 k X 2 k
N 1
N m 0
Symmetrie : x n DFT X k mod N
X 1 k X 2 k m mod N
x n mod N DFT X k
Falls x n reell :
X k X k mod N
IX k I IX k mod N I
Stochastische Signale
Wahrscheinlichkeitsdichte : p x
Wahrscheinlichkeitsverteilung : P x
Schaarmittel :
dP x
dx ,
x
p 1
Mittelwert über dem vollständigen Satz der Repräsentanten des Prozesses zu einem festen Zeitpunkt.
Zeitmittel : Mittelwert über die Zeit an einem Repräsentanten des Prozesses.
Ergodische Prozesse : Schaarmittel Zeitmittel
Für ergodische Prozesse :
Schaarmittel : x x p x x , x k x k p x x