Formelsammlung Signaldarstellung Grundlagen

Signaldarstellung.nb 1
Formelsammlung
Signaldarstellung
Grundlagen
Einheitsimpuls :
n
1
0
für n 0
sonst
Abtastung : x t
Zeitnormierung : n
m
x mT S t mT S x t t mT S
m
t
, Frequenznormierung :
T S
T S
Zeitnormiert : x n x mT S
m
x n n m x n n , n
Einheitssprung : u n
Diracsche Funktion : t
l
n
0
l , u t
t 0
t 0
Impulsdarstellung zeitkontinuierlicherSignale :
0
t
t t 1
2
1
e j t t
x t x t x t x t t
Lineare Zeitinvariante Systeme LTI : Linearität T ax by aT x bT x ,
Zeitinvarianz x t y t ; x n m y n
m
Zeitkontinuierliche Faltung : y t x h t x t h t
Zeitdiskrete Faltung : y n x n h n m x n h n
m
LTI Faltung : a Kommutativ b Assoziativ c Distributiv
Impulsantwort
Stabilität : h t bzw.
Kausalität : Ein LTI
System heisst Kausal,
l
h l
gdw. der Ausgabewert y t 0 nur von den Eingangswerten x t zu Zeiten t t 0.
y t
y n
m
t
n
x
h t
x m h n
m
0
m 0
x
x n
h t
m h m
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Signaldarstellung.nb 2
Faltung und Korrelation von Signalen :
Energieübertragung : E X x
2
Energiekorrelationsfunktion :
t x x t Autokf. : ; Kreuzkf. :
n x m x n m
m
Leistungskorrelationsfunktion nur periodische Signale :
1
t x x t und n
T 0 T0
1
N 1
N m 0
x m x n m
Pegel : L dB
20 lg Ix t I
Ix 0 t I dB 10 lg Ix2 t I
dB und L Np
Ix 2
0 t I
ln Ix t I
Ix 0 t I Np
Orthogonale Funktion :
T
n t m t t K m n , bei K 1 orthonormal.

Signaldarstellung.nb 3
Zeitdiskrete Fourierreihe+FR/
Funktionsbeschreibung :
Periodische : x t x t 0 Zeigerdarstellung : x t Ix t I e j t
Phasenwinkel : tan Im x t Re x t
Fourierreihe :
x t
k
c k e jk 0 t , 0
2 1
, c k x t e jk 0 t dt
T 0 T 0 T0
Reelle Fourierreihe c k
a k jb k
2
x t a 0
k 1
a k cos k 0 t
für k 0, c k a 0 :
1
b k sin k 0 t mit a 0
k 1
T 0 T0
x t t,
a k
2
T 0 T0
x t cos k 0 t t und b k
2
T 0 T0
x t sin k 0 t
t
Mittlere Signalleistung :
1
T 0
I x t I 2 t
T 0
k
Ic k I 2 Ic 0 I 2
k 1
1
Ic k I 2 , lim
T 0 T
T
I x t I 2 t const.
Abweichfehler :
Zeitverschiebung
N
x t c k e jk 0 t , N , N I
k N
Phasenverschiebung
T 0
x t x t I 2 dt
Periodische Faltung : y t x 1 t x 2 t t, bei c 1 k und c 2 k FR Koeff. von x 1 t , x 2 t
und y t hat dann die FR Koeffizienten c yk t T 0 c 1 k c 2 k
Zeitkontinuierliche
FourierTransformation+FT/
Synthese : x t
1
2
X e j t d , Analyse : X x e j t dt
Zeigerdarstellung : X IX I e j
1
E X
2
IX I 2 I x t I 2 t Konvergiert nicht für peridische Systeme
E x t x 2 t t
1
2
X X
1
Zusammenhang von FR und FT : c k X k 0
T 0
Eigenschaften einer zeitkontinuerlichen FT :
Symmetrie : x t X

Signaldarstellung.nb 4
Linerität : ax 1 t ax 2 t aX 1 aX 2
Zeitverschiebung : x t e j t X
Frequenzverschiebung : e j 0 t x t X 0
1
Maßstabsänderung : x at
IaI X
a
Differentation :
Integration :
t
x
d n
dt n x t j n X ; t n x t j n dn
dt n X
d
j
1
X X 0 ;
1
jt X t x 0 t x d
Faltung : x 1 t x 2 t
1
2
X 1 X 2
Modulation : x 1 t x 2 t
1
2
X 1 X 2 ; Frequenzverschiebung
x t cos 0
1
2 X 0
1
2 X 0
Korrelation : x 1 x 2 t X 1 X 2
Wiener Khintchine Theorem :
Fourier Transformierte der Energie Autokorrelationsfunktionist das
d E
Energiedichtespektrum : E
d
Fourier Transformierte der Leistungs Autokorrelationsfunktionist das
d P
Leistungsdichtespektrum : P
d
Amplitudenmodulation : y t
x t x 0 t y
1
2
X 1 X 2
Allgemein : y n t
n
1
x t y n
0
2 X n 0 X 1 ... X n
Impulsübertragung :
Impulsantwort : h t
y t
x t
Umwandlung : y t x t h t Y X H
Frequenzgang : H
Y
X
, existiert nur,
das wenn System stabil ist Ih t I t
Lineare DGLs :

Signaldarstellung.nb 5
N
m 0
a m
d m
M
dt m y t m 0
b m
d m
N
dt m x t Y m 0
a m j
m
X
M
m 0
b m j
m
Somit : H
M m
m 0 b m j
N m
m 0 a m j
Klassifikation : 1. Ordnung : N, M 1; 2. Ordnung : N, M 2; n.Ordnung : Zusammensetzung
Zeitdiskrete Fourier
Transformation+ZDFT/
Synthese : x n
2
1
2
X e j n d , Analyse : X
n
x n e j
n
Stabilität : IX
I
n
x n
Signalenergie : E X
n
Ix n I 2 1
2
2
IX I 2 d ,
n
1
x n y n
2
2
X Y d
Bode Diagramme : Y H X IY I IH IIX I analog f. Phasenwinkel
Eigenschaften einer zeitkontinuerlichen FT :
Symmetrie :
x n ZDFT X
Linerität : ax 1 n ax 2 n ZDFT aX 1 aX 2
ZDFT
Zeitverschiebung : x n n 0 e
j t X
Frequenzverschiebung : e j 0 n x n ZDFT X 0
Maßstabsänderung : x n a ZDFT X a bei n mod a 0
E xy
Differenz : x n x n 1 ZDFT 1 e j X
Superposition :
n
m
x m ZDFT 1
X X 0
1 e j
Differentation : n k x n ZDFT d k
j k X
d k
m
2 r
Faltung : x 1 n x 2 n x 1 n x 2 n ZDFT X 1 X 2
Modulation : x 1 n x 2 n ZDFT 1
2
Korrelation :
x 1 n x 2 n ZDFT X 1 X 2
Zeitdiskrete Impulsübertragung :
m
n
n
2
X 1 ' X 2 ' d '

Signaldarstellung.nb 6
Impulsantwort : y n x n h n
Umwandlung : y n x n h n ZDFT Y X H
Y
Frequenzgang : H
X
, existiert nur,
das wenn System stabil ist
Lineare Differenzengleichungen :
Somit : H
N
m 0
a m y n
n
m
N
m 0 a m e j m
M
m 0 b m e j m
Ih n I
M
m 0
b m x n m Y
N
m 0
a m e j m X
M
m 0
b m e j
Klassifikation : 1. Ordnung : n 1; 2. Ordnung : n 2; n.Ordnung : Zusammensetzung
Signalabtastung und Rückgewinnung
Impulsmodulator : s t
n
t nT S mit T S
2
Nyquest Frequenz Abtasttheorem : S 2 g
X X S
1
T S r
X
r S
S
, S
2
T S
r
r S
m
Abtastbedingung im Frequenzbereich : T p
2 T g
Durchführung mit Zeitfensterung : x t x p t w t , mit w t
p
0
für ItI
sonst
p

Signaldarstellung.nb 7
Laplace Transformation+LT/
Synthese : x t
Unilateral : x t
1
2 j j
1
2 j j
j
j
X s e st ds 1 X s , Analyse : X s x t e st t x t
X s e st ds, X s x t e st t
0
Bei der DGL
N
a m
m 0
d m
M
dt m y t m 0
b m
d m
N
dt m x t Y m 0
a m s m
X
M
m 0
b m s m
Somit : H
Eigenschaften der LT :
M
m 0 b m s m
N
m 0 a m s m
Linerität : ax 1 t ax 2 t aX 1 s aX 2 s , R R 1 R 2
Zeitverschiebung : x t t 0 e st 0
X s , R R 1
Frequenzverschiebung : e s 0 t x t X s s 0 , R R 1 Re s 0
1
Maßstabsänderung : x at
IaI X s a , R R 1 a
Differentation :
Integration :
t
d n
dt n x t sn X s ; tx t
x d
1
s X s , R R 1 Re s 0
d
dt X s , R R 1
Faltung : x 1 t x 2 t X 1 s X 2 s , R R 1 R 2
Impulsübertragung : y t x t h t Y s X s H s
z Transformation
Laurent
Reihe : f z
n
a n z z 0 n mit a n
1
2 j
C
f z
z
z 0
n 1 ds
Synthese : x n
1
2 j
C
X z z n 1 dz Z 1 X z
Analyse : X z
n
x n z n
Z x n
Hinreichende Konvergenzbedingung :
Konvergenzbereich :
n
Ix n r n I
Scheibe 0 R 1 IzI R 2 , bei Konvergenz ist der Einheitskreis im
Konvergenzbereich, fall x n endlich, Konvergenzbereich z Ebene evtl. ohne
IzI 0, IzI . Konvergenzbereich immer zusammenhängend.
Unilateral : x n
1
2 j
C
X z z n 1 dz, X z
Eigenschaften einer zeitdiskreten ZT :
n 0
x n z n

Signaldarstellung.nb 8
Linerität : ax 1 n bx 2 n ZT aX 1 z bX 2 z , R R 1 R 2
n Verschiebung : x n n 0
ZT
z
n 0
X z , R R 1 \ z 0, z evtl
z Verschiebung : z 0 n x n ZT X z z 0
, R Iz 0 I R 1
e j 0 n x n ZT X e j 0 z , R R 1
Differentation nach z : n x n ZT z d dz X z , R R 1 \ z 0, z evtl
Faltung : x 1 n x 2 n ZT X 1 z X 2 z , R R 1 R 2
Modulation : x 1 n x 2 n ZT 1
z
X 1 X 1 2 d , R R 1 R 2
2
Superposition :
n
m
x m ZT X z
1 z , R R 1 1 IzI 1
Symmetrie : x n ZT X z , R R 1
C
x n ZT X z 1 , R R x
1
Parsevallsches Theorem :
Re x n ZT 1
Im x n ZT 1
2 X z X z , R R x
2 j
X z X z , R R x
Anfangswert : n 0. x n 0. X 0 lim
z
E 12 Y z z 1
m
n
x 1 n x 2 n
1
1
X 1 X 2
2 j
C
X z , R R 1
1 dz
E X
m
n
x 2 n
1
1
X 1 X 2
2 j
C
1 dz

Signaldarstellung.nb 9
Diskrete Fourier Reihe +DFR/
Vorbedingung : N Periodizität x n x n N .
Synthese : x n
1
N 1
X k e j 2 kn
N
N k 0
1
N 1
N k 0
X k W N
kn
Analyse : X k
N 1
x n e j 2 kn
N
n 0
N 1
x n W N
kn
mit W N e j 2 N
n 0
N 1
1
Parsevallsches Theorem : Ix n I 2
Periodische Impulsfolge :
Eigenschaften einer DFR :
n 0
x n
r
N 1
N k 0
n
rN
IX k I 2
1
N 1
e j 2 kn
N
N k 0
Linerität : ax 1 n bx 2 n DFR aX 1 k bX 2 k
Verschiebung : x n m DFR e j 2 km
N X k W N km X k
Periodische Faltung :
e j 2
1
0
nm
N x n W N nm x n DFR X k m
N 1
x 1 n x 2 n m DFR X 1 k X 2 k
m 0
für n 0, N, 2 N ...
sonst
Period. Modulation : x 1 n x 2 n DFR 1
N 1
N m 0
X 1 k X 2 k
m
Symmetrie : x n DFR X k
x n DFR X k
Zusammenhang DFR und ZDFT : Bei x n
gilt : X k X 2 k
N
X
2 k
N
x n
0
Falls x n reell :
X k X k
IX k I IX k I
für 0 n N bei N periodizität
sonst

Signaldarstellung.nb 10
Diskrete Fourier Transformation +DFT/
Definition DFT : DFR mit
x n
X k
x n
0
X k
0
Vektordarstellung : X W x
für 0 n N bei N periodizität
sonst
für 0 k N bei N periodizität
sonst
Signalvektor
Transformationsmatrix Signalvektor
N 1
1
Parsevallsches Theorem : E X Ix n I 2
n 0
Eigenschaften einer DFR :
N 1
N k 0
IX k I 2
Linerität : ax 1 n bx 2 n DFT aX 1 k bX 2 k
Zirk.Verschiebung : x n m mod N DFT e j 2 km
N X k W N km X k
Zirkuläre Faltung :
e j 2
m 0
Zirkuläre Modulation : x 1 n x 2 n DFT 1
nm
N x n W N nm x n DFT X n m mod N
N 1
x 1 n x 2 n m mod N DFT X 1 k X 2 k
N 1
N m 0
Symmetrie : x n DFT X k mod N
X 1 k X 2 k m mod N
x n mod N DFT X k
Falls x n reell :
X k X k mod N
IX k I IX k mod N I
Stochastische Signale
Wahrscheinlichkeitsdichte : p x
Wahrscheinlichkeitsverteilung : P x
Schaarmittel :
dP x
dx ,
x
p 1
Mittelwert über dem vollständigen Satz der Repräsentanten des Prozesses zu einem festen Zeitpunkt.
Zeitmittel : Mittelwert über die Zeit an einem Repräsentanten des Prozesses.
Ergodische Prozesse : Schaarmittel Zeitmittel
Für ergodische Prozesse :
Schaarmittel : x x p x x , x k x k p x x

Signaldarstellung.nb 11
Zeitmittel : x t lim
T
1
T 0
T
x t dt, x k t lim
T
Zentrale Momente : Ix t x t I k bzw. Ix n x n I k
1
T
x k
T 0
Dispersion 2 x : Zentrales Moment zweiter Ordnung k 2 .
Kreuzkorrelationsfunktion :
1 T
xy x t y t lim
T
x t y t dt x y p x, y dx dy
xy m x n y n m lim
N
Autokorrelationsfunktion :
1
N N 0
T 0
N 1
x n y n
m dt
xy x t x t bzw. xy m x n y n m
Insbesondere : xy 0
lim
T
1
T 0
Kreuzkovarianzfunktion :
T
x 2 t dt x 2 t analog für diskretes .
xy x t x t y t y t
xy
x t y t
k
l
x k y l p kl
t dt
analog im diskreten Fall
Autokovarianzfunktion :
xx x t x t x t x t
x t
2
xx
analog im diskreten Fall
2
2 2
xx 0 x t x t xx 0 x t x
Bei stochastischen Signalen, deren Mittelwert Null ist, sind Kovarianz
und Korrelationsfunktionen identisch.
Kreuz Leistungsdichtespektren :
xy xy e j t H xx
xy
k
xx m e j m H xx
yy IH I 2 xx
yy IH I 2 xx