Mathematik - Cornelsen Verlag

2 Geometrie 

2.2 Ähnlichkeit 

Informationen und Tests 

• Informationen zum Test _______________________________________ 149 

• Teste dich! − Ähnlichkeit ______________________________________ 153 

Arbeitsblätter in zwei Niveaustufen 

• Ähnliche Figuren erkennen ____________________________________ 165 

• Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen __________________________ 169 

• Streckungen erkennen ________________________________________ 173 

• Streckungen im Koordinatensystem erkennen ______________________ 177 

• Zentrische Streckungen _______________________________________ 181 

• Figuren strecken _____________________________________________ 185 

• Streckungen im Koordinatensystem ______________________________ 189 

• Streckungen und Kongruenzabbildungen verketten _________________ 193 

• Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen ________________ 197 

• Berechnungen mit den Strahlensätzen ____________________________ 201 

• Anwendungen zu Strahlensätzen ________________________________ 205 

Methoden, Infotexte und Spiele 

• Der Daumensprung __________________________________________ 211 

• Bastelvorlage − Försterdreieck __________________________________ 212 

• Bastelvorlage − Pantograph ____________________________________ 214 

• Bastelvorlage − Messkeil und Messlehre __________________________ 215 

• Bastelvorlage − Lochkamera ___________________________________ 216 

• Vorlagen zur Rastertechnik ____________________________________ 218 

Ähnlichkeit

2 Geometrie 


Informationen und Tests 

Mithilfe der „Teste dich!“-Seiten können die Schülerinnen und Schüler prüfen, ob sie den Stoff des 

Themas verstanden haben und gegebenenfalls Lücken gezielt schließen: 

• Die Tests bieten Aufgaben zu den wichtigsten Lernzielen des Themas. 

• Die Lösungen auf der Rückseite des Tests bieten die Möglichkeit zur Selbstkontrolle. 

• Vor jedem Test gibt es einen Feedback-Bogen, mit dessen Hilfe die Schülerinnen und Schüler 

überprüfen können, wie weit sie die Lernziele des Themas verstanden haben. 

• Die Tabelle unten bietet Hinweise auf Arbeitsblätter mit vertiefendem Übungsmaterial. 

Teste dich! − Ähnlichkeit 

Tabelle mit Hinweisen auf Arbeitsblätter mit ähnlichen Aufgaben: 

Aufgabe Stoff Arbeitsblätter mit ähnlichen Aufgaben 

1, 2, 3, 4, 

7 

ähnliche Figuren erkennen und 

die Eigenschaften ähnlicher 

Figuren beschreiben 

4, 5, 6 maßstäbliche Abbildungen 

konstruieren und mit dem 

Maßstab rechnen 

4, 6, 9 die Auswirkungen 

maßstabgetreuer Vergrößerungen 

und Verkleinerungen auf 

Winkelgrößen, Streckenlängen 

und Flächeninhalt beschreiben 

8 Streckzentrum und Streckfaktor 

aus Original und Bild einer 

zentrischen Streckung ermitteln 

und Eigenschaften zentrischer 

Streckung nennen 

9, 10 zentrische Streckungen 

konstruieren 

11 Verhältnisgleichungen an 

Strahlensatzfiguren aufstellen und 

den ersten und den zweiten 

Strahlensatz wiedergeben 

12, 13 mithilfe der Strahlensätze 

fehlende Streckenlängen ermitteln 

14, 15, 

16 

die Strahlensätze zum Lösen von 

Sachaufgaben anwenden 

- Ähnliche Figuren erkennen (165) 

- Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen 

(169) 

- Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen 

(169) 

- Streckungen erkennen (173) 

- Streckungen im Koordinatensystem 

erkennen (177) 

- Zentrische Streckungen (181) 

- Figuren strecken (185) 

- Streckungen im Koordinatensystem (189) 

- Streckungen und Kongruenzabbildungen 

verketten (193) 

- Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze 

berechnen (197) 

- Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze 

berechnen (197) 

- Berechnungen mit den Strahlensätzen (201) 

- Anwendungen zu Strahlensätzen (205) 

149

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Klasse: 

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Ähnlichkeit 

Feedback-Bogen — Jetzt prüfe ich selbst, was ich kann! 

Was ich im Kapitel „Ähnlichkeit” gelernt habe: 

Arbeitsblatt 

Mathematik 

Ich kann ... Meine Bewertung 

ähnliche Figuren erkennen und die Eigenschaften ähnlicher Figuren 

beschreiben. 

maßstäbliche Abbildungen konstruieren und mit dem Maßstab rechnen. 

die Auswirkungen maßstabgetreuer Vergrößerungen und 

Verkleinerungen auf Winkelgrößen, Streckenlängen und Flächeninhalt 

beschreiben. 

Streckzentrum und Streckfaktor aus Original und Bild einer zentrischen 

Streckung ermitteln und Eigenschaften zentrischer Streckung nennen. 

zentrische Streckungen konstruieren. 

Verhältnisgleichungen an Strahlensatzfiguren aufstellen und den ersten 

und den zweiten Strahlensatz wiedergeben. 

mithilfe der Strahlensätze fehlende Streckenlängen ermitteln. 

die Strahlensätze zum Lösen von Sachaufgaben anwenden. 

Ich habe noch nicht verstanden: Ich möchte noch üben: 

Wie ich die Aufgaben bearbeitet habe: 

Ich habe die Aufgabenstellungen verstanden. 

Ich konnte meine Antworten schriftlich formulieren. 

Ich konnte meine Antworten durch eine Zeichnung ergänzen. 

Ich konnte zusätzliche Informationen zum Thema finden und nutzen. 

Ich habe die im Unterricht besprochenen Themen so gut verstanden, 

dass ich mit ihrer Hilfe Lösungen zu neuen Problemen finden konnte. 

Ich konnte die Zeit, die ich für die Bearbeitung der Aufgaben benötigt 

habe, richtig einschätzen. 

Meine Bewertung 

151

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Teste dich! 

Anleitung zum Feedback-Bogen – Wie schätze ich mich selbst ein? 

Infotext 


Alles klar!? 

Die Teste-dich!-Seiten bieten dir eine Möglichkeit zu überprüfen, ob du den Inhalt des 

Themas verstanden hast und neu erlernte Arbeitstechniken anwenden kannst. 

Was kannst du und was weißt du? 

Bearbeite zuerst alle Aufgaben auf den Teste-dich!-Seiten. 

Gleiche deine Lösungen mit den Lösungsbogen ab. 

Aber nicht schummeln! Erst lösen, dann nachschlagen. 

Ordne deinen Lösungen einen Smiley zu: 

� Ich konnte die Aufgabe richtig lösen. 

� Ich konnte die Aufgabe nicht komplett lösen. 

� Ich konnte die Aufgabe nicht lösen. 

Wieder alles vergessen!? 

Die meisten Inhalte merkt man sich am besten, 

wenn man die Zusammenhänge verstanden 

hat. Einige Inhalte müssen aber auch 

auswendig gelernt oder häufig geübt werden. 

Auf dem Feedback-Bogen kannst du nun den Lerninhalten jeweils einen Smiley 

zuordnen: �, � oder �. 

Wie gut bist du? 

Beobachte dich selbst beim Lernen. Konntest 

du die Aufgaben des Testes lösen? Auf welche 

Schwierigkeiten bist du gestoßen? 

Der Feedback-Bogen hilft dir bei deiner 

Selbsteinschätzung. Verwende wieder die 

Smileys �, � und �. 

Achtung! 

Die Feedback-Bögen können nicht immer alle Inhalte eines Kapitels abfragen. 

Sammle die Feedback-Bögen in deinem Hefter. 

Hast du dich im Laufe der Zeit verbessern können? 

152


Name: 


Ähnlichkeit 

Teste dich! - Ähnlichkeit (1/5) 

1 Welche „k“s sind ähnlich zu dem umrandeten k? 

Begründe mithilfe der Eigenschaften ähnlicher Figuren. 

2 Wahr oder falsch? Begründe deine Antworten. 

a) In ähnlichen Figuren sind entsprechende Seiten gleich lang. 

Arbeitsblatt 


b) Zwei Rechtecke sind ähnlich, wenn entsprechende Seitenverhältnisse gleich lang sind. 

c) Der Maßstab beschreibt ein Verhältnis von Strecken ähnlicher Figuren. 

d) In ähnlichen Figuren stimmen entsprechende Winkelgrößen überein. 

3 Warum ist Figur A nicht ähnlich zur Figur B? Nenne mehrere Gründe. 

153


Ähnlichkeit 


1 Welche „k“s sind ähnlich zu dem umrandeten k? 

Begründe mithilfe der Eigenschaften ähnlicher Figuren. 

Lösungsblatt 

Die grauen „k”s sind ähnlich zum 

markierten „k”, da sie die gleiche 

Form haben und sich nur in der 

Größe unterscheiden. 

2 Wahr oder falsch? Begründe deine Antworten. 

a) In ähnlichen Figuren sind entsprechende Seiten gleich lang. 

Falsch. Ähnliche Figuren können verschieden groß sein. 

b) Zwei Rechtecke sind ähnlich, wenn entsprechende Seitenverhältnisse gleich lang sind. 

Wahr. Beim maßstäblichen Vergrößern oder Verkleinern ändern sich die 

Seitenverhältnisse nicht. 

c) Der Maßstab beschreibt ein Verhältnis von Strecken ähnlicher Figuren. 

Wahr. Der Maßstab gibt an, wie entsprechende Seiten gestreckt oder 

gestaucht werden. 

d) In ähnlichen Figuren stimmen entsprechende Winkelgrößen überein. 

Wahr. Beim maßstäblichen Vergrößern und Verkleinern ändern sich die 

Winkelgrößen nicht. 

3 Warum ist Figur A nicht ähnlich zur Figur B? Nenne mehrere Gründe. 

Beispiel: Die Grundlinie ist gleich lang 

geblieben, aber die Höhe hat sich 

veranderthalbfacht. 

Die Streckenverhältnisse stimmen nicht 

überein. Die entsprechenden Winkel sind nicht gleich groß. 

154


Name: 


Ähnlichkeit 


Arbeitsblatt 


4 Zeichne folgende Rechtecke: R1 mit a = 12 cm; b = 8 cm und R2 mit a = 9 cm; b = 6 cm. 

Verwende dazu die Rückseite dieses Blattes. 

a) Sind die beiden Rechtecke ähnlich? Bestimme gegebenenfalls den Maßstab. 

b) Bestimme jeweils die Flächeninhalte und vergleiche sie miteinander. 

5 Berechne die fehlenden Größen (a = Originalgröße; b = Bildgröße; k = Maßstab). 

a) a = 20 cm; b = 25 mm; k = 

b) a = ; b = 4 cm; k = 1 : 25 000 

c) a = 32 m; b = ; k = 3 : 4000 

6 Bestimme jeweils den Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor. 

a) Ein DIN A5-Arbeitsblatt soll auf dem Fotokopierer auf DIN A4-Format vergrößert 

werden. 

b) Ein DIN A3-Arbeitsblatt soll auf DIN A4-Format verkleinert werden. 

7 Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Längen der Katheten a und b bekannt. 

Welche der Dreiecke A’B’C’ sind zu ABC ähnlich? 

a) a = 3 cm; b = 5 cm 

a’ 4 cm 4,5 cm 5,4 cm 6 cm 15 cm 

b’ 6 cm 7,5 cm 9 cm 10 cm 20 cm 

b) a = 8 cm; b = 14 cm 

a’ 4 cm 6 cm 5 cm 20 cm 10 cm 

b’ 7 cm 10 cm 8,75 cm 35 cm 18 cm 

155


Ähnlichkeit 


Lösungsblatt 

4 Zeichne folgende Rechtecke: R1 mit a = 12 cm; b = 8 cm und R2 mit a = 9 cm; b = 6 cm. 

Verwende dazu die Rückseite dieses Blattes. 

a) Sind die beiden Rechtecke ähnlich? Bestimme gegebenenfalls den Maßstab. 

b) Bestimme jeweils die Flächeninhalte und vergleiche sie miteinander. 

3 

a) Die Rechtecke sind ähnlich. Der Maßstab ist 4 : 3 bzw. 1 : . 

4 

b) A1 = 96 cm 2 ; A2 = 54 cm 2 ; 

3 2 2 

A2 ist um ( ) bzw. k kleiner als A1. 

4 

5 Berechne die fehlenden Größen (a = Originalgröße; b = Bildgröße; k = Maßstab). 

a) a = 20 cm; b = 25 mm; k = 1 : 8 

b) a = 1 km ; b = 4 cm; k = 1 : 25 000 

c) a = 32 m; b = 2,4 cm ; k = 3 : 4000 

6 Bestimme jeweils den Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor. 

a) Ein DIN A5-Arbeitsblatt soll auf dem Fotokopierer auf DIN A4-Format vergrößert 

werden. 

b) Ein DIN A3-Arbeitsblatt soll auf DIN A4-Format verkleinert werden. 

a) k = 2 ; 

b) k = 

1 

= 

2 

1 

2 

7 Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Längen der Katheten a und b bekannt. 

Welche der Dreiecke A’B’C’ sind zu ABC ähnlich? 

a) a = 3 cm; b = 5 cm 

a’ 4 cm 4,5 cm 5,4 cm 6 cm 15 cm a) Die Dreiecke in den Spalten 2 bis 

b’ 6 cm 7,5 cm 9 cm 10 cm 20 cm 4 der Tabelle sind ähnlich zum 

b) a = 8 cm; b = 14 cm 

Dreieck ABC. 

a’ 4 cm 6 cm 5 cm 20 cm 10 cm b) Die Dreiecke in den Spalten 1, 3 

b’ 7 cm 10 cm 8,75 cm 35 cm 18 cm und 4 sind ähnlich zum Dreieck ABC. 

156


Name: 


Ähnlichkeit 


8 Zeichne die Dreiecke ABC und A’B’C’ mit A(0 | 1), B(3 | 3), C(1 | 5) 

und A’(6 | −3), B’(15 | 3), C’(9 | 9) in das Koordinatensystem ein. 

a) Liegt eine zentrische Streckung vor? Begründe deine Antwort. 

b) Gib gegebenenfalls den Streckfaktor und das Streckzentrum an. 

Arbeitsblatt 


9 Führe an Z eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k = 0,5 bzw. k = −1,5 durch. 

Wie wirkt sich die zentrische Streckung jeweils aus auf 

a) die Winkelgrößen? 

b) die Seitenlängen? 

c) den Flächeninhalt? 

157


Ähnlichkeit 


8 Zeichne die Dreiecke ABC und A’B’C’ mit A(0 | 1), B(3 | 3), C(1 | 5) 

und A’(6 | −3), B’(15 | 3), C’(9 | 9) in das Koordinatensystem ein. 

Lösungsblatt 

a) Liegt eine zentrische Streckung vor? Begründe deine Antwort. 

a) Die Seitenverhältnisse stimmen in beiden Dreiecken überein, also liegt 

eine zentrische Streckung vor. 

b) Gib gegebenenfalls den Streckfaktor und das Streckzentrum an. 

b) Streckfaktor k = 3, Streckzentrum Z(−3 | 3) 

9 Führe an Z eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k = 0,5 bzw. k = −1,5 durch. 

Wie wirkt sich die zentrische Streckung jeweils aus auf 

a) die Winkelgrößen? a) Die Winkelgrößen verändern sich nicht. 

b) die Seitenlängen? b) Die Seitenlängen ändern sich um den jeweiligen 

Streckfaktor. 

c) den Flächeninhalt? c) Der Flächeninhalt ändert sich um k 2 . 

158


Name: 


Ähnlichkeit 


Arbeitsblatt 


10 Zeichne das Fünfeck ABCDE mit A(3 | 5), B(2 | 4), C(2 | 2), D(4 | 2) und E(4 | 4). 

Führe an Z(0 | 0) eine zentrische Streckung mit den angegebenen Streckfaktoren durch. 

a) k = 0,5 

b) k = 1,5 

c) k = −1 

d) k = −0,75 

11 Stelle alle Verhältnisgleichungen auf, die nach dem 1. und 2. Strahlensatz gelten. 

12 Berechne die fehlenden Streckenlängen. 

a) a = 8,4 cm; g = 14 cm; d = 4 cm; e = 7,2 cm 

b) b = 5,4 cm; c = 16 cm; h = 25 cm; f = 22,5 cm 

159


Ähnlichkeit 


Lösungsblatt 

10 Zeichne das Fünfeck ABCDE mit A(3 | 5), B(2 | 4), C(2 | 2), D(4 | 2) und E(4 | 4). 

Führe an Z(0 | 0) eine zentrische Streckung mit den angegebenen Streckfaktoren durch. 

a) k = 0,5 

b) k = 1,5 

c) k = −1 

d) k = −0,75 

11 Stelle alle Verhältnisgleichungen auf, die nach dem 1. und 2. Strahlensatz gelten. 

RS QS SP SM SM SP 

= ; = ; = ; 

RM QP SQ SR MR PQ 

RQ RS RQ QS 

= ; = 

MP MS MP PS 

12 Berechne die fehlenden Streckenlängen. 

a) a = 8,4 cm; g = 14 cm; d = 4 cm; e = 7,2 cm 

a) b = 5,6 cm; c = 6 cm; f = 12 cm; h = 10 cm 

b) b = 5,4 cm; c = 16 cm; h = 25 cm; f = 22,5 cm 

b) a = 9,6 cm; d = 9 cm; e = 14,4 cm; g = 15 cm 

160


Name: 


Ähnlichkeit 


13 

Berechne die fehlenden Längen. 

14 Eine 16 cm lange Kerze steht 40 cm von 

der Öffnung einer Lochkamera entfernt. 

15 

Wie weit muss die Rückwand der 

Lochkamera von der Öffnung entfernt 

sein, damit das Bild mindestens 10 cm 

groß ist? 

Bestimme die Breite des Flusses. 

Arbeitsblatt 


16 Beschreibe, wie man mithilfe eines Stabes und eines Maßbandes bei Sonnenschein die 

Höhe eines Gebäudes bestimmen kann. 

161


Ähnlichkeit 


13 

Berechne die fehlenden Längen. 

a = 6,25 cm; b = 4 cm; 

c = 7,5 cm; d = 6 cm 

14 Eine 16 cm lange Kerze steht 40 cm von 

der Öffnung einer Lochkamera entfernt. 

Wie weit muss die Rückwand der 

Lochkamera von der Öffnung entfernt 

sein, damit das Bild mindestens 10 cm 

groß ist? 

Lösungsblatt 

Die Rückwand muss mindestens 25 cm von der Öffnung entfernt sein. 

15 Bestimme die Breite des Flusses. 

Der Fluss ist etwa 30,1 m breit. 

16 Beschreibe, wie man mithilfe eines Stabes und eines Maßbandes bei Sonnenschein die 

Höhe eines Gebäudes bestimmen kann. 

Wenn der Stab so aufgestellt 

wird, dass sein Schatten mit dem 

des Hauses zusammenfällt wie in 

der Skizze, kann man mit dem 

zweiten Strahlensatz die Höhe 

des Hauses berechnen. Die Höhe des Stabes und die Schattenlängen 

lassen sich mit dem Maßband ermitteln. 

162

2 Geometrie 


Arbeitsblätter in zwei Niveaustufen 

Alle Arbeitsblätter liegen in zwei Niveaustufen vor: Niveau 2 zielt auf das Grundniveau, Niveau 1 

stellt ein Differenzierungsangebot für schwächere Schülerinnen und Schüler dar. 

Die Niveaustufe 1 bietet gleiche Inhalte und ähnliche Aufgaben wie Niveaustufe 2, verwendet aber 

einfacheres Zahlenmaterial und gibt zusätzlich Hilfestellungen. 

Beide Arbeitsblätter können parallel im Unterricht eingesetzt werden. 

Inhalt: 

• Ähnliche Figuren erkennen ______________________________________________ 165 

• Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen ____________________________________ 169 

• Streckungen erkennen __________________________________________________ 173 

• Streckungen im Koordinatensystem erkennen ________________________________ 177 

• Zentrische Streckungen _________________________________________________ 181 

• Figuren strecken _______________________________________________________ 185 

• Streckungen im Koordinatensystem _______________________________________ 189 

• Streckungen und Kongruenzabbildungen verketten ___________________________ 193 

• Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen __________________________ 197 

• Berechnungen mit den Strahlensätzen ______________________________________ 201 

• Anwendungen zu Strahlensätzen __________________________________________ 205 

163


Name: 


Ähnlichkeit 

Ähnliche Figuren erkennen (Niveau 1) 

1 Markiere mindestens zwei 

unterschiedliche Figuren. 

Wie viele ähnliche Figuren gibt es 

jeweils zu der Figur? 

2 Zu zwei Figuren gibt es eine ähnliche 

Figur. 

Welche Figuren sind das? 

3 Begründe, warum die Dreiecke nicht 

zueinander ähnlich sind. 

Arbeitsblatt 


165


Ähnlichkeit 


1 Markiere mindestens zwei 




z.B.: Sechseck in der Mitte 

und großes Sechseck; 

gleichseitige Dreiecke in der 

Mitte (6 Stück); 

gleichschenklige Dreiecke 

(3 Stück); 

Rauten (9 Stück) 

2 Zu zwei Figuren gibt es eine ähnliche 

Figur. 

Welche Figuren sind das? 

und ; 

und 

3 Begründe, warum die Dreiecke nicht 


Die Dreiecke sind nicht ähnlich, 

da die Längenverhältnisse der 

Seiten und die beiden übrigen 

Winkel nicht übereinstimmen. 

Lösungsblatt 

166


Name: 


Ähnlichkeit 


1 Markiere mindestens drei 




2 Welche Figuren sind ähnlich? 

Begründe deine Antwort. 

3 Sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke 

zueinander ähnlich? 

Begründe. 

Arbeitsblatt 


167


Ähnlichkeit 


1 Markiere mindestens drei 




z.B.: 2 regelmäßige Sechseck 

in der Mitte und großes 

Sechseck; 

gleichseitige Dreiecke (20 

Stück); Kreisausschnitte mit 

der Winkelgröße 60° (6 Stück) 

2 Welche Figuren sind ähnlich? 

Begründe deine Antwort. 

und ; 

und 

Bei den ähnlichen Figuren 

stimmen jeweils alle Winkel- 

Lösungsblatt 

größen überein und die Längenverhältnisse entsprechender Seiten sind 

gleich groß. 

3 Sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke 

zueinander ähnlich? 

Begründe. 

Die Dreiecke sind nicht ähnlich, 

da die Längenverhältnisse der 

Seiten und die beiden übrigen 

Winkel nicht übereinstimmen. 

168


Name: 


Ähnlichkeit 

Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen (Niveau 1) 

1 Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle. 

Arbeitsblatt 


a) b) c) d) e) f) 

Maßstab 1 : 2 1 : 10 1 : 1000 

Zeichnung 4 cm 1 cm 2 cm 2 cm 3 cm 

Original 10 cm 300 cm 10 cm 60 cm 

g) h) i) j) k) l) 

Maßstab 2 : 1 10 : 1 1 : 6 1 : 500 

Zeichnung 4 m 5 m 1,5 km 3 km 

Original 0,1 m 50 m 2000 km 120 km 

2 Maßstäbliches Vergrößern 

a) Vergrößere die Fläche der Maus im Quadrat maßstäblich auf ihre dreifache Länge 

und Breite. 

Um welchen Faktor hat sich der Flächeninhalt des Quadrates und damit auch der 

Flächeninhalt der Maus vergrößert? 

b) Wie ändert sich der Flächeninhalt des Quadrats bei einem Maßstab von 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20; 

1 1 1 

1 : ; 1 : bzw. 1 : ? 

2 4 100 

169


Ähnlichkeit 



Lösungsblatt 

a) b) c) d) e) f) 

Maßstab 1 : 2 1 : 10 1 : 300 1 : 1000 1 : 5 1 : 20 

Zeichnung 4 cm 1 cm 1 cm 2 cm 2 cm 3 cm 

Original 8 cm 10 cm 300 cm 2000 cm 10 cm 60 cm 

g) h) i) j) k) l) 

Maßstab 2 : 1 10 : 1 1 : 10 1 : 6 1 : 500 1 : 40 

Zeichnung 4 m 1 m 5 m 1,5 km 4 km 3 km 

Original 2 m 0,1 m 50 m 9 km 2000 km 120 km 


a) Vergrößere die Fläche der Maus im Quadrat maßstäblich auf ihre dreifache Länge 

und Breite. 

Um welchen Faktor hat sich der Flächeninhalt des Quadrates und damit auch der 

Flächeninhalt der Maus vergrößert? 

Der Flächeninhalt wird 9mal so groß. 

b) Wie ändert sich der Flächeninhalt des Quadrats bei einem Maßstab von 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20; 

1 1 1 

1 : ; 1 : bzw. 1 : ? 

2 4 100 

1 1 1 

Maßstab: 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20; 1 : ; 1 : ; 1 : 

2 

4 

100 

Flächeninhalt: 

1 1 1 

1 : 4; 1 : 25; 1 : 400; 1 : ; 1 : ; 1 : 

4 

16 10000 

170


Name: 


Ähnlichkeit 



Arbeitsblatt 


a) b) c) d) e) f) 

Maßstab 5 : 1 1 : 10 1 : 10000 

Zeichnung 25 mm 0,4 cm 1,2 cm 7 cm 4,5 cm 

Original 50 m 300 cm 3,5 km 0,9 km 

g) h) i) j) k) l) 

Maßstab 3 : 1 1 : 0,2 1 : 6,2 1 : 65000 

Zeichnung 4,68 m 5 mm 6,5 cm 7 m 

Original 2,46 cm 6 cm 2210 km 98 km 


a) Vergrößere das Bild der Maus im Würfel maßstäblich auf die dreifache Länge, 

Breite und Höhe. 

Um welchen Faktor hat sich das Volumen des Würfels und damit der Maus 

vergrößert? 

b) Wie ändert sich das Volumen des Würfels bei einem Maßstab von 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20; 

1 1 1 

1 : ; 1 : bzw. 1 : ? 

2 4 100 

171


Ähnlichkeit 



Lösungsblatt 

a) b) c) d) e) f) 

Maßstab 5 : 1 1 : 10 1 : 750 1 : 10000 1 : 50000 1 : 20000 

Zeichnung 25 mm 5 m 0,4 cm 1,2 cm 7 cm 4,5 cm 

Original 5 mm 50 m 300 cm 120 m 3,5 km 0,9 km 

g) h) i) j) k) l) 

Maßstab 3 : 1 1 : 0,2 1 : 12 1 : 6,2 1 : 65000 1 : 14000 

Zeichnung 4,68 m 12,3 cm 5 mm 6,5 cm 34 m 7 m 

Original 1,56 m 2,46 cm 6 cm 40,3 cm 2210 km 98 km 


a) Vergrößere das Bild der Maus im Würfel maßstäblich auf die dreifache Länge, 

Breite und Höhe. 

Um welchen Faktor hat sich das Volumen des Würfels und damit der Maus 

vergrößert? 

Das Volumen wird 27mal so groß. 

b) Wie ändert sich das Volumen des Würfels bei einem Maßstab von 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20; 

1 1 1 

1 : ; 1 : bzw. 1 : ? 

2 4 100 

1 1 1 

Maßstab: 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20; 1 : ; 1 : ; 1 : 

2 

4 

100 

1 1 1 

Volumen: 1 : 8; 1 : 125; 1 : 8000; 1 : ; 1 : ; 1 : 

8 

64 1000000 

172


Name: 


Ähnlichkeit 

Streckungen erkennen (Niveau 1) 

1 Trage jeweils das Streckzentrum ein. 

Arbeitsblatt 


2 Bestimme jeweils den Streckfaktor der zentrischen Streckung aus Aufgabe 1. 

a) k = b) k = c) k = 

3 Zeichne das Streckzentrum ein und ergänze die gestreckten Figuren. 

a) k = 0,5 b) k = 0,5 

4 Ergänze die Strecke AB zu einer eigenen Figur und strecke diese. 

Bestimme dazu zuerst das Streckzentrum. 

173


Ähnlichkeit 




a) k = 2 b) k = 2 c) k = 0,5 


a) k = 0,5 b) k = 0,5 



Lösungsblatt 

174


Name: 


Ähnlichkeit 



Arbeitsblatt 



a) k = b) k = c) k = 


a) k = 0,5 b) k = 0,5 



175


Ähnlichkeit 




a) k = 2 b) k = 2 c) k = 0,5 


a) k = 0,5 b) k = 0,5 



Lösungsblatt 

176


Name: 


Ähnlichkeit 

Streckungen im Koordinatensystem erkennen (Niveau 1) 

Arbeitsblatt 


1 Zeichne das Dreieck ABC mit A (4 | 4); B (6 | 4) und C (5 | 6) in das Koordinatensystem ein. 

Prüfe, ob folgende Dreiecke durch zentrische Streckung aus dem Dreieck ABC entstanden 

sein können. 

Trage gegebenenfalls das Streckzentrum ein und gib den Streckfaktor an. 

a) D (2 | 2); E (3 | 2); F (2,5 | 3) b) G (8 | 8); H (10 | 8); I (9 | 10,5) 

c) J (8 | 4); K (12 | 4); L (10 | 8) d) M (4,5 | 2); N (5,5 | 2); O (5 | 3) 

177


Ähnlichkeit 


Lösungsblatt 

1 Zeichne das Dreieck ABC mit A (4 | 4); B (6 | 4) und C (5 | 6) in das Koordinatensystem ein. 

Prüfe, ob folgende Dreiecke durch zentrische Streckung aus dem Dreieck ABC entstanden 

sein können. 


a) D (2 | 2); E (3 | 2); F (2,5 | 3) b) G (8 | 8); H (10 | 8); I (9 | 10,5) 

ja 

Nein, es stimmen nicht alle 

Za = (0 | 0) 

ka = 0,5 

Seitenverhältnisse der Dreiecke 

überein. 

c) J (8 | 4); K (12 | 4); L (10 | 8) d) M (4,5 | 2); N (5,5 | 2); O (5 | 3) 

ja 

ja 

Zc = (0 | 4) 

kc = 2 

Zd = (5 | 0) 

kd = 0,5 

178


Name: 


Ähnlichkeit 


Arbeitsblatt 


1 Zeichne das Viereck ABCD mit A (1 | 1); B (2 | 2); C (3 | 2) und D (0 | 3) in das 

Koordinatensystem ein. 

Prüfe, ob folgende Vierecke durch zentrische Streckung aus dem Viereck ABCD 

entstanden sein können. 


a) E (−0,5 | −2); F (2 | 0,5); G (4,5 | 0,5); 

H (−3 | 3) 

b) I (−3,5 | −3,5); J (−4 | −4); K (−4,5 | −4); 

L (−3 | −4,5) 

c) M (1 | −2); N (4,5 | 2); O (6,5 | 2); P (−2 | 5) d) Q (−4,5 | −1); R (−3,5 | 0); S (−2,5 | 0); T (−5,5 | 1) 

179


Ähnlichkeit 


Lösungsblatt 

1 Zeichne das Viereck ABCD mit A (1 | 1); B (2 | 2); C (3 | 2) und D (0 | 3) in das 

Koordinatensystem ein. 

Prüfe, ob folgende Vierecke durch zentrische Streckung aus dem Viereck ABCD 

entstanden sein können. 


a) E (−0,5 | −2); F (2 | 0,5); G (4,5 | 0,5); 

H (−3 | 3) 

ja 

Za = (2 | 3) 

ka = 2,5 

b) I (−3,5 | −3,5); J (−4 | −4); K (−4,5 | −4); 

L (−3 | −4,5) 

ja 

Zb = (−2 | −2) 

kb = −0,5 

c) M (1 | −2); N (4,5 | 2); O (6,5 | 2); P (−2 | 5) d) Q (−4,5 | −1); R (−3,5 | 0); S (−2,5 | 0); T (−5,5 | 1) 

Nein, es stimmen nicht alle Das Viereck wurde verschoben. 

Seitenverhältnisse der Vierecke 

überein. 

180


Name: 


Ähnlichkeit 

Zentrische Streckungen (Niveau 1) 

1 Führe die angegebenen zentrischen Streckungen durch. 

2 Bestimme den Streckfaktor und führe die zentrische Streckung durch. 

Streckfaktor: 

Arbeitsblatt 


181


Ähnlichkeit 




Streckfaktor: k = 3 

Lösungsblatt 

182


Name: 


Ähnlichkeit 




Streckfaktor: 

Arbeitsblatt 


183


Ähnlichkeit 




3 

Streckfaktor: k = − 

4 

Lösungsblatt 

184


Name: 


Ähnlichkeit 

Figuren strecken (Niveau 1) 

Arbeitsblatt 


Führe jeweils die zentrische Streckung mit dem angegebenen Streckfaktor k und dem 

Streckzentrum Z durch. 

185


Ähnlichkeit 


Lösungsblatt 



186


Name: 


Ähnlichkeit 


Arbeitsblatt 




187


Ähnlichkeit 


Lösungsblatt 



188


Name: 


Ähnlichkeit 

Streckungen im Koordinatensystem (Niveau 1) 

Arbeitsblatt 


1 Strecke das Viereck ABCD. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den 

Teilaufgaben angegeben. 

Gib die Koordinaten der Eckpunkte der entstandenen Figuren an. 

a) Za (0 | 0); ka = 0,5 b) Zb (0 | 0); kb = 2 

A´ B´ A´´ B´´ 

C´ D´ C´´ D´´ 

c) Zc (−4 | 0); kc = 2 d) Zd (−2 | 2); kd = −1 

A´´´ B´´´ A´´´´ B´´´´ 

C´´´ D´´´ C´´´´ D´´´´ 

189


Ähnlichkeit 


Lösungsblatt 

1 Strecke das Viereck ABCD. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den 



a) Za (0 | 0); ka = 0,5 b) Zb (0 | 0); kb = 2 

A´ (0,5 | 0) B´ (0 | 1) A´´ (2 | 0) B´´ (0 | 4) 

C´ (−0,5 | 0) D´ (0 | −1) C´´ (−2 | 0) D´´ (0 | −4) 

c) Zc (−4 | 0); kc = 2 d) Zd (−2 | 2); kd = −1 

A´´´ (6 | 0) B´´´ (4 | 4) A´´´´ (−5 | 4) B´´´´ (−4 | 2) 

C´´´ (2 | 0) D´´´ (4 | −4) C´´´´ (−3 | 4) D´´´´ (−4 | 6) 

190


Name: 


Ähnlichkeit 


Arbeitsblatt 


1 Strecke das Fünfeck ABCDE. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den 



a) Za (0 | 0); ka = 3 b) Zb (−6 | −2); kb = 0,5 

A´ B´ A´´ B´´ 

C´ D´ C´´ D´´ 

E´ E´´ 

c) Zc (0,5 | −1,5); kc = 2 d) Zd (1 | −1); kd = −1,5 

A´´´ B´´´ A´´´´ B´´´´ 

C´´´ D´´´ C´´´´ D´´´´ 

E´´´ E´´´´ 

191


Ähnlichkeit 


Lösungsblatt 

1 Strecke das Fünfeck ABCDE. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den 



a) Za (0 | 0); ka = 3 b) Zb (−6 | −2); kb = 0,5 

A´ (−3 | −3) B´ (0 | 0) A´´ (−3,5 | −1,5) B´´ (−3 | −1) 

C´ (3 | 0) D´ (3 | 3) C´´ (−2,5 | −1) D´´ (−2,5 | −0,5) 

E´ (0 | 3) E´´ (−3 | −0,5) 

c) Zc (0,5 | −1,5); kc = 2 d) Zd (1 | −1); kd = −1,5 

A´´´ (−2,5 | −0,5) B´´´ (−0,5 | 1,5) A´´´´ (4 | −1) B´´´´ (2,5 | −2,5) 

C´´´ (1,5 | 1,5) D´´´ (1,5 | 3,5) C´´´´ (1 | −2,5) D´´´´ (1 | −4) 

E´´´ (−0,5 | 3,5) E´´´´ (2,5 | −4) 

192


Name: 


Ähnlichkeit 

Streckungen und Kongruenzabbildungen verketten (Niveau 1) 

1 Wie können die Figuren auseinander hervorgegangen sein? 

Zeichne gegebenenfalls Streckzentrum, Spiegelachse, Drehpunkt, … ein. 

Arbeitsblatt 


2 Ähnliche Dreiecke 

a) Begründe mithilfe der Ähnlichkeitssätze für Dreiecke, dass die Dreiecke ABC und DEF 


b) Es gibt keine zentrische Streckung, die das Dreieck ABC auf das Dreieck DEF abbildet. 

Lässt sich durch Nacheinanderausführen von Abbildungen ABC auf DEF abbilden? 

193


Ähnlichkeit 




Lösungsblatt 

z.B.: a) Streckung mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k = 2; 

dann Achsenspiegelung an g. 

z.B.: b): Streckung an Z mit k = 2; Drehung um 90° an Z 




ABC = EFD = 90°; AB :DF = 3 : 1,5 = 2 : 1 =BC :EF 

Daraus folgt ∆ABC ist ähnlich zu ∆DEF, nach dem Ähnlichkeitssatz sws. 



Ja, z.B. zuerst eine zentrische Streckung mit dem Streckzentrum B und 

1 

dem Streckfaktor k= ; dann eine Achsenspiegelung an der Geraden g. 

2 

194


Name: 


Ähnlichkeit 




Arbeitsblatt 







195


Ähnlichkeit 




Lösungsblatt 

z.B.: a) Streckung mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k = 2; 

dann Achsenspiegelung an g. 

z.B.: b): Streckung an Z mit k = 2; Drehung um 90° an P; 

Verschiebung um den Verschiebungspfeil r . 




BAC = EDF = 90°; AB :DF = 3 : 2 = 6 : 4 = AC :DE 

Daraus folgt ∆ABC ist ähnlich zu ∆DEF, nach dem Ähnlichkeitssatz sws. 



Ja, z.B. zuerst eine zentrische Streckung mit dem Streckzentrum A und 

2 

dem Streckfaktor k= ; dann eine Achsenspiegelung an der 

3 

Mittelsenkrechten der Strecke AD . 

196


Name: 


Ähnlichkeit 

Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen (Niveau 1) 

1 Betrachte die Strahlensatzfigur rechts. 

a) Stelle zu der Strahlensatzfigur mindestens zwei 

Verhältnisgleichungen auf. 

Um welchen Strahlensatz handelt es sich jeweils? 

b) Berechne die fehlenden Größen und ergänze die Tabelle. 

Arbeitsblatt 


a b c d e f 

4 cm 8 cm 6 cm 2 cm 

12 cm 6 cm 9 cm 3 cm 

3 cm 12 cm 20 cm 16 cm 

3 cm 2,5 cm 9 cm 4,5 cm 

6 cm 5 cm 7,5 cm 10,5 cm 

4,2 cm 3 cm 15 cm 31 cm 

2 Berechne mithilfe der Strahlensätze die fehlenden 

Streckenlängen. 

ZP ZQ PQ ZR ZS RS PR SQ 

a) 8 cm 24 cm 18 cm 7 cm 

b) 20 cm 10 cm 14 cm 9 cm 

c) 10 cm 8 cm 12 cm 12 cm 

d) 18 cm 6 cm 5 cm 4,5 cm 

197


Ähnlichkeit 



a) Stelle zu der Strahlensatzfigur mindestens zwei 



a c 

z.B.: = (2. Strahlensatz) 

b d 

e c 

= (2. Strahlensatz) 

f d 

a e 


b f 


Lösungsblatt 

a b c d e f 

4 cm 8 cm 3 cm 6 cm 2 cm 4 cm 

12 cm 4 cm 6 cm 2 cm 9 cm 3 cm 

3 cm 12 cm 5 cm 20 cm 4 cm 16 cm 

6 cm 3 cm 5 cm 2,5 cm 9 cm 4,5 cm 

4 cm 6 cm 5 cm 7,5 cm 7 cm 10,5 cm 

4,2 cm 21 cm 3 cm 15 cm 6,2 cm 31 cm 




a) 8 cm 24 cm 16 cm 6 cm 18 cm 12 cm 7 cm 21 cm 

b) 20 cm 30 cm 10 cm 14 cm 21 cm 7 cm 6 cm 9 cm 

c) 10 cm 15 cm 5 cm 8 cm 12 cm 4 cm 12 cm 18 cm 

d) 12 cm 18 cm 6 cm 10 cm 15 cm 5 cm 3 cm 4,5 cm 

198


Name: 


Ähnlichkeit 



a) Stelle zu der Strahlensatzfigur mindestens drei 




Arbeitsblatt 


a b c d e f 

10 cm 6 cm 9 cm 8 cm 

12 dm 6 dm 7,5 dm 5 dm 

11 m 7 m 10,5 m 12,6 m 

5,6 cm 4,2 cm 14,1 cm 8,4 cm 

12 cm 13,5 cm 1,08 dm 72 mm 

74 mm 6,8 cm 0,306 m 369 mm 




a) 35 cm 49 cm 28 cm 25 cm 

b) 1,6 cm 0,4 cm 1,2 cm 4 cm 

c) 10,6 cm 1,8 cm 5,4 cm 9,2 cm 

d) 1,5 cm 

2 

cm 

3 

8 

cm 

14 

18 

cm 

7 

199


Ähnlichkeit 



a) Stelle zu der Strahlensatzfigur mindestens drei 



a c 

z.B.: = (2. Strahlensatz) 

b d 

e c 


f d 

a e 


b f 


Lösungsblatt 

a b c d e f 

10 cm 6 cm 15 cm 9 cm 8 cm 4,8 cm 

12 dm 8 dm 6 dm 4 dm 7,5 dm 5 dm 

11 m 7 m 16,5 m 10,5 m 19,8 m 12,6 m 

9,4 cm 5,6 cm 7,05 cm 4,2 cm 14,1 cm 8,4 cm 

15 cm 12 cm 13,5 cm 1,08 dm 9 cm 72 mm 

74 mm 33,3 cm 6,8 cm 0,306 m 0,82 dm 369 mm 




a) 35 cm 49 cm 14 cm 20 cm 28 cm 8 cm 25 cm 35 cm 

b) 1,6 cm 2 cm 0,4 cm 1,2 cm 1,5 cm 0,3 cm 3,2 cm 4 cm 

c) 10,6 cm 31,8 cm 21,2 cm 1,8 cm 5,4 cm 3,6 cm 9,2 cm 27,6 cm 

d) 

5 

cm 1,5 cm 

6 

2 

cm 

3 

5 

cm 

7 

9 

cm 

7 

8 

cm 

14 

10 

cm 

7 

18 

cm 

7 

200


Name: 


Ähnlichkeit 

Berechnungen mit den Strahlensätzen (Niveau 1) 

1 Ergänze die Tabelle. 

AB AC BC CD CE DE 

a) 3 cm 4 cm 10 cm 6 cm 

b) 24 cm 20 cm 8 cm 6 cm 

c) 8 cm 6 cm 12 cm 9 cm 

d) 5 cm 15 cm 17,5 cm 12,5 cm 

e) 15 cm 4,5 cm 4 cm 5 cm 

f) 36 cm 31,5 cm 10 cm 7 cm 

2 Berechne die Länge der vierten Strecke. 

a) SA = 2 cm b) SA = 3 cm 

SA ´ = 6 cm SA ´ = 

SB = SB = 1,5 cm 

SB ´ = 18 cm SB ´ = 2,5 cm 

c) SA = d) SA = 1,2 cm 

SA ´ = 7 cm SA ´ = 4,1 cm 

SB = 32 cm SB = 6 cm 

SB ´ = 56 cm SB ´ = 

Arbeitsblatt 


3 Ein 3 m langer Stab wirft einen Schatten von 2,50 m Länge. 

Wie hoch ist ein Turm, der zur gleichen Zeit am gleichen Ort einen Schatten von 15 m 

Länge wirft? 

201


Ähnlichkeit 




a) 3 cm 4 cm 5 cm 10 cm 8 cm 6 cm 

b) 24 cm 20 cm 8 cm 2 cm 5 cm 6 cm 

c) 6 cm 8 cm 4 cm 6 cm 12 cm 9 cm 

d) 5 cm 7 cm 6 cm 15 cm 17,5 cm 12,5 cm 

e) 15 cm 12 cm 4,5 cm 1,5 cm 4 cm 5 cm 

f) 36 cm 31,5 cm 45 cm 10 cm 7 cm 8 cm 


a) SA = 2 cm b) SA = 3 cm 

SA ´ = 6 cm SA ´ = 5 cm 

SB = 6 cm SB = 1,5 cm 

SB ´ = 18 cm SB ´ = 2,5 cm 

c) SA = 4 cm d) SA = 1,2 cm 

SA ´ = 7 cm SA ´ = 4,1 cm 

SB = 32 cm SB = 6 cm 

SB ´ = 56 cm SB ´ = 20,5 cm 

Lösungsblatt 

3 Ein 3 m langer Stab wirft einen Schatten von 2,50 m Länge. 

Wie hoch ist ein Turm, der zur gleichen Zeit am gleichen Ort einen Schatten von 15 m 

Länge wirft? 

x 3 m 

= 

15 m 2,50 m 

x = 18 m 

Der Turm ist 18 m hoch. 

202


Name: 


Ähnlichkeit 




a) 3,6 cm 4 cm 7,5 cm 5,4 cm 

b) 2,7 cm 3 cm 1,5 cm 9 cm 

c) 9,8 cm 3,2 cm 2,8 cm 1,6 cm 

d) 0,75 cm 1,2 cm 2,88 cm 3,6 cm 

e) 14,7 cm 18,9 cm 5 cm 3,5 cm 

f) 9,8 cm 4,6 cm 41,6 cm 29,9 cm 


a) SA = 2 cm b) SA = 2,4 cm 

SA ´ = 5 cm SA ´ = 

SB = SB = 3,2 cm 

SB ´ = 8,75 cm SB ´ = 4,8 cm 

c) SA = d) SA = 4,375 cm 

SA ´ = 7,25 cm SA ´ = 14 cm 

SB = 3,75 cm SB = 3,5 cm 

SB ´ = 5 cm SB ´ = 

Arbeitsblatt 


3 Ein 2,10 m langer Stab wirft einen Schatten von 2,65 m Länge. 

Wie hoch ist ein Turm, der zur gleichen Zeit am gleichen Ort einen Schatten von 35,60 m 

Länge wirft? 

203


Ähnlichkeit 




a) 3,6 cm 4 cm 5 cm 7,5 cm 6 cm 5,4 cm 

b) 2,7 cm 3 cm 1,5 cm 5 cm 10 cm 9 cm 

c) 5,6 cm 9,8 cm 11,2 cm 3,2 cm 2,8 cm 1,6 cm 

d) 0,75 cm 1,5 cm 1,2 cm 2,88 cm 3,6 cm 1,8 cm 

e) 14,7 cm 21 cm 18,9 cm 4,5 cm 5 cm 3,5 cm 

f) 9,8 cm 4,6 cm 6,4 cm 41,6 cm 29,9 cm 63,7 cm 


a) SA = 2 cm b) SA = 2,4 cm 

SA ´ = 5 cm SA ´ = 3,6 cm 

SB = 3,5 cm SB = 3,2 cm 

SB ´ = 8,75 cm SB ´ = 4,8 cm 

c) SA = 5,4375 cm d) SA = 4,375 cm 

SA ´ = 7,25 cm SA ´ = 14 cm 

SB = 3,75 cm SB = 3,5 cm 

SB ´ = 5 cm SB ´ = 11,2 cm 

Lösungsblatt 

3 Ein 2,10 m langer Stab wirft einen Schatten von 2,65 m Länge. 

Wie hoch ist ein Turm, der zur gleichen Zeit am gleichen Ort einen Schatten von 35,60 m 

Länge wirft? 

x 

35,60 

m 

= 

x ≈ 28,21 m 

2,10 m 

2,65 m 

Der Turm ist ca. 28,20 m hoch. 

204


Name: 


Ähnlichkeit 

Anwendungen zu Strahlensätzen (Niveau 1) 

1 Eine Rampe kann zum Entladen von Containern in 

verschiedenen Stufen ausgefahren werden. 

Bei einer Länge der Schrägen von 15,0 m wird eine Höhe 

von 2,5 m erreicht. 

a) Die Schräge wird auf eine Länge von 9 m ausgefahren. 

Welche Höhe wird erreicht? 

Arbeitsblatt 


b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um eine Höhe von 2 m zu erreichen? 

2 Ein kegelförmiges Kelchglas mit einem inneren Randdurchmesser von 6,5 cm und einer 

inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe mit Wasser gefüllt. 

Wie viel Kubikzentimeter Wasser sind dann in dem Glas? 

1 2 

Hinweis: VKegel = πr · h 

3 

205


Ähnlichkeit 






a) Die Schräge wird auf eine Länge von 9 m ausgefahren. 

Welche Höhe wird erreicht? 

x : 9 m = 2,5 m : 20 m; x = 1,5 m 

Eine Höhe von 1,5 m wird erreicht. 

Lösungsblatt 

b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um eine Höhe von 2 m zu erreichen? 

x : 2 m = 15 m : 2,5 m; x = 12 m 

Die Schräge muss auf 12 m ausgefahren werden. 


inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe mit Wasser gefüllt. 

Wie viel Kubikzentimeter Wasser sind dann in dem Glas? 

1 2 

Hinweis: VKegel = πr · h 

3 

Die Menge des halb gefüllten Glases nimmt den Raum eines Kegels mit 

8 cm Höhe ein. Der Durchmesser von 3,25 cm lässt sich mithilfe der 

Strahlensätze berechnen. 

Kegel des halb gefüllten Glases: G ≈ 8,30 cm 2 ; V ≈ 22,11 cm 3 

206


Name: 


Ähnlichkeit 






Arbeitsblatt 


a) Würde ein Ausfahren der Schrägen auf 4,0 m reichen, um einen 80 cm hoch stehenden 

Container zu entladen? 

b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um stufenlos einen Container in einer 

Höhe von 1,2 m zu entladen? 


inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe gefüllt. 

Wie viel Prozent des maximal in das Glas einzufüllenden Volumens entspricht diese 

Menge? 

207


Ähnlichkeit 






Lösungsblatt 

a) Würde ein Ausfahren der Schrägen auf 4,0 m reichen, um einen 80 cm hoch stehenden 

Container zu entladen? 

x : 4 m = 2,5 m : 15 m; x ≈ 0,67 m 

Ein Ausfahren der Rampe auf 4,0 m reicht nicht, denn die erreichte Höhe 

beträgt nur etwa 67 cm. 

b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um stufenlos einen Container in einer 

Höhe von 1,2 m zu entladen? 

x : 1,2 m = 15 m : 2,5 m; x = 7,2 m 

Die Schräge muss auf 7,2 m ausgefahren werden. 


inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe gefüllt. 

Wie viel Prozent des maximal in das Glas einzufüllenden Volumens entspricht diese 

Menge? 

Die Menge des halb gefüllten Glases nimmt den Raum eines Kegels mit 

8 cm Höhe ein. Der Durchmesser von 3,25 cm lässt sich mithilfe der 

Strahlensätze berechnen. 

Kegel des halb gefüllten Glases: G ≈ 8,29 cm 2 ; V ≈ 22,11 cm 3 

Kegel des ganz gefüllten Glases: G ≈ 33,17 cm 2 ; V ≈ 176,89 cm 3 

Die Menge des halb gefüllten Glases entspricht 12,5 % der Menge, die 

maximal einzufüllen ist. 

208

2 Geometrie 


Methoden, Infotexte und Spiele 

Die Methoden, Infotexte und Spiele dienen der Einführung, der Wiederholung und der Festigung von 

mathematischen Inhalten. 

Die Hinweise auf dieser Seite bieten unter anderem Anregungen wann die Materialien im Unterricht 

eingesetzt werden können. 

Inhalt: 

• Der Daumensprung ____________________________________________________ 211 

• Bastelvorlage − Försterdreieck ___________________________________________ 212 

• Bastelvorlage − Pantograph ______________________________________________ 214 

• Bastelvorlage − Messkeil und Messlehre ___________________________________ 215 

• Bastelvorlage − Lochkamera _____________________________________________ 216 

• Vorlagen zur Rastertechnik ______________________________________________ 218 

Hinweise zu den Methoden, Infotexten und Spielen: 

• Der Daumensprung; Bastelvorlage − Försterdreieck; Bastelvorlage − Messkeil und Messlehre: 

Einige Messgeräte und Messtechniken machen sich die Strahlensätze zunutze. Beispiele hierfür 

bieten die Bastelvorlagen und der Infotext. 

• Bastelvorlage − Pantograph: 

Mit einem Pantographen oder auch Storchenschnabel können Zeichnungen vergrößert und 

verkleinert werden. Auch der Pantograph macht sich die Strahlensätze zunutze. 

Die Bastelvorlage bietet eine einfache Version eines Pantographen. 

• Bastelvorlage − Lochkamera: 

Mithilfe von Lochkameras können die Strahlensätze veranschaulicht werden. 

„Wie verändert sich das Bild, wenn man sich vom Gegenstand entfernt bzw. sich dem Gegenstand 

nähert?“; „Warum erscheint das Bild auf dem Kopf?“; … 

Das Arbeitsblatt bietet eine einfache Bastelvorlage für eine Lochkamera. 

• Vorlagen zur Rastertechnik: 

Mithilfe der Rastertechnik können Bilder leicht maßstabsgetreu abgezeichnet werden. Mit ihrer 

Hilfe kann die zentrische Streckung eingeführt und der Maßstab wiederholt werden. 

Das Arbeitsblatt enthält Vorlagen zum Abzeichnen und entsprechende Raster zum Vergrößern und 

Verkleinern. 

209


Name: 


Ähnlichkeit 

Der Daumensprung 

Visierst du deinen Daumen am ausgestreckten Arm einmal mit dem 

linken und einmal mit dem rechten Auge an, so scheint der Daumen 

hin und her zu springen. 

Diesen Effekt kannst du nutzen, um die Entfernung zu einem 

Gegenstand zu bestimmen, dessen Breite du kennst oder gut 

schätzen kannst. 

Dazu musst du den Abstand deiner Pupillen und den Abstand deines 

Daumens von deinen Augen kennen. 

Material: Maßband 

1 Miss die Breite des Gegenstands aus, zu dem die Entfernung bestimmt 

werden soll. 

2 Stell dich nun in einer gewissen Entfernung zum Gegenstand auf und 

visiere mit dem linken Auge seine rechte Seite an. Wechsle dann auf 

das rechte Auge. Schätze die Strecke, die dein Daumen „überspringt“. 

3 Berechne jetzt deine Entfernung zum Gegenstand. Die Nebenstehende 

Zeichnung hilft dir dabei. 

Welche Längen sind mit den Bezeichnungen a, d, e und s gemeint? 

4 Stelle eine Formel auf, mit der die Entfernung eines Objekts in Abhängigkeit 

von deinen Körperdaten – also deinem Augenabstand und 

dem Abstand vom Auge zum Daumen – bestimmt werden kann. 

Arbeitsblatt 


211

© 2011 Cornelsen Cornelsen Verlag, Berlin. Berlin. Alle Rechte Rechte vorbehalten. vorbehalten. 

Name: 


Ähnlichkeit 

Bastelvorlage − Försterdreieck (1/2) 

Arbeitsblatt 


Material: Wollfaden (circa 30 cm), Schraube oder ähnlicher Gegenstand (dient zum 

Beschweren des Fadens), Klebeband 

Klebe das Dreieck auf starke Pappe und schneide es mit Halter aus. 

Befestige die Schraube an einem Ende des Wollfadens. 

Klebe das andere Ende des Wollfadens am markierten Punkt auf das Dreieck. 

Fertig ist das Försterdreieck! 

212


Name: 


Ähnlichkeit 

Bastelvorlage − Försterdreieck (2/2) 

Aufgabe: 

Bestimme die Höhe eines Objekts auf dem Pausenhof mithilfe 

eines Försterdreiecks. 

1 Die untere Kante des Försterdreiecks muss horizontal gehalten 

werden. Dazu muss das Lot entlang der vertikalen Kante verlaufen. 

2 Die Hypotenuse dient zum Anvisieren des höchsten Punktes: Gehe 

solang auf das zu vermessende Objekt zu oder von ihm weg, bis du 

dessen höchsten Punkt anvisieren kannst. 

3 Miss den Abstand s zwischen dir und dem Lotfußpunkt F. 

4 Ermittle mithilfe einer maßstabsgetreuen Zeichnung die Höhe des Objekts. 

5 Begründe, warum das Försterdreieck und das Dreieck aus Auge, Spitze 

des Objekts und Lotfußpunkt F ähnlich zueinander sind. 

6 Beschreibe nun, wie die Höhe mithilfe des Försterdreiecks berechnet 

werden kann und ermittle rechnerisch die Höhe des Objekts im Pausenhof. 

Vergleiche deine Ergebnisse. 

Arbeitsblatt 


7 Stelle eine Formel auf, mit der die Höhe eines Objekts in Abhängigkeit von der 

Entfernung zwischen dir und dem Punkt F bestimmt werden kann. 

8 Was ändert sich, wenn du kein gleichschenkliges Dreieck zur Verfügung hast? 

Wie lautet die Formel für ein Dreieck mit den Schenkellängen 10 cm und 15 cm? 

213


Name: 


Ähnlichkeit 

Bastelvorlage − Pantograph 

Klebe die Bastelvorlage auf Karton und 

schneide die einzelnen Bauteile sorgfältig aus. 

Verbinde die Bauteile an den gekennzeichneten 

Löchern mit Postklammern, dass 

du eine Figur wie auf dem Foto erhältst. 

Fixiere den Pantographen am schwarzen 

Punkt auf dem Untergrund. 

Arbeitsblatt 


214


Name: 


Ähnlichkeit 

Bastelvorlage − Messkeil und Messlehre 

Arbeitsblatt 


Klebe die Vorlagen für den Messkeil und die Messlehre auf Pappe und schneide sie aus. 

Beschreibe, wie man mit dem Messkeil und der Messlehre die Weite einer Öffnung bzw. die 

Dicke eines Stabes messen lässt. 

Führe verschiedene Messungen durch. 

Messkeil 

Messlehre 

215


Name: 


Ähnlichkeit 

Bastelvorlage − Lochkamera (1/2) 

Bau einer Lochkamera 

Arbeitsblatt 


Material: Vorlage für die Lochkamera aus Pappe, Transparentpapier-Quadrat, Stecknadel 

Durchführung: 

Schneide aus dem Karton die Lochkamera aus. Die weißen Rechtecke sind Klebekanten. 

Schneide diese Klebekanten auseinander. 

Klebe die Lochkamera wie folgt zusammen. 

Achtung! Dabei müssen die schwarzen Flächen innen sein. 

Steche in die Mitte der Vorderseite ein kleines Loch mit der Stecknadel. 

Klebe nun auf die Rückseite Transparentpapier oder Butterbrotpapier. 

216


Name: 


Ähnlichkeit 

Bastelvorlage − Lochkamera (2/2) 

Arbeitsblatt 


217


Name: 


Ähnlichkeit 

Vorlagen zur Rastertechnik (1/3) 

Vergrößere den Fisch mithilfe der beiden Gitter auf der Vorlage. 

Wie stark ist der Fisch gewachsen? 

Arbeitsblatt 


218


Name: 


Ähnlichkeit 


Vergrößere die Schnecke 

mithilfe der beiden Gitter 

auf der Vorlage. 

Wie stark ist die Schnecke 

gewachsen? 

Arbeitsblatt 


219


Name: 


Ähnlichkeit 


Verkleinere die Schnecke mithilfe der beiden Gitter auf der Vorlage. 

Wie stark ist die Schnecke geschrumpft? 

Zeichne eigene Raster und übertrage die Motive darauf. 

Arbeitsblatt 


Du kannst auch eigene Bilder (z.B. aus Zeitschriften, von Fotos) mithilfe der Rastertechnik 

zeichnen. Dafür musst du über den Bereich, der abgezeichnet werden soll ein Raster legen. 

220

Mathematik - Cornelsen Verlag

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