Serie 13 - SAM

D-MATH Numerische Methoden für D-PHYS FS 2013
Dr. Vasile Gradinaru
Dr. Roger Käppeli
Serie 13
1. Anfangsamplitude eines Pendels zu gegebener Periode
Die Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels (Reibung vernachlässigt) der Länge l ist eine
nicht-lineare gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und das zugehörige Anfangswertproblem
ist
¨φ = − g l sin(φ), φ(0) = φ 0 ∈ (0,π/2] , ˙φ(0) = 0 , (1)
wobeiφder Winkel des Pendels in Bezug zur vertikalen Richtung andg die Gravitationskonstante ist.
Bei kleinen Winkelnφist es gerechtfertig die Näherungsin(φ) ≈ φ zu verwenden, um die Gleichung zu
approximieren. In diesem Fall ist die Lösung eine harmonische Oszillation, deren PeriodeT unabhängig
vom Anfangswertφ 0 ist. Für grosse Amplituden jedoch ist die PeriodeT der Lösung eine Funktion des
Anfangswertes.
Wir betrachten daher im Folgenden das nicht-lineare Anfangswertproblem (1) mit l = 0.6 m und
g = 9.81 ms −2 und betrachten das Problem:
Bestimme den Anfangswertφ 0 , so dassT = 1.8 die Periode der Lösung ist.
Für die numerische Lösung dieses Problems müssen wir sowohl numerische Integration als auch numerische
Nullstellensuche verwenden.
a) Schreibe die Differentialgleichung 2. Ordnung (1) als eine System von Differentialgleichungen 1.
Ordnung.
b) Schreibe eine Python Funktion
IntegratePendulum(phi0,tEnd,l,g,flag)
die den Integratorode45 verwendet um (1) mit den Parameternl andg zu lösen. Fürflag=True
soll nur die numerische Approximation von ϕ(tEnd) anstatt die gesamte numerische Lösung zurückgegeben
werden.
c) Löse das Anfangswertproblem (1) für die Anfangswerte φ 0 = 0.8 π 2 und φ 0 = 0.99 π 2
. Plotte in
beiden Fällen den zeitlichen Verlauf vonφund ˙φ. Verifiziere, dass die Periode der Lösung für den
ersten Startwert kleiner und für den zweiten Startwert grösser alsT = 1.8.
Aufgrund der Symmetrie folgt: Das Pendel passiert in jedem Fall beit = T 4 undt = 3 4T seinen tiefsten
Punkt. Daher können wir das Problem (1.) folgendermassen formulieren:
Bestimme φ 0 > 0, so dass für die Lösungt ↦→ φ(t) von (1)φ(0.45) = 0. gilt
Dieses Problem kann als Nullstellensuche für die Funktion F : [0,π/2] ↦→ R, F(φ 0 ) := φ(0.45)
formuliert werden, wobeiφ(t) durch (1) definiert ist.
Die Funktion F ist stetig and steigend auf [0.8π/2,0.99π/2] (grössere Anfangswerte sind längere Perioden).
Daher hatF auf diesem Intervall eine eindeutige Nullstelle, die beispielsweise mit der Bisektionsmethode
numerisch berechnet werden kann.

d) Verwende die Python-Funktonfsolve aus dem Modulescipy.optimize um die Nullstelle
von F(φ 0 ) zu bestimmmen. VerwendeIntegratePendulum aus Teilaufgabe b) um den Wert
F(φ 0 ) = φ(0.45) zu approximieren.
Plotte die Lösung und verifiziere, dass die numerische Lösung tatsächlich die PeriodeT = 1.8 hat.
Hinweis: Verwende das TemplatePendulum_Template.py undode45.py.
2. Numerische Lösung der Pendelgleichung und Energieerhaltung
Implementiere im TemplatependSolver_Template.py jeweils das explizite Eulerverfahren, das
implizite Eulerverfahren und die implizite Mittelpunktsregel in den Funktionen{IntegratePendulumEE,
IntegratePendulumIE
undIntegratePendulumIM um numerische Lösungen der Pendelgleichung (s. Serie 12) auf einem
equidistanten Gitter zu bestimmen.
Plotte die numerischen Lösungen der drei Methoden zu den Daten l = 0.6 m, g = 9.81 ms −2 , T = 4,
ϕ 0 = 1.485513 undN = 500 Zeitschritten im Phasenraum(ϕ, ˙ϕ).
Plotte auch den zeitlichen Verlauf der kinetischen Energie, der potentiellen Energie und der Gesamtenergie.
Hinweis: Verwende fsolve aus dem Modul scipy.optimize um nicht-lineare Gleichungen zu
lösen.
Abgabe: 28./29.05.2013, in den Übungsgruppen oder in den Fächern im (Vor)Raum HG G 53
Koordinator: Dr. Roger Käppeli, HG G 52.1,roger.kaeppeli@sam.math.ethz.ch
Webpage:
http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2013/other/nm_pc