Beispiel - SAM - ETH Zürich

Vorlesung 401-2654-00L, Numerische Mathematik, FS 2008
Numerische
Mathemtik
Numerische Mathematik
(Numerik der ODEs)
Prof. Ralf Hiptmair, Dr. Vasile Gradinaru
Seminar for Applied Mathematics, ETH Zürich
R. Hiptmair
rev 35327,
13. Mai
2011
Entwurf Februar 2011, Subversion rev 35327
http://www.sam.math.ethz.ch/~hiptmair/tmp/NUMODE11.pdf
0.0
p. 1

Numerische
Mathemtik
Inhaltsverzeichnis
0.1 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Einleitung 11
1.1 Anfangswertprobleme (AWP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Beispiele und Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1 Ökologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
R. Hiptmair
rev 35327,
13. Mai
2011
1.2.2 Chemische Reaktionskinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3 Physiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.4 Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Theorie [8, Sect. 2], [1, Ch. II] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.1 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.2 Lineare AWPe [3, Sekt. 8.2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.3.3 Sensitivität [8, Sect. 3.1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
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p. 2

1.3.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.3.3.2 Unser Problem: das Anfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Numerische
Mathemtik
1.3.3.3 Wohlgestelltheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.3.3.4 Asymptotische Kondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.3.3.5 Schlecht konditionierte AWPe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.4 Polygonzugverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.4.1 Das explizite Eulerverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.4.2 Das implizite Euler-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.4.3 Implizite Mittelpunktsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.4.4 Störmer-Verlet-Verfahren [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2 Einschrittverfahren 117
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.1.1 Abstrakte Einschrittverfahren [8, Sect. 4.1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
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13. Mai
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2.1.2 Konsistenz [8, Sect. 4.1.1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.1.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.1.4 Das Äquivalenzprinzip (Dahlquist, Lax) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.1.5 Reversibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.2 Kollokationsverfahren[8, Sect. 6.3], [16, Sect. II.1.2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.2.1 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.2.2 Abstrakte Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.2.3 Konvergenz von Kollokationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
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p. 3

2.2.3.1 Konsistenzordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.2.3.2 Spektrale Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.3 Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
2.3.1 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
2.3.2 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
2.4 Extrapolationsverfahren [8, Sect. 4.3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
2.4.1 Der Kombinationstrick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
2.4.2 Extrapolationsidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
2.4.3 Extrapolation von Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
2.4.4 Lokale Extrapolations-Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
2.4.5 Ordnungssteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
2.4.6 Extrapolation reversibler Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
2.5 Splittingverfahren [16, Sect. 2.5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
2.6 Schrittweitensteuerung [8, Kap. 5], [19, Sect. 2.8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
3 Stabilität [8, Kap. 6] 320
3.1 Modellproblemanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
3.2 Vererbung asymptotischer Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
3.2.1 Attraktive Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
3.2.2 Attraktive Fixpunkte von Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
3.3 Nichtexpansivität [8, Abschn. 6.3.3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
3.4 Gleichmässige Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
3.5 Steifheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
3.6 Linear-implizite Runge-Kutta-Verfahren [8, Sect. 6.4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
3.7 Exponentielle Integratoren [24, 28, 25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
3.8 Differentiell-Algebraische Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
3.8.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
3.8.2 Runge-Kutta-Verfahren für Index-1-DAEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
3.8.3 DAEs mit höherem Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
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Mathemtik
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4 Strukturerhaltende numerische Integration 433
4.1 Polynomiale Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
Numerische
Mathemtik
4.2 Volumenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
4.3 Verallgemeinerte Reversibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
4.4 Symplektizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
4.4.1 Symplektische Evolutionen Hamiltonscher Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
4.4.2 Symplektische Integratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
4.4.3 Rückwärtsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
4.4.4 Modifizierte Gleichungen: Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
4.4.5 Strukturerhaltende modifizierte Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
4.5 Methoden für oszillatorische Differentialgleichungen [23] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
Verzeichnisse 570
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Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
Verzeichnis der Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Verzeichnis der Definitionen und Konzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
Verzeichnis der MATLAB-CODE-Fragmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
0.0
p. 5

Allgemeine Informationen
Numerische
Mathemtik
Dozent: Prof. Ralf Hiptmair, SAM, D-MATH, Büro: HG G 58.2 Tel.: 044 632 3404,
hiptmair@sam.math.ethz.ch
Assistent: Cedric Effenberger, SAM, D-MATH Büro: HG G 55, Tel.: 044 632 0392,
ece@sam.math.ethz.ch
Tutoren: Dr. Jingzhi Li, SAM, D-MATH Büro: HG G 55 Tel.: 044 632 0392,
jingzhi.li@math.ethz.ch
Jan Ernest
jernest@student.ethz.ch
Website:
http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2011/math/nm2
Prüfung: schriftliche Prüfung am Rechner (teilweise MATLAB-basierte Programmieraufgaben),
keine (mitgebrachten) Hilfsmittel
Vorlesungsunterlagen werden als PDF-Datei zur Verfügung gestellt
R. Hiptmair
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2011
Übungen:
Einschreibung:http://www.math.ethz.ch/~grsam/NumMath2_MATH_FS11/i/
• wöchentliches Übungsblatt zum Download (Bearbeitungszeit: 1 Woche)
0.0
p. 6

• MATLAB-basierte Programmieraufgaben
• Abgabe: Dienstag bis 8:00 Uhr in den Fächern im Vorraum zum HG G 53
Numerische
Mathemtik
• Abgabe der Codes via Webupload:http://www.math.ethz.ch/~grsam/submit/
• Pflicht: 2× Vorlösen im Semester (mit Voranmeldung)
• Korrektur nur auf Anfrage (jeder Teilnehmer erhält 5 Korrekturvouchers)
• Selbstkorrektur mit stichprobenartigen Kontrollen
• bei Betrug: Aberkennung der Punkte, +10% zur Testatbedingung
• Testatbedingung:
50% der Übungen rechtzeitig abgegeben und akzeptiert
Sprechstunde der Assistenten:
• Dr. Jingzhi Li, montags 08:15 – 09:00 Uhr, HG G 53 (Vorraum)
• Jan Ernest, montags 08:15 – 09:00 Uhr, HG G 53 (Vorraum)
R. Hiptmair
rev 35327,
13. Mai
2011
☞ Literatur:
P. DEUFLHARD AND F. BORNEMANN, Numerische Mathematik II, DeGruyter, Berlin, 2 ed., 2002.
Kapitel 4: http://www.sam.math.ethz.ch/~hiptmair/tmp/Literatur1.pdf
Kapitel 6: http://www.sam.math.ethz.ch/~hiptmair/tmp/Literatur2.pdf
(Von Springer auch in Englisch erhältlich→Link)
0.0
p. 7

Enzyklopädische Präsentation klassischer numerischer Integratoren:
Numerische
Mathemtik
E. HAIRER, S. NORSETT, AND G. WANNER, Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems,
Springer, Heidelberg, 2nd ed., 1993.
E. HAIRER AND G. WANNER, Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic
Problems, Springer, Heidelberg, 1991.
Umfassende Darstellung “strukturerhaltender” Integratoren:
E. HAIRER, C. LUBICH, AND G. WANNER, Geometric numerical integration, vol. 31 of Springer Series
in Computational Mathematics, Springer, Heidelberg, 2002.
R. Hiptmair
rev 35327,
20. Februar
2011
Gute Einführung in die Numerik Hamiltonscher Differentialgleichungen:
B. LEIMKUHLER AND S. REICH, Simulating Hamiltonian Dynamics, vol. 14 of Cambridge Monographs
on Applied and Computational Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2004.
0.0
p. 8

Hinweise auf Fehler in den Vorlesungsunterlagen
Numerische
Mathemtik
Bitte melden Sie Fehler in den Vorlesungsunterlagen via folgende Wikiseite!
http://elbanet.ethz.ch/wikifarm/rhiptmair/index.php?n=Main.NumOde
(Passwort: NUMODE, bitte das EDIT-Menu wählen, um Text einzugeben.)
Bitte versehen Sie eine Fehlermeldung mit folgenden Angaben:
• Abschnitt, in dem der Fehler auftritt.
• Genau Ortsangabe (a.B. nach Gleichung (4), in Bsp. 2.4.5, vor Satz 2.3.3, etc. ). Bitte vermeiden
Sie die Angabe von Seitennummern.
R. Hiptmair
rev 35327,
17. August
2008
• Kurze Fehlerbeschreibung
Alternative: E-mail an C. Effenbergerece@sam.math.ethz.ch, Subject: NUMODE Error
0.1
p. 9

0.1 Danksagung
Numerische
Mathemtik
Dank geht an Frau Evgenia Ageeva für die Aufarbeitung der MATLAB-Codes zu numerischen Beispielen.
R. Hiptmair
rev 35327,
17. August
2008
0.1
p. 10

Numerische
Mathemtik
1 Einleitung
Vertrautheit mit Grundbegriffen der Theorie der Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen
wird für diesen Kurs vorausgesetzt. Diese Grundbegriffe werden in den Vorlesungen
Analysis I & II im Basisjahr des Bachelorstudiums Mathematik vermittelt und sind in [3, Kap. 8 &
Sekt. 11.6]. Zur Wiederholung wird ein Studium dieser Abschnitte empfohlen.
Das erste Kapitel der Vorlesung frischt die theoretischen Grundlagen für Anfangswertprobleme für
gewöhnliche Differentialgleichungen nochmals auf und stellt wichtige Beispiele vor. Das Verhalten
von einfachen numerischen Verfahren wird anhand dieser Beispiele diskutiert.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
1.1
p. 11

1.1 Anfangswertprobleme (AWP)
Numerische
Mathemtik
Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung (engl. first-order ordinary differential equation
(ODE)):
In dieser Vorlesung verwendete Terminologie, siehe [8]:
ẏ = f(t,y) (1.1.1)
f : I ×D ↦→ R d ˆ= rechte Seite (d ∈ N)
I ⊂ R ˆ= (Zeit)intervall
↔ “Zeitvariable”t
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
offene TeilmengeD ⊂ R d ˆ= Zustandsraum/Phasenraum (engl. state space/phase space)
↔ “Zustandsvariable”y (Beschreibt “Zustand” eines Systems durchdreelle Zahlen)
Ω := I ×D ˆ= erweiterter Zustandsraum
(enthält Tupel(t,y))
1.1
p. 12

✎ Notation (Newton): Punkt ˙ ˆ= (totale) Ableitung nach der Zeitt
✎ Notation: Fettdruck für Spaltenvektoren (Komponenten selektiert durch Subscript-Indices,
z.B.y = (y 1 ,...,y d ) T ∈ R d )
Numerische
Mathemtik
Fürd = 1 handelt es sich bei (1.1.1) um eine skalare gewöhnliche Differentialgleichung.
Fürd > 1 heisst (1.1.1) auch System gewöhnlicher Differentialgleichungen:
R. Hiptmair
⎛
d
y ⎞ ⎛
1 f ⎞
1(t,y 1 ,...,y d )
rev 35327,
25. April
(1.1.1) ⇐⇒ ⎝ . ⎠ = ⎝ . ⎠ .
2011
dt
y d f d (t,y 1 ,...,y d )
Grundannahme: stetige rechte Seitef : I ×D ↦→ R d 1.1
p. 13

Definition 1.1.2 (Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung).
Eine Funktion y ∈ C 1 (J,D), J ⊂ I Intervall positiver Länge, heisst Lösung der gewöhnlichen
Differentialgleichung (1.1.1), falls
Numerische
Mathemtik
ẏ(t) = f(t,y(t)) für alle t ∈ J .
Beispiel 1.1.3 (Richtungsfeld und Lösungskurven).
Riccati-Differentialgleichung
skalare ODE
ẏ = y 2 +t 2 ➤
d = 1, I,D = R + .
(1.1.4)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
1.1
p. 14

1.5
1.5
Numerische
Mathemtik
1
1
y
y
0.5
0.5
0
0 0.5 1 1.5
t
Fig. 1
Richtungsfeld, [3, Fig. 8.1.4]
0
0 0.5 1 1.5
t
Fig. 2
Lösungskurven
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
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Lösungskurven tangential zum Richtungsfeld in jedem Punkt des erweiterten Zustandsraumes.
Alternative Interpretation des Richtungsfeldes als Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit: die Lösungskurven
sind die Trajektorien von Partikeln, die in der Flüsssigkeit treiben.
Listing 1.1: Erzeugen der Grafiken zu Beispiel 1.1.3
1 % MATLAB function plotting the vector field and the solution curves for the
1.1
p. 15

2 % Ricatti differential equation for Example 1.1.3
3 f u n c t i o n Ricatti
4
5 % define the right hand side of the differential equation as function handle
6 fn = @(t,x) x.^2+t^2;
7
8 % plot solution curves
9 f i g u r e(’Name’,’Ricatti’); hold on;
0 % run ode45 and plot resuts for different starting values on y-axis
1 f o r v = 0.05:0.1:1.4
2 [t,y] = ode45(fn,[0 1.5],v);
3 p l o t(t,y,’r-’);
4 end
5 % run ode45 and plot resuts for different starting values on x-axis
6 f o r v = [0.4 0.7 1.0 1.2 1.4]
7 [t,y] = ode45(fn,[v 1.5],0);
8 p l o t(t,y,’r-’);
9 end
0 % set axes, labels, ...
1 set(gca,’fontsize’,14); axis([0 1.5 0 1.5]);
2 x l a b e l(’{\bf t}’); y l a b e l(’{\bf y}’);
3 % Create EPS output file
4 p r i n t -depsc2 ’riccatti1.eps’
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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1.1
p. 16

5
6 % plot tangent field
7 f i g u r e(’Name’,’LV field’); hold on;
8 % set up the sampling grid
9 N = 8; [X,Y] = meshgrid(0:1.5/N:1.5,0:1.5/N:1.5);
0 U = zeros( s i z e(X)); V = zeros( s i z e(Y));
1 % get velocity vectors
2 f o r i=0:N-1
3 f o r j=0:N-1
4 x = [1;fn(X(i+1,j+1),Y(i+1,j+1))];
5 x = 0.3*x/norm(x);
6 U(i+1,j+1) = x(1); V(i+1,j+1) = x(2);
7 end
8 end
9
0 % plot velocity vectors
1 quiver(X,Y,U,V,’b-’);
2 % set axes, labels, ...
3 set(gca,’fontsize’,14); axis([0 1.5 0 1.5]);
4 x l a b e l(’{\bf t}’); y l a b e l(’{\bf y}’);
5 % Create EPS output file
6 p r i n t -depsc2 ’riccatti2.eps’
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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1.1
p. 17

✸
Numerische
Mathemtik
Spezialfall: f(t,y) = f(y) ➡ autonome Differentialgleichung (hierI = R)
ẏ = f(y) . (1.1.5)
Hier: f : D ⊂ R d ↦→ R d is ein (stetiges) Vektorfeld (“Geschwindigkeitsfeld”, siehe Bsp. 1.1.3).
Bemerkung 1.1.6 (Translationsinvarianz von Lösungen autonomer Dgl.).
t ↦→ y(t) Lösung von (1.1.5) ⇒ t ↦→ y(t+τ) Lösung von (1.1.5) ∀τ ∈ R
R. Hiptmair
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Bemerkung 1.1.7 (Autonomisierung).
)
z(t) :=
( y(t)
t
=
( z
′
z d+1
)
: (1.1.1) ↔ ż = g(z) , g(z) :=
(
f(zd+1 ,z ′ )
)
1
△
. (1.1.8)
△
1.1
p. 18

Verallgemeinerung: Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung,n ∈ N:
Numerische
Mathemtik
y (n) = f(t,y,ẏ,...,y (n−1) ) . (1.1.9)
✎ Notation: Superscript
(n) ˆ=n. Ableitung nach der Zeitt
➤ Umwandlung in ODE (System !) erster Ordnung (d ← n·d):
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
y(t) z y
z(t) :=
(1) 1
(t)
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ = ⎜z 2
⎟
⎝ . ⎠ ∈ Rdn : (1.1.9) ↔ ż = g(z) , g(t,z) :=
y (n−1) (t) z n
⎛ ⎞
z 2
z 3
⎜ .
⎟ .
⎝ z n
⎠
f(t,z 1 ,...,z n )
(1.1.10)
R. Hiptmair
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Theorie
Numerik
für ODEs 1. Ordnung
➥
Theorie
Numerik
für ODEsn. Ordnung !
Vorsicht: (1.1.10) weist spezielle Struktur auf, die ein generisches Verfahren für ODEs 1. Ordnung
vielleicht nicht zur Verbesserung der Genauigkeit/Verringerung des Rechenaufwandes auszunutzen
vermag (→ Diskussion in späteren Kapiteln).
1.1
p. 19

Bemerkung 1.1.11. Die Transformation (1.1.10) ist nur eine von (unendlich) vielen Möglichkeiten der
Transformation von (1.1.9) in eine ODE 1. Ordnung.
△
Numerische
Mathemtik
Analysis: symbolisches Rechnen (Trennung der Variablen, Variation der Konstanten) liefert allgemeine
Lösung einer ODE als parameterabhängige Funktionenschar, z.B. für eine skalare autonome ODE
erhält man formal (mit Kettenregel) das unbestimmte Integral
ẏ = f(y) ⇒ d dt G(y) = 1 ⇒ G(y) = t+C ⇒ y(t) = G−1 (t+C) , (1.1.12)
wobeif(y) ≠ 0 anzunehmen ist.
mit G(η) =
∫ η
η 0
1
f(ξ) dξ ,
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Allerdings ist eine symbolische Darstellung vonG, geschweige denn vonG −1 meist nicht verfügbar.
1.1
p. 20

Daher sind Darstellungsformeln wie (1.1.12) nur von beschränktem Nutzen und wir sind angewiesen
auf numerische Lösung. Eine solche kann aber nur eine Approximation einer konkreten Funktion
sein, so dass die numerischen Betrachtungen sich auf Probleme konzentrieren, für die Existenz und
Eindeutigkeit von Lösungen gewährleistet ist. Das ist nur der Fall, wenn die gewöhnliche Differentialgleichung
noch durch Anfangswerte komplettiert wird.
Numerische
Mathemtik
ODE + Anfangsbedigungen = Anfangswertproblem (AWP)
ẏ = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 für ein (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω . (1.1.13)
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Definition 1.1.14 (Lösung eines Anfangswertproblems).
Eine Lösung y : J ↦→ D, t 0 ∈ J, von (1.1.1), die y(t 0 ) = y 0 erfüllt, heisst Lösung des
Anfangswertproblems (1.1.13).
Bemerkung 1.1.15.
Wenn ODE autonom
Bem. 1.1.6
➣ O.B.d.A. setze t 0 = 0 in (1.1.13)
△
1.1
p. 21

Bemerkung 1.1.16 (Anfangswerte für Dgl. höherer Ordnung).
Numerische
Mathemtik
Anfangswertproblem für gewöhnliche Differentialgleichungn-ter Ordnung (1.1.9):
y (n) = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 , ẏ(t 0 ) = y 1 ,...,y (n−1) (t 0 ) = y n−1 .
➡
n unabhängige Anfangswerte sind vorzugeben.
△
1.2 Beispiele und Grundbegriffe
R. Hiptmair
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Modellierung:
Anfangswertprobleme (1.1.13) beschreiben deterministische Evolutionen
1.2
p. 22

1.2.1 Ökologie
Numerische
Mathemtik
Beispiel 1.2.1 (Resourcenbegrenztes Wachstum). [1, Sect. 1.1]
Autonome logistische Differentialgleichung: (d = 1,D = R + ,I = R)
ẏ = (α−βy)y (1.2.2)
y ˆ= Populationsdichte,[y] = 1 m 2
Wachstumsrateα−βy mit Wachstumskoeffizientenα,β > 0,[α] = 1 m2
s
,[β] =
s
R. Hiptmair
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Allgemein für ODE (1.1.1):
y ∗ ∈ D,f(t,y ∗ ) = 0 ∀t ➣ y ∗ ist Fixpunkt/stationärer Punkt für die ODE → Sect. 3.2.
1.2
p. 23

1.5
1
Attraktiver Fixpunkty = α/β
Repulsiver Fixpunkty = 0
Numerische
Mathemtik
y
0.5
Separation der Variablen (1.1.12)
➥ Lösung des AWP für (1.2.2)
mity(0) = y 0 > 0
0
0 0.5 1 1.5
t
Fig. 3
y(t) =
für allet ∈ R
αy 0
βy 0 +(α−βy 0 )exp(−αt) , (1.2.3)
R. Hiptmair
Richtungsfeld und Lösungskurven (α,β = 5)
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Numerische Integration der logistischen Differentialgleichung
in MATLAB mittels Funktionode45():
MATLAB-CODE: ODE-Integration
fn = @(t,y) 5*y*(1-y);
[t,y] = ode45(fn,[0 1.5],y0); Funktions-Handle zur Übergabe der rechten Seite
plot(t,y,’r-’);
Zeitintervall[t 0 ,T]
Anfangswerty 0
1.2
Rückgabewerte: t ˆ= (Spalten)vektor von Zeitpunkten,y ˆ= (Spalten)vektor von Lösungswerten
✸ p. 24

Bemerkung 1.2.4 (AWP-Löser in MATLAB). → [31]
Numerische
Mathemtik
Aufrufsyntax:
[t,y] = solver(odefun,tspan,y0);
Funktionsargumente:
solver : ∈ { ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t,
ode23tb }
odefun : Funktions-Handle vom Typ@(t,y) ↔ rechte Seitef(t,y)
tspan : 2-Vektor(t 0 ,T) T : Anfangs- und Endzeitpunkt für numerische Integration
y0 : Anfangswerty 0 ∈ R d
Rückgabewerte: t : (Spalten)vektor von Zeitpunktent 0 < t 1 < t 2 < ··· < t N = T
y : (N +1)×dLösungsmatrix,i. Zeile∼y(t i )
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Warum bietet MATLAB so viele verschiedene Löser für AWPe an?
Die Antwort auf diese Frage und die Auswahl des “richtigen” Lösers wird eines der Kernthemen der
Vorlesung sein.
1.2
p. 25

△
Numerische
Mathemtik
Beispiel 1.2.5 (Räuber-Beute-Modelle). [1, Sect. 1.1] & [16, Sect. 1.1.1]
Autonome Lotka-Volterra-Dgl.: (d = 2)
˙u = (α−βv)u
˙v = (δu−γ)v , I = R, D = (R+ ) 2 , α,β,γ,δ > 0 . (1.2.6)
Populationsdichten:
u→Beute,
v → Räuber
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v
Vektorfeldf für Lotka-Volterra-Dgl.
✄
α/β
Lösungskurven sind Trajektorien von Partikeln, die
vom Geschwindigkeitsfeldf mitgetragen werden.
γ/δ
u
Fig. 4
1.2
p. 26

(1.2.6) ⇒ 0 =(δ − γ u )˙u−(α v −β)˙v = d dt
Falls(u(t),v(t)) Lösung von (1.2.6)
(δu−γlogu−αlogv +βv)
} {{ }
=:I(u,v)
⇒ I(u(t),v(t)) ≡ const
= 0 .
Numerische
Mathemtik
Lösungen von (1.2.6) sind Niveaulinien vonI
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1.2
p. 27

6
u = y 1
v = y 2
6
Numerische
Mathemtik
5
5
4
4
y
3
v = y 2
3
2
2
1
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t
Zeitabhängige Lösung,y 0 := ( u(0)
v(0)
) =
( 42
)
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
u = y 1
Lösungskurven von (1.2.6)↔Niveaulinien vonI
Fixpunkt
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Geschlossene Lösungskurven
↔ (1.2.6) hat ausschliesslich periodische Lösungen
(füru(0),v(0) > 0)
✸
1.2
p. 28

Definition 1.2.7 (Erstes Integral).
Ein Funktional I : D ↦→ R heisst erstes Integral/Invariante (engl. invariant) der ODE (1.1.1),
wenn
Numerische
Mathemtik
I(y(t)) ≡ const
für jede Lösungy = y(t) von (1.1.1).
Notwendige und hinreichende Bedingung für differenzierbares erstes Integral
I erstes Integral von (1.1.1)
⇔ gradI(y) ·f(t,y) = 0 ∀(t,y) ∈ Ω . (1.2.8)
Euklidisches Skalarprodukt
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1.2.2 Chemische Reaktionskinetik [8, Sect. 1.3]
Beispiel 1.2.9 (Bimolekulare Reaktion).
1.2
p. 29

A
C
Reaktion:
A+B
k 2
←−
−→
k1
C+D . (1.2.10)
Numerische
Mathemtik
B
D
Fig. 5
mit Reaktionskonstanten k 1 (‘Hinreaktion”), k 2
(“Rückreaktion”),[k 1 ] = [k 2 ] = cm3
mols .
Faustregel:
Geschwindigkeit einer bimolekularen Reaktion proportional zum Produkt der Konzentrationen
der Reaktionspartner:
für (1.2.10): ċ A = ċ B = −ċ C = −ċ D = −k 1 c A c B +k 2 c C c D . (1.2.11)
c A ,c B ,c C ,c D ˆ= (zeitabhängige) Konzentrationen der Reaktanden,[c X ] = mol
cm 3 ➥
c X (t) > 0;∀t
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(1.2.11) = autonome gewöhnliche Dgl. (1.1.5) mit
⎛ ⎞
c A (t)
y(t) = ⎜c B (t)
⎟
⎝c C (t) ⎠ , f(t,y) = (−k 1y 1 y 2 +k 2 y 3 y 4 )
c D (t)
Massenerhaltung:
⎛ ⎞
1
⎜ 1
⎟
⎝−1⎠ .
−1
d
dt (c A(t)+c B (t)+c C (t)+c D (t)) = 0
✸
1.2
p. 30

Beispiel 1.2.12 (Oregonator-Reaktion).
Spezialfall einer zeitlich oszillierenden Zhabotinski-Belousov-Reaktion [11]:
Numerische
Mathemtik
BrO − 3 +Br− ↦→ HBrO 2
HBrO 2 +Br − ↦→ Org
BrO − 3 +HBrO 2 ↦→ 2HBrO 2 +Ce(IV)
(1.2.13)
2HBrO 2 ↦→ Org
Ce(IV) ↦→ Br −
y 1 := c(BrO − 3 ): ẏ 1 = −k 1 y 1 y 2 −k 3 y 1 y 3 ,
y 2 := c(Br − ): ẏ 2 = −k 1 y 1 y 2 −k 2 y 2 y 3 +k 5 y 5 ,
y 3 := c(HBrO 2 ): ẏ 3 = k 1 y 1 y 2 −k 2 y 2 y 3 +k 3 y 1 y 3 −2k 4 y 2 3 ,
y 4 := c(Org): ẏ 4 = k 2 y 2 y 3 +k 4 y 2 3 ,
y 5 := c(Ce(IV)): ẏ 5 = k 3 y 1 y 3 −k 5 y 5 ,
mit (dimensionslosen) Reaktionskonstanten:
k 1 = 1.34 , k 2 = 1.6·10 9 , k 3 = 8.0·10 3 , k 4 = 4.0·10 7 , k 5 = 1.0 .
Periodische chemische Reaktion ➽ Video 1, Video 2
(1.2.14)
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MATLAB-Simulation mit Anfangswerten y 1 (0) = 0.06, y 2 (0) = 0.33 · 10 −6 , y 3 (0) = 0.501 · 10 −10 ,
y 4 (0) = 0.03,y 5 (0) = 0.24·10 −7 :
1.2
p. 31

10 −3 Concentration of Br −
Concentration of HBrO 2
Numerische
Mathemtik
10 −5 t
10 −4
10 −6
10 −5
10 −7
10 −6
c(t)
10 −7
c(t)
10 −8
10 −8
10 −9
10 −9
10 −10
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
t
Fig. 6
10 −10
10 −11
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Fig. 7 ✸
R. Hiptmair
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2011
1.2.3 Physiologie
Beispiel 1.2.15 (Zeemans Herzschlagmodell). → [6, p. 655]
1.2
p. 32

Grössen:
l = l(t) ˆ= Länge der Herzmuskelfaser
p = p(t) ˆ= elektrochemisches Potential
Numerische
Mathemtik
Dimensionsloses phänomenologisches Modell:
˙l = −(l 3 −αl+p) ,
ṗ = βl ,
(1.2.16)
mit Parametern:
α ˆ= Vorspannung der Muskelfaser
β ˆ= (phänomenologischer) Rückkopplungsparameter
Vektorfelder und numerische Lösungen für verschiedene Parameter:
2.5
2
1.5
1
Phase flow for Zeeman model (α = 3,β=1.000000e−01)
3
2
1
Heartbeat according to Zeeman model (α = 3,β=1.000000e−01)
l(t)
p(t)
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0.5
p
0
l/p
0
−0.5
−1
−1
−1.5
−2
−2
−2.5
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
l
Fig. 8
−3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
time t
Fig. 9
1.2
p. 33

2.5
2
Phase flow for Zeeman model (α = 5.000000e−01,β=1.000000e−01)
3
Heartbeat according to Zeeman model (α = 5.000000e−01,β=1.000000e−01)
l(t)
p(t)
Numerische
Mathemtik
1.5
2
1
1
0.5
p
0
l/p
0
−0.5
−1
−1
−1.5
−2
−2
−2.5
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
l
Fig. 10
Beobachtung: α ≪ 1 ➤ “Kammerflimmern”
−3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
time t
Fig. 11
R. Hiptmair
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Listing 1.2: Erzeugen der Grafiken zu Beispiel 1.2.15
1 f u n c t i o n heartbeat
2 % MATLAB function for creating plots for Example 1.2.15
3 beat(3,’normalbeat’); beat(0.5,’crazybeat’);
4 r e t u r n
1.2
p. 34

5
6 f u n c t i o n beat(alpha,filename)
7 % MATLAB function for numerical simulation of the Zeeman model
8 % (1.2.16) of heartbeat
9
0 i f (nargin < 2), filename = ’Heartbeat’; end
1 i f (nargin < 1), alpha = 2; end
2
3 % Model equations (right hand side)
4
5 beta = 0.1; % feedback parameter
6 l0 = 0; % length of relaxed muscle fibre
7
8 % Function handle to right hand side vector field
9 f_l = @(l,p) -(l.^3-alpha*l+p);
0 f_p = @(l,p) beta*(l-l0);
1 odefun = @(t,y) [f_l(y(1),y(2)); f_p(y(1),y(2))];
2
3 % Create plot of vector field
4 f i g u r e(’name’,’heartbeat field’); hold on;
5 [L,P] = meshgrid((-2.5:0.25:2.5),(-2.5:0.5:2.5));
6 quiver(L,P,f_l(L,P),f_p(L,P),1.5,’m-’);
7 axis([-2.5 2.5 -2.5 2.5]);
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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2011
1.2
p. 35

8 x l a b e l(’{\bf l}’,’fontsize’,14);
9 y l a b e l(’{\bf p}’,’fontsize’,14);
0 t i t l e( s p r i n t f(’Phase flow for Zeeman model (\\alpha =
%d,\\beta=%d)’,...
1 alpha,beta));
Numerische
Mathemtik
2
3 % Compute evolution of l (length) and p (potential), see Rem. 1.2.4
4 tspan = [0 100]; % Duration of simulation
5 [t,y] = ode45(odefun,tspan,[1;0],odeset(’abstol’,1E-12));
6
7 % Plot trajectory of solution
8 p l o t(1,0,’k*’,’markersize’,10);
9 p l o t(y(:,1),y(:,2),’b-’);
0 hold off;
1 p r i n t(’-depsc2’, s p r i n t f(’%s1.eps’,filename));
2
3 % Plot time-dependent solution
4 f i g u r e(’name’,’heartbeat’);
5 p l o t(t,y(:,1),’r-’,t,y(:,2),’b-’);
6 t i t l e( s p r i n t f(’heartbeat according to Zeeman model (\\alpha =
%d,\\beta=%d)’,alpha,beta));
7 x l a b e l(’{\bf time t}’,’fontsize’,14);
8 y l a b e l(’{\bf l/p}’,’fontsize’,14);
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1.2
p. 36

9 axis([tspan -3 3]); legend(’l(t)’,’p(t)’);
0
1 p r i n t(’-depsc2’, s p r i n t f(’%s2.eps’,filename));
Numerische
Mathemtik
✸
1.2.4 Mechanik
Beispiel 1.2.17 (Mathematisches Pendel).
Zustandsraum D = Konfigurationsraum für Minimalkoordinaten
(= Auslenkungswinkel)
➣
d = 1, D = T (Kreislinie = “1D Torus”)
Auslenkungswinkelα ∈ [−π,π[)
Newtonsche Bewegungsgleichungen:
[1, I.3. Bsp. (3.4c)]
l
α
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ml ¨α(t) = −mgsinα(t) . (1.2.18)
autonome ODE 2. Ordnung, siehe (1.1.9)
mg
Fig. 12
1.2
p. 37

Formale Umwandlung in gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung:
( ) ( α
p
Winkelgeschwindigkeit
p := ˙α ⇒ d dt
=
)
p
− g l sinα
. (1.2.19)
Numerische
Mathemtik
Energieerhaltung: E(t) = 1 2 ml2 p(t) 2 −mglcosα(t) ⇒ E(t) ≡ const. (1. Integral→Def. 1.2.7) .
kinetische EnergieT(t)
potentielle EnergieU(t)
4
Phase field for pendulum: l=1, g=1
3
3
2
p = velocity
2
1
0
−1
p = velocity
1
0
−1
R. Hiptmair
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−2
−3
−2
−4
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
q = α
Vektorfeld für (1.2.19)
Fig. 13
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
q = α
Isolinien der Energie↔Lösungskurven
Fig. 14
✸
1.2
p. 38

Definition 1.2.20 (Hamiltonsche Differentialgleichung). → [16, Sect. VI.1.2]
Es sei n ∈ N, M ⊂ R n offen, H : R n ×M ↦→ R, H = H(p,q), stetig differenzierbar. Dann
heisst die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung
Numerische
Mathemtik
ṗ(t) = − ∂H ∂H
(p(t),q(t)) , ˙q(t) = (p(t),q(t)) , (1.2.21)
∂q ∂p
ein autonomes Hamiltonsches System mit Hamilton-Funktion (engl. Hamiltonian)H.
Bemerkung 1.2.22. Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik führen auf autonome Hamiltonsches
Systeme, siehe [1, Sect. I.3] für eine Einführung, [2] für eine umfassende Darstellung.
△
R. Hiptmair
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25. April
2011
✬
✩
Lemma 1.2.23 (“Energieerhaltungssatz”).
Die Hamilton-FunktionH is ein erstes Integral des autonomen Hamiltonschen Systems.
✫
✪
1.2
p. 39

Hamiltonsches System in der Form (1.1.1):
( p
y = ⇒ (1.2.21) ⇔ ẏ = J
q)
−1·gradH(y) , J :=
✎ Notation: I n ˆ=n×n Einheitsmatrix
( ) 0 In
−I n 0
∈ R 2n,2n . (1.2.24)
Numerische
Mathemtik
Zusammen mit (1.2.8) folgt sofort Lemma 1.2.23, denn J ist schiefsymmetrisch (J T = −J) und für
jede schiefsymmetrische MatrixA ∈ R n,n giltx·Ax = 0 ∀x ∈ R n .
Beispiel 1.2.25 (Massenpunkt im Zentralfeld).
Newtonsche Bewegungsgleichungen eines Körpers (Ortskoordinate r = r(t)) mit Masse m > 0 im
Kraftfeld f : R n ↦→ R n ,n ∈ N:
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Spezialfall:
radialsymmetrisches konservatives Kraftfeld
m¨r(t) = f(r(t)) . (1.2.26)
f(x) = −gradU(x) , x ∈ R n , U(x) = G(‖x‖) . (1.2.27)
√
✎ Notation: ‖x‖ := x 2 1 +···+x2 n ˆ= Euklidische Norm eines Vektors
Speziell G(r) = − G 0
r
:
Keplerproblem: [16, Sect. I.2], [8, Sect. 1.1]
1.2
p. 40

←→ Hamiltonsches System (→ Def. 1.2.20) mit KonfigurationsraumM := R n \{0},q := r, und
Hamilton-Funktion (Energie) H(p,q) := 1
2m ‖p‖2 +G(‖q‖) (1.2.28)
p := mṙ ˆ= Impuls, kinetische Energie potentielle Energie
Numerische
Mathemtik
ṗ = −G ′ (‖q‖) q
‖q‖ , ˙q = m−1 p . (1.2.29)
✬
Lemma 1.2.30 (Bahnebene).
Jede Lösung ( p
q
) : J ⊂ R ↦→ R
2n von (1.2.29) erfüllt
✩
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p(t),q(t) ∈ Span{p(t 0 ),q(t 0 )} ∀t 0 ,t ∈ J .
✫
✪
✬
Lemma 1.2.32 (Drehimpulserhaltung).
Für n = 3 ist der Drehimpuls Drehimpuls (bzgl. 0) M := p×q(engl. angular momentum) ein
erstes Integral (→ Def. 1.2.7) von (1.2.29).
✫
✩
✪
1.2
p. 41

✎ Notation: × ˆ= Vektorprodukt im R 3 :
a×b =
⎛
a ⎞
2b 3 −a 3 b 2
⎝a 3 b 1 −a 1 b 3
⎠ .
a 1 b 2 −a 2 b 1
Numerische
Mathemtik
✬
✩
Theorem 1.2.33 (2. Keplersches Gesetz).
Löst t ↦→ q(t) die Differentialgleichung
(1.2.29), so überstreicht der Vektor q(t) in
gleichen Zeitspannen gleiche Flächen in der
Bahnebene.
✫
✪
R. Hiptmair
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1. Keplersches Gesetz (für Gravitationspotential):
FürG(r) = − G 0
r sind die Lösungskurven von (1.2.26) Ellipsen mit Brennpunkt0.
Ausblick: Zur Simulation der Planetenbewegung in unserem Sonnensystem müsste man (1.2.29)
über einen langen Zeitraum integrieren. Leider ist eine solche Langzeitintegration nicht unproblematisch.
Zwar erhalten sowohl das implizite Euler- als auch das Störmer-Verlet-Verfahren den Dre-
1.2
p. 42

himpuls exakt, jedoch nicht die Energie des Systems (Hamilton-Funktion) [16, Table I.2.1]. Diese
Problematik wird in Abschnitt 4.4 eingehend behandelt.
Numerische
Mathemtik
✸
1.3 Theorie [8, Sect. 2], [1, Ch. II]
Zu gegebener rechter Seite f : Ω := I ×D ↦→ R d , d ∈ N, I ⊂ R offenes Intervall,D ⊂ R d offene
Menge, betrachte das Anfangswertproblem
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ẏ = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 für gegebenes (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω . (1.1.13)
1.3
p. 43

1.3.1 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Numerische
Mathemtik
Zwei wichtige Begriffe:
Definition 1.3.1 (Maximale Fortsetzbarkeit einer Lösung).
Eine Lösung y ∈ C 1 ([t 0 ,t + [,D) (→ Def. 1.1.2) des AWP (1.1.13) heisst maximal (in die Zukunft)
fortgesetzt, wenn genau einer der drei folgenden Fälle zutrifft
(i) t + = ∞ (Lösung existiert für alle Zeiten)
(ii) t + < ∞ ,
(„Blow-up”)
lim ‖ỹ(t)‖ = ∞
t→t +
(iii) t + < ∞ ,
lim dist((t,ỹ(t)),∂Ω) = 0 .
t→t +
(„Kollaps”))
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(Analog: Maximal fortgesetzt in die Vergangenheit auf]t − ,t 0 ])
Erinnerung:
Ω := I ×D ist der erweiterte Zustandsraum
➣ Kollaps↔Lösung läuft zum Rand des erweiterten Zustandsraumes!
1.3
p. 44

y
(i)
Numerische
Mathemtik
(iii)
: „Blow-Up”
(ii)
: „Kollaps”
:J(t 0 ,y 0 ) = R
t
Notation: J(t 0 ,y 0 ) =]t − ,t + [ = maximales Existenzintervall für Lösung von AWP (1.1.13).
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1.3
p. 45

Definition 1.3.2 (Lokale Lipschitz-Stetigkeit).
f : Ω ↦→ R d heisst lokal Lipschitz-stetig
Numerische
Mathemtik
⇔:
∀(t,y) ∈ Ω: ∃δ > 0, L > 0:
‖f(τ,z)−f(τ,w)‖ ≤ L‖z−w‖
∀z,w ∈ D: ‖z−y‖ < δ, ‖w−y‖ < δ, ∀τ ∈ I: |t−τ| < δ .
Lokale Lipschitz-Stetigkeit impliziert globale Lipschitz-Stetigkeit auf jeder kompakten Teilmenge K
vonΩ:
∃L = L(K) > 0: ‖f(τ,z)−f(τ,w)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀(τ,z),(τ,w) ∈ K .
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✎ Notation: D y f ˆ= Ableitung vonf nach Zustandsvariablen (= Jacobimatrix∈ R d,d !)
1.3
p. 46

Ein einfaches Kriterium für lokale Lipschitz-Stetigkeit (Beweis über Mittelwertsatz):
Numerische
Mathemtik
✬
✩
Lemma 1.3.3 (Kriterium für lokale Lipschitz-Stetigkeit).
Sindf undD y f stetig aufΩ, so istf lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2).
✫
✪
✬
Theorem 1.3.4 (Satz von Peano & Picard-Lindelöf).
✫
[1, Satz II(7.6)]
Falls f : ˆΩ ↦→ R d lokal Lipschitz-stetig in der Variablen y (→ Def. 1.3.2), so hat das AWP
(1.1.13) für beliebige Anfangsbedingungen (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω eine eindeutige maximal fortgesetzte
(→ Def. 1.3.1) Lösungy : J(t 0 ,y 0 ) ↦→ D.
✩
R. Hiptmair
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✪
Beweisidee:
(→ [32, I.§6], [3, Sekt. 11.6]) Integration von (1.1.13) liefert
∫ t
y(t) = y 0 +
t 0
f(s,y(s)) ds, t ≥ t 0 . (1.3.5)
1.3
p. 47

Definiere Raum
F = {y ∈ C([t 0 ,t 1 [), y(t 0 ) = y 0 }
Numerische
Mathemtik
für eint 1 > t 0 und den Operator
T : F → F, T : y ↦→ z(t) = y 0 +
∫ t
t 0
f(s,y(s)) ds.
Damit kann (1.3.5) auf dem Intervall [t 0 ,t 1 ] als Fixpunktgleichung T(y) = y in F geschrieben werden.
Aus der lokalen Lipschitz-Stetigkeit folgt für genügend kleinest 1 > t 0 , dassT eine Kontraktion
ist. Mit dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Behauptung für das Zeitintervall (t 0 ,t 1 ). Das maximale
Existenzintervall erhält man über Fortsetzung.
Bemerkung 1.3.6 (Definitionsintervalle von Lösungen von AWPen).
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„Die Lösung eines Anfangswertproblems sucht sich Ihren Definitionsbereich selbst”
!
DefinitionsbereichJ(t 0 ,y 0 ) hängt (meist) von(t 0 ,y 0 ) ab !
Terminologie: FallsJ(t 0 ,y 0 ) = I ➥ Lösungy : I ↦→ R d ist global.
△
1.3
p. 48

Definition 1.3.7 (Evolutionsoperator).
Die zweiparametrige Familie Φ s,t von Abbildungen Φ s,t : D ↦→ D heisst Evolutionsoperator
zur Dgl.ẏ = f(t,y), wenn
Numerische
Mathemtik
t ∈ J(s,z) ↦→ Φ s,t z Lösung des AWP
ẏ = f(t,y) ,
y(s) = z ,
für alle (s,z) ∈ Ω .
Definitionsbereich: Φ :
{
˜Ω ↦→ D
(t,s,y) ↦→ Φ s,t y
, ˜Ω := ⋃
(s,y)∈Ω
J(s,y)×{(s,y)}
Satz 1.3.4 ⇒ Φ t,t = Id , Φ s,t y = (Φ r,t ◦Φ s,r )y , t,r ∈ J(s,y), (s,y) ∈ Ω . (1.3.8)
Konvention: Für autonome Differentialgleichungen (1.1.5) (→ Bem. 1.1.15): Φ t := Φ 0,t
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➣ FallsJ(0,y) = R ∀y ∈ D aus (1.3.8):
Gruppe von Abbildungen vonD: Φ s ◦Φ t = Φ s+t , Φ −t ◦Φ t = Id ∀t ∈ R . (1.3.9)
1.3
p. 49

Bemerkung 1.3.10 (Numerische Integratoren als approximative Evolutionsoperatoren).
Numerische
Mathemtik
MATLAB-Lösung eines , vgl. Bem. 1.2.4
[t,y] = solver(odefun,[t0 T],y0)
Φ s,t y
☞
Numerische Lösungsverfahren für Anfangswertprobleme für eine gewöhnliche Differentialgleichung
realisieren Approximationen von Evolutionsoperatoren→Def. 2.1.2.
△
Beispiel 1.3.11 (Autonome skalare Differentialgleichungen). ✄ d = 1
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•f(t,y) = −λy, λ ∈ R Lösung des AWP y(t) = y 0 e −λt ,t ∈ R
existiert für alle Zeiten, d.h.]t − ,t + [= R für jedesy 0 : globale Lösung.
Zugehöriger Evolutionsoperator:
Φ t : R ↦→ R , Φ t (y 0 ) = e −λt y 0 .
•f(t,y) = λy 2 ,λ ∈ R:
ẏ = λy 2 ,y(0) = y 0 ∈ R
1.3
p. 50

Lösung:
⎧
⎨
y(t) =
1
y0 −1
⎩
−λt , fallsy 0 ≠ 0 , (Blow-up)
0 , fallsy 0 = 0 .
λ,y 0 > 0 ⇒ J(0,y 0 ) =]−∞,1/λy 0 [ .
,
y(t)
10
8
6
4
2
0
−2
y 0
= −0.5
y 0
= −1
y 0
= 1
y 0
= 0.5
Numerische
Mathemtik
−4
Lösungskurven fürλ = 1
✄
−6
−8
•f(t,y) = − 1 √ y
,D = R + , Anfangswerty(0) = 1
−10
−3 −2 −1 0 1 2 3
t
Fig. 15
R. Hiptmair
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➣ y(t) = (1−3t/2) 2 /3 ,t − = −∞,t + = 2/3
(Lösung läuft zum Randy = 0 des erweiterten Zustandraums: Kollaps)
•f(t,y) = sin(1/y)−2,D = R + , Anfangswerty(0) = 1 [8, Bsp. 2.14]
Lösungy(t) erfülltẏ ≤ −1 ➥ y(t) ≤ 1−t ➥ Kollaps fürt ∗ < 1.
1.3
p. 51

1
0.9
0.8
0.014
0.012
Numerische
Mathemtik
0.7
0.01
0.6
0.008
y(t)
0.5
y(t)
0.4
0.006
0.3
0.004
0.2
0.1
0.002
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
t
Fig. 16
0
0.76 0.761 0.762 0.763 0.764 0.765 0.766 0.767 0.768 0.769
t
Fig. 17
✸
R. Hiptmair
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1.3.2 Lineare AWPe [3, Sekt. 8.2]
1.3
p. 52

Vorbereitung:
Basiswechsel im Zustandsraum (kovariante Transformation):
ŷ = S −1 y , S ∈ R d,d reguläre Matrix (zeitunabhängig).
Numerische
Mathemtik
y löst
{ẏ = f(t,y) ,
y(t 0 ) = y 0
⇔ ŷ := S −1 y löst
{
˙ŷ =̂f(t,ŷ) ,
ŷ(t 0 ) = S −1 y 0
mit̂f(t,ŷ) = S −1 f(t,Sŷ) .
(1.3.12)
Betrachte Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten im R d :
D = R d ,Ω = I ×R d
Koeffizientenmatrix A ∈ R d,d
ẏ = Ay+g(t) . (1.3.13)
„Quellterm”: stetige Funktiong : I ↦→ R d
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Annahme:
A diagonalisierbar,∃S ∈ R d,d regulär:S −1 AS = diag(λ 1 ,...,λ d ),λ i ∈ C
•g ≡ 0: ẏ = Ay (autonome homogene lineare Dgl., allgemeinere Diskussion [8, Sect. 3.2.2])
ŷ := S −1 y löst
˙ŷ 1 = λ 1 ŷ 1 ,
. ⇒ ŷ i (t) = (S −1 y 0 ) i e λit , t ∈ R .
˙ŷ d = λ d ŷ d
1.3
p. 53

⎛
y(t) = S⎜
⎝
e λ 1t
...
...
⎞
⎟
⎠ S−1
e λ dt
} {{ }
Matrixexponentialfunktion exp(At)
y 0 .
Numerische
Mathemtik
Allgemeine Definition der Matrixexponentialfunktion durch
“Matrixexponentialreihe”: exp(M) =
∞∑
k=0
1
k! Mk . (1.3.14)
Wichtige Eigenschaft:
Matrixexponentialfunktion kommutiert mit Ähnlichkeitstransformationen
M = S −1 AS ⇒ exp(M) = S −1 exp(A)S ∀A,M,S ∈ C d,d , S regulär. (1.3.15)
R. Hiptmair
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• Inhomogener Fall
ẏ(t) = Ay(t)+g(t) partikuläre Lösung durch „Variation der Konstanten”:
1.3
p. 54

Ansatz:
y(t) = exp(At)z(t) mitz ∈ C 1 (R,R d ) → [1, Thm I(5.14)]
ẏ(t) = Aexp(At)z(t)+exp(At)ż(t) = Ay(t)+g(t) = Aexp(At)z(t)+g(t)
ż(t) = exp(−At)g(t) ⇒ z(t) = y 0 +
∫ t
t 0
exp(−Aτ)g(τ)dτ
y(t) = exp(A(t−t 0 ))y 0 + ∫ t
t0
exp(A(t−τ))g(τ)dτ =: Φ t 0,t y 0 .
Numerische
Mathemtik
Lsg. des homogenen Problems
Faltung mit Inhomogenität
Allgemeinere Betrachtungen
→ [1, Kap. III]:
Bemerkung 1.3.16 (Allgemeine Variation-der-Konstanten-Formel). → [1, Thm. (11.13)]
A : J ⊂ R ↦→ R d,d stetige Matrixfunktion,J ⊂ R Intervall
g : J ↦→ R d stetig
(s,t) ↦→ E(s,t) ∈ R d,d beschreibt Evolutionsoperator, definiert durch
∂E
(s,t) = A(t)E(s,t) ∀(s,t) ∈ J ×J , E(s,s) = I .
∂t (1.3.17)
R. Hiptmair
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1.3
p. 55

Dann ist die (eindeutige→ Thm. 1.3.4) Lösung des nicht-autonomen linearen Anfangswertproblems
ẏ = A(t)y+g(t) , y(t 0 ) = y 0 ,
Numerische
Mathemtik
gegeben durch
∫t
y(t) = E(t,t 0 )y 0 + E(t,s)g(s)ds , t ∈ J . (1.3.18)
t 0
△
Bemerkung 1.3.19 (Bedeutung linearer AWPe).
R. Hiptmair
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Linearisierung um einen stationären Punkt f(y ∗ ) = 0:
fallsf ∈ C 2 .
y ≈ y ∗ : f(y) = D y f(y ∗ )(y−y ∗ )+O(|y−y ∗ | 2 ) ,
➣
Lösungen von ẏ = f(y) verhalten sich in der Umgebung von y ∗ (qualitativ) wie Lösungen der
linearen ODEẏ = D y f(y ∗ )y.
△
1.3
p. 56

1.3.3 Sensitivität [8, Sect. 3.1]
Numerische
Mathemtik
1.3.3.1 Grundbegriffe
Erinnerung
(→ Vorlesung „Numerische Methoden”):
Problem = AbbildungΠ : X ↦→ Y von DatenraumX in den ErgebnisraumY
(beide versehen mit Metrikend X ,d Y )
✗
✖
Problem ist wohlgestellt (engl. well-posed), wennΠstetig.
✔R. Hiptmair
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✕
Kondition/Sensitivität eines Problems:
Mass für Einfluss von Störungen in den Daten auf das Ergebnis
d
Absolute Kondition: κ abs := sup Y (Π(x),Π(x ′ ))
x,x ′ ∈X,x≠x ′ d X (x,x ′ )
Sprachgebrauch: Problem ist „gut konditioniert”, wenn „κ abs ≈ 1”
. (1.3.20)
1.3
p. 57

Numerische
Mathemtik
• Wohlgestelltheit und Gutkonditioniertheit eines Problems hängen entscheidend von den
gewählten Metriken ab. Diese sind bei praktischen Problemen dadurch bestimmt, “woran der
Anwender interessiert ist”.
• Als Folge von unvermeidlichen Eingabefehlern, macht nur die numerische Lösung von
wohlgestellten Problemen Sinn.
• Absolute Konditionszahl ist die globale Lipschitz-Konstante der Problemabbildung (bzgl. der gewählten
Metriken).
Asymptotische (absolute) Kondition
κ ∞ abs
:= lim
δ→0
sup
0

wobei‖·‖ ˆ= Matrixnorm induziert durch Vektornormen auf R m , R n .
Numerische
Mathemtik
1.3.3.2 Unser Problem: das Anfangswertproblem
Anwendung (der abstrakten Konzepte) auf Anfangswertproblem (1.1.13):
Szenario ➊:
Eingabedatumy 0 ➥
DatenraumR d , Metrik: Euklidische Vektornorm
Ausgabey(T) zu EndzeitpunktT > t 0 ➥
Szenario ➋:
ErgebnisraumR d , Metrik: Euklidische Vektornorm
R. Hiptmair
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Eingabedatumy 0 ➥
DatenraumR d , Metrik: Euklidische Vektornorm
Ausgabe: Lösungsfunktiont ∈ J ⊂ I ↦→ y(T)
➥ ErgebnisraumC 0 (J,R d ), Metrik: Maximumnorm‖·‖ L ∞ (J)
Szenario ➌:
1.3
p. 59

Eingabedaten: Anfangswerty 0 und rechte Seitef
➥ DatenraumR d ×C 1 (I×R d ,R d ), Metrik: Euklidische Vektornorm & Maximumnorm
Numerische
Mathemtik
Ausgabe: Lösungsfunktiont ∈ J ⊂ I ↦→ y(T)
➥ ErgebnisraumC 0 (J,R d ), Metrik: Maximumnorm‖·‖ L ∞ (J)
Terminologie: Szenario ➊ : κ abs ,κ ∞ abs
∼ punktweise Kondition,
Szenario ➋ : κ abs ,κ ∞ abs
∼ intervallweise Kondition
Beispiel 1.3.22 (Kondition skalarer linearer Anfangswertprobleme).
(Untersuchung für Szenarios ➊ and ➋)
ẏ = λy , λ ∈ R , y(0) = y 0 ∈ R , (1.3.23)
⇒ y(t) = y 0 exp(λt) , t ∈ R . (1.3.24)
R. Hiptmair
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Punktweise Kondition: für EndzeitpunktT :
κ abs = exp(λT)
{
≫ 1 fürλ > 0 ,
≪ 1 fürλ < 0 .
(1.3.25)
1.3
p. 60

Intervallweise Kondition:
in[0,T]:
κ abs = max{1,exp(λT)}
{
≫ 1 fürλ > 0 ,
1 fürλ < 0 .
(1.3.26)
Numerische
Mathemtik
✸
1.3.3.3 Wohlgestelltheit
✬
Annahme:
Rechte Seitef : I ×D ↦→ R d von (1.1.13) erfüllt globale Lipschitzbedingung
(vgl. lokale Lipschitzbedingung aus Def. 1.3.2)
R. Hiptmair
✩rev 35327,
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∀t ∈ I: ∃L(t) > 0: ‖f(t,x)−f(t,y)‖ ≤ L(t)‖x−y‖ ∀x,y ∈ D ⊂ R d , (1.3.27)
für geeignete Vektornorm‖·‖ auf R d .
✫
✪
1.3
p. 61

✬
✩
Theorem 1.3.28 (Lipschitz-stetige Abhängigkeit vom Anfangswert).
Es seien y,ỹ Lösungen des AWP (1.1.13) zu Anfangswerten y 0 ∈ D bzw. ỹ 0 ∈ D. Unter der
Annahme (1.3.27) mit stetigemL(t) gilt
✫
(∫ t
)
‖y(t)−ỹ(t)‖ ≤ ‖y 0 −ỹ 0 ‖·exp L(τ)dτ
t 0
∀t ∈ I .
✪
Numerische
Mathemtik
Hilfsmittel beim Beweis:
✬
Lemma 1.3.29 (Gronwalls Lemma). → [1, Sect. II.6], [8, Lemma 3.9]
SeiJ ⊂ R Intervall,t 0 ∈ J,u,a,β ∈ C 0 (J,R + ),amonoton wachsend. Dann gilt
∫ t
∫ t
u(t) ≤ a(|t−t 0 |)+ β(τ)u(τ)dτ ⇒ u(t) ≤ a(|t−t 0 |)exp
∣ β(τ)dτ
∣ .
t 0 t 0
✫
✩
✪
R. Hiptmair
rev 35327,
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➤ AWP (1.1.13) is wohlgestellt unter Annahme (1.3.27) !
➤ Schranke für absolute punktweise Kondition (für EndzeitpunktT )
( ∫ ) T
κ abs ≤ exp . (1.3.31)
t 0
L(τ)dτ
1.3
p. 62

Bemerkung 1.3.32 („Gronwall-Schranke” für Kondition).
Numerische
Mathemtik
Schranke aus (1.3.31) oft extrem pessimistisch !
Beispiel (siehe Bsp. 1.3.22):
für skalares lineares AWP mit λ < 0, punktweise Kondition, EndzeitpunktT
> 0 (1.3.23)
(1.3.31) ➣ κ abs ≤ e |λ|T T→∞
↦−→ ∞ ←→ κ abs = e λT T→∞
↦−→ 0 .
△
R. Hiptmair
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25. April
2011
1.3.3.4 Asymptotische Kondition
Szenario ➊:
Wie wirken sich kleine Störungen im Anfangswert y 0 in (1.1.13) auf die Lösungy(t)
aus ?
Asymptotische absolute Konditionszahl durch differentielle Konditionsanalyse, siehe (1.3.21):
1.3
p. 63

Erforderlich: „Differenzieren der Lösung eins Anfagswertproblems nach dem Anfangswerty 0 ”
(Dabei wird die Zeittals fester „Parameter” behandelt.)
Numerische
Mathemtik
➣ Zu betrachten ist, mit EvolutionΦ s,t y = Φ(s,t,y)
dy(t)
dy 0
∣ ∣∣∣t
fest
←→ ∂Φ
∂y (t 0,t,y 0 ) .
Formales Vorgehen unter der Annahme der Vertauschbarkeit partieller Ableitungen:
(Annahme:
d
dy
d
dt Φt0,t y = f(t,Φ t0,t y) für festesy .
(
d ∂
y)
dy ∂t Φt0,t = d
dy f(t,Φt0,t y)
( )
∂ ∂Φ
∂t ∂y (t 0,t,y) = d
dy f(t,Φt0,t y) = ∂f
∂y (t,Φt0,t y) d
dy Φt0,t y .
f nachystetig differenzierbar)
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Die Propagationsmatrix (Wronski-Matrix),
W(t;t 0 ,z) := d
dy Φt 0,t y|y=z
∈ R d,d , (1.3.33)
1.3
p. 64

zum AWP (1.1.13) erfüllt Anfangswertproblem für
Variationsgleichung
d
dt W(t;t 0,y 0 ) = ∂f
∂y (t,Φt0,t y 0 )W(t;t 0 ,y 0 ) , (1.3.34)
W(t 0 ;t 0 ,y 0 ) = I .
Numerische
Mathemtik
Beachte:
Variationsgleichung = lineare Differentialgleichung auf ZustandsraumD = R d,d
☞ Matrix-Differentialgleichung der Form
wobei
∂f
∂y
Ẇ = A(t)W mit
A(t) = ∂f
∂y (t,y(t)) ,
ˆ= Jacobi-Matrix, abhängig von(t,y),
y(t) ˆ= Lösung des AWP ẏ = f(t,y),y(t 0 ) = y 0
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➣
Um die Variationsgleichung zu lösen muss auch das zugehörige Anfangswertproblem gelöst
werden!
✗
✖
y 0 ← y 0 +δy 0 ➣ δy(t) ≈ W(t;t 0 ,y 0 )δy 0 für „kleineδy 0 ”
Intervallweise asymptotische Kondition des AWP (1.1.13) auf[t 0 ,T] (bzgl. Norm‖·‖ aufR d ):
✔
✕
1.3
p. 65

κ ∞ abs := max{‖W(t;t 0,y 0 )‖: t 0 ≤ t ≤ T} . (1.3.35)
Numerische
Mathemtik
1.3.3.5 Schlecht konditionierte AWPe
Beispiel 1.3.36 (Lorenz-System). → [27, 21]
Autonome Differentialgleichung, D = R 3 ,
σ,ρ,β ∈ R + :
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ẋ =σ(y −x) ,
ẏ =x(ρ−z)−y ,
ż =xy −βz .
(1.3.37)
1.3
p. 66

Listing 1.3: Numerische Integration des Lorenz-Systems
1 f u n c t i o n lorenzplot(rho,sigma,beta)
2
3 % MATLAB script for plotting 3D trajectories of the Lorenz system for
Ex. 1.3.36
4 % Arguments: parameters of the Lorenz system (1.3.37): ρ, σ, β.
5
6 % Default paramters
7 i f (nargin < 3), rho=28; sigma = 10; beta = 8/3; end
8
9 % function handle for right hand side of the Lorez system (1.3.37)
0 f = @(t,y) ([sigma*(y(2)-y(1));rho*y(1) - y(2) -
y(1)*y(3);y(1)*y(2) - beta*y(3)]);
1
2 y0 = [8 9 9.5]; ystart = y0; % initial conditions
3 ts = [0 20]; % Time for simulation
4
5 % Numerical integration of Lorenz system using MATLAB standard integrator,
6 % see Rem. 1.2.4
7 opts = odeset(’reltol’,1E-10,’abstol’,1E-10,’stats’,’on’);
8 [t,y] = ode45(f,ts,y0,opts);
9 y0(3) = y0(3) + 1.0E-5; % Slight perturbation of initial value
0 [tt,yt] = ode45(f,ts,y0,opts);
1
Numerische
Mathemtik
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1.3
p. 67

2 % 3D plot of trajectories
3 f i g u r e(’name’,’Lorenz’); hold on;
4 p l o t 3(y(:,1),y(:,2),y(:,3),’r-’);
5 p l o t 3(yt(:,1),yt(:,2),yt(:,3),’b-’);
6 x l a b e l(’{\bf x}’,’fontsize’,14);
7 y l a b e l(’{\bf y}’,’fontsize’,14);
8 z l a b e l(’{\bf z}’,’fontsize’,14);
9 t i t l e( s p r i n t f(’\\sigma = %d, \\rho = %d, \\beta =
%d’,sigma,rho,beta));
0 view(45,15); g r i d on;
1 p r i n t -depsc2 ’lorenz.eps’;
Numerische
Mathemtik
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1.3
p. 68

σ = 10, ρ = 28, β = 2.666667e+00
— : Anfangswerty 0 := (8,9,9.5) T
— : Anfangswerty 0 := (8,9,9.5+10 −5 ) T
Numerische
Mathemtik
45
Aus der Theorie der
40
35
reellen dynamischen Systeme [21]:
30
Lorenz-System ist chaotisches System
z
25
20
15
10
Anfängliche exponetielle Divergenz der
beschränkten Trajektorien
(Schranke (1.3.31) gilt für kleineT !)
5
−20
−10
0
x
10
20 −30
−20
−10
y
0
10
20
30
Fig. 18
Winzige Störungen der Anfangswerte
➤ völlig verschiedene Zustände nach „exponentiell
kurzer Zeit”.
✸
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Ziel numerischer Simulation chaotischer dynamischer Systeme:
Indentifikation des „typischen” Verhaltens von Trajektorien
★
✥
Essentiell:
✧
Korrekte Behandlung von Erhaltungsgrössen, z.B. Gesamtenergie
(→ Erste Integrale, Def. 1.2.7)
✦
1.3
p. 69

Beispiel 1.3.38 (Doppelpendel).
l 1
✁ (Mathematisches) Doppelpendel mit fester Aufhängung und masselosen
Stäben.
Minimalkoordinaten: Auslenkungswinkelθ 1 ,θ 2
KonfigurationsraumD = [0,2π[ 2 (Torus)
Numerische
Mathemtik
θ 1
θ 2
m 1
Hamilton-Funktion (→ Def. 1.2.20) = Summe kinetischer und potentieller
Energie:
l 2
m 2
Fig. 19
H(p 1 ,p 2 ,θ 1 ,θ 2 ) =
l 2 2 m 2p 2 1 +l2 1 (m 1 +m 2 )p 2 2 −2m 2l 1 l 2 p 1 p 2 cos(θ 1 −θ 2 )
2l 2 1 l2 2 m 2(m 1 +sin 2 (θ 1 −θ 2 )m 2 )
−m 2 gl 2 cosθ 2 −(m 1 +m 2 )gl 1 cosθ 1 .
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Beobachtung (in Experiment und Simulation):
Extrem sensitive Abhängigkeit der Pendelbewegung von Anfangsbedingungen
1.3
p. 70

m 1
= 2, m 2
= 1, l 1
= 1, l 2
= 1.732051e+00
3
m 1
= 2, m 2
= 1, l 1
= 1, l 2
= 1.732051e+00
3
Numerische
Mathemtik
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
Fig. 20
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
θ 1 (0) = − π 2 ,θ 2(0) = π,p 1 (0) = p 2 (0) = 0
−3
Fig. 21
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
θ 1 (0) = − π 2 ,θ 2(0) = π +10 −2 ,
p 1 (0) = p 2 (0) = 0
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[Simulation, MATLAB,ode45, Zeit[0,20], Schrittweite10 −3 ]
✸
1.4
p. 71

1.4 Polygonzugverfahren
Numerische
Mathemtik
Gegeben:
Rechte Seitef : Ω ↦→ R d , lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2) auf
erweitertem ZustandsraumΩ := I ×D ⊂ R d+1
Anfangsbedingungeny 0 ∈ D zum Anfangszeitpunktt 0
Thm. 1.3.4 (Peano & Picard-Lindelöf) ➤ Existenz & Eindeutigkeit von Lösungen (→ Def. 1.1.14)
des AWP
ẏ = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 . (1.4.1)
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Ziel: ☞ Approximation vony(T) für EndzeitpunktT ∈ J(t 0 ,y 0 ) ✄ y h (T).
☞ Approximation der Funktiont ↦→ y(t),t ∈ [t 0 ,T],T ∈ J(t 0 ,y 0 ) ✄ t ↦→ y h (t).
1.4
p. 72

1.4.1 Das explizite Euler-Verfahren (Euler 1768)
Numerische
Mathemtik
Idee: ➊ „Vorantasten” in der Zeit: (1.4.1) = Komposition von AWPe zu gegebenen
kleinen Zeitintervallen[t k−1 ,t k ],k = 1,...,N,t N := T
➋
Approximation der zeitlokalen Lösungskurven durch Tangente im aktuellen
Anfangszeitpunkt.
y
y h (t 1 )
y(t)
t
t 0 t 1
y 0
Fig. 22
Explizites Euler-Verfahren
(Eulersches Polygonzugverfahren)
✁ Erster Schritt des expliziten Euler-Verfahrens
(d = 1):
Steigung der Tangente= f(t 0 ,y 0 )
y h (t 1 ) ist Startwert für nächsten Schritt !
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In Formeln: durch explizites Eulerverfahren erzeugte Näherungen füry(t k ) erfüllen die Rekursion
y k+1 := y h (t k+1 ) = y h (t k )+h k f(t k ,y h (t k )) , k = 0,...,N −1 , (1.4.2)
mit lokaler (Zeit)schrittweite h k := t k+1 −t k .
1.4
p. 73

Numerische
Mathemtik
✎ Alternative Notation: y k := y h (t k )
Veranschaulichung: Explizites Eulerverfahren
2.4
2.2
exact solution
explicit Euler
Anfangswertproblem
für
Riccati-Differentialgleichung, siehe Bsp. 1.1.3
y 0 =
2 1 ,t 0 = 0,T = 1,
gleichgrosse Zeitschritteh = 0.2
ẏ = y 2 +t 2 . (1.1.4)
↦→ ˆ= Richtungsfeld der Riccati-Dgl.
✄
y
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
t
Fig. 23
R. Hiptmair
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2011
1.4
p. 74

Bemerkung 1.4.3 (Explizites Eulerverfahren als Differenzenverfahren).
Numerische
Mathemtik
(1.4.2) aus Approximation von Ableitung d dt
{t 0 ,t 1 ,...,t N }:
durch Vorwärtsdifferenzenquotienten auf Zeitgitter G :=
ẏ = f(t,y) ←→ y h(t k+1 )−y h (t k )
h k
= f(t k ,y h (t k )) , k = 0,...,N −1 .
△
Frage: Wie genau ist die Näherungslösung ?
Beispiel 1.4.4 (Konvergenz(-geschwindigkeit) des expliziten Euler-Verfahrens).
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Listing 1.4: Erzeugen von Fehlerkurven für explizites Eulerverfahren
1 f u n c t i o n err = eulerConvergence(odefun,tspan,y0v,N)
2 % MATLAB function computing the error (at final time) of the explicit Euler
method (1.4.2)
3 % Arguments:
4 % odefun = @(t,y): handle to function returning a vector
1.4
p. 75

5 % tspan = [t0 T]: initial and final time
6 % y0v ˆ= array of initial values
7 % N ˆ= vector containing numbers of steps. For each the error is returned
8
9 err = []; l = 1; % Initialize error array
0
1 f o r y0 = y0v
2 % Compute ’exact’ solution
3 [t,y] =
ode45(odefun,tspan,y0,odeset(’reltol’,1E-11,’abstol’,1E-11));
4
5 % Compute Euler solutions
6 erri = [];
7 f o r n=N
8 h = (tspan(2)-tspan(1))/n; % uniform timestep size
9 t_eul = tspan(1); % initial time
0 y_eul = y0; % intialize iteration
1 f o r k=1:n
2 y_eul = y_eul + h*odefun(t_eul,y_eul); % see (1.4.2)
3 t_eul = t_eul + h; % increment time
4 end
5 erri = [erri,norm(y(end,:)-y_eul)]; % record error
6 end
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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1.4
p. 76

7 err = [err;erri]; % assemble matrix of error values
8 leg{l} = s p r i n t f(’y0 = %3.2f’,y0);
9 l = l+1;
0 end
1
2 % Plot error curves in log-log scale to discern alegebraic convergence →
Def. 1.4.5
3 f i g u r e(’name’,’erreul’);
4 ts = (tspan(2)-tspan(1))./N;
5 loglog(ts,err,’-+’); hold on;
6 loglog(ts,10*ts,’k-’);
7 x l a b e l(’{\bf timestep h}’,’fontsize’,14);
8 y l a b e l(’{\bf error (Euclidean norm)}’,’fontsize’,14);
9 leg{l} = ’O(h)’; legend(leg,’location’,’southeast’);
Numerische
Mathemtik
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1.4
p. 77

AWP für Riccati-Dgl. (1.1.4) auf[0,1]
Explizites Euler-Verfahren (1.4.2) mit
uniformem Zeitschritth = 1/n,
n ∈ {5,10,20,40,80,160,320,640}.
Fehler err h := |y(1)−y h (1)|
error (Euclidean norm)
10 −1
10 −2
Beobachtung:
Algebraische Konvergenz
err h = O(h)
10 1 timestep h
10 0
Numerische
Mathemtik
10 −3
y0 = 0.10
y0 = 0.20
y0 = 0.40
y0 = 0.80
O(h)
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 24
✸
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✎ Notation “Landau-O”:
e(h) = O(g(h)) fürh → 0 :⇔ ∃h 0 > 0, C > 0: |e(h)| ≤ Cg(h) ∀0 ≤ h ≤ h 0 .
1.4
p. 78

Definition 1.4.5 (Arten der Konvergenz).
Seierr h der Diskretisierungsfehler eines Verfahrens zum Diskretisierungsparameter/Schrittweiteh,h
> 0.
Numerische
Mathemtik
err h = O(h α ) :⇔ Algebraische Konvergenz der Ordnungα > 0
err h = O(exp(−βh −γ )), :⇔ exponentielle Konvergenz, fallsβ,γ > 0
Fehlerplots bei algebraischer Konvergenz (h i = (3/2) −i ,i = 1,...,10)
R. Hiptmair
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1.4
p. 79

0.9
0.8
α = 1/2
α = 1
α = 2
Error plots for algebraic convergence (linear scale)
10 0 Error plots for algebraic convergence (log scale
Numerische
Mathemtik
0.7
10 −1
0.6
error
0.5
0.4
error
10 −2
0.3
0.2
10 −3
0.1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
h
lineare Skalen
Fig. 25
10 −4
10 −2 10 −1 10 0
logarithmische Skalen
h
α = 1/2
α = 1
α = 2
Fig. 26
R. Hiptmair
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25. April
2011
Fehlerplots bei exponentieller Konvergenz (h i = (3/2) −i ,i = 1,...,10)
1.4
p. 80

0.7
0.6
β = 0.5, γ = 0.5
β = 1.0, γ = 0.5
β = 2.0, γ = 0.5
β = 1.0, γ = 1.0
β = 1.0, γ = 1/3
Error plots for exponential convergence (linear scale)
10 0 Error plots for exponential convergence (log scale)
10 −1
10 −2
Numerische
Mathemtik
0.5
10 −3
error
0.4
error
10 −4
10 −5
0.3
10 −6
0.2
10 −7
0.1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
h
lineare Skalen
Fig. 27
10 −8
10 −9
10 −10
10 −2 10 −1 10 0
logarithmische Skalen
h
β = 0.5, γ = 0.5
β = 1.0, γ = 0.5
β = 2.0, γ = 0.5
β = 1.0, γ = 1.0
β = 1.0, γ = 1/3
Fig. 28
R. Hiptmair
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2011
1.4
p. 81

10 0 Error plots for exponential convergence (h −γ lin−log scale)
10 −1
10 −2
β = 0.5, γ = 0.5
β = 1.0, γ = 0.5
β = 2.0, γ = 0.5
β = 1.0, γ = 1.0
β = 1.0, γ = 1/3
Numerische
Mathemtik
error
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
✁ (h −γ
i
,ǫ i ) (h i ˆ= Schrittweiten,ǫ i ˆ= zugehörige
Diskretisierungsfehler ) liegen auf Geraden mit
Steigung−β
10 −8
10 −9
10 −10
0 5 10 15 20 25 30
h −γ
Fig. 29
Beispiel 1.4.9 (Explizites Euler-Verfahren für logistische Dgl.).
R. Hiptmair
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Anfangswertproblem für logistische Differentialgleichung, siehe Bsp. 1.2.1
ẏ = λy(1−y) , y(0) = 0.01 .
Explizites Euler-Verfahren (1.4.2) mit uniformem Zeitschritth = 1/n,
n ∈ {5,10,20,40,80,160,320,640}.
Fehler zum EndzeitpunktT = 1
1.4
p. 82

10 0
λ = 1.000000
λ = 3.000000
λ = 6.000000
λ = 9.000000
10 120
10 100
λ = 10.000000
λ = 30.000000
λ = 60.000000
λ = 90.000000
Numerische
Mathemtik
error (Euclidean norm)
10 1 timestep h
10 −1
10 −2
10 −3
error (Euclidean norm)
10 140 timestep h
10 80
10 60
10 40
10 20
10 −4
10 0
10 −5
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
λ klein:O(h)-Konvergenz (asymptotisch)
Fig. 30
10 −20
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
λ gross: Explosion vony k für grosse
Zeitschrittweitenh
Fig. 31
R. Hiptmair
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1.4
p. 83

1.4
1.2
1
0.8
✁ λ = 90, — ˆ= exakte Lösung, — ˆ= Eulerpolygon
Numerische
Mathemtik
y
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
y k schiessen über den stark attraktiven
Fixpunkty = 1 hinaus.
➥ Beobachtung: exponentiell anwachsende
Oszillationen dery k
−0.4
exact solution
explicit Euler
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Fig. 32
✸
R. Hiptmair
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Einsicht durch Modellproblemanalyse: einfachste Dgl. mit stark attraktivem Fixpunkty = 0
Homogene lineare skalare Dgl., Sect. 1.3.2 : ẏ = f(y) := λy , λ < 0 . (1.4.10)
ẏ = λy , y(0) = y 0 ⇒ y(t) = y 0 exp(λt) → 0 für t → ∞ . (1.4.11)
1.4
p. 84

Rekursion des expliziten Eulerverfahrens für (1.4.10) (uniforme Zeitschrittweiteh > 0)
Numerische
Mathemtik
(1.4.2) forf(y) = λy: y k+1 = y k (1+λh) . (1.4.12)
y k = y 0 (1+λh) k ⇒ |y k | →
{
0 , wennλh > −2 (qualitativ richtig) ,
∞ , wennλh < −2 (qualitativ falsch) .
1.4.2 Das implizite Euler-Verfahren
R. Hiptmair
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2011
Wie vermeidet man das Überschiessen des expliziten Eulerverfahrens bei stark attraktiven Fixpunkten
und grossen Zeitschrittweiten ?
1.4
p. 85

y
y h (t 1 ) y(t)
t
t 0 t 1
y 0
Fig. 33
Idee: Approximiere Lösung durch (t 0 ,y 0 ) auf
[t 0 ,t 1 ] durch
• Strecke duch(t 0 ,y 0 )
• mit Steigungf(t 1 ,y 1 )
✁ — ˆ= Lösungkurve durch(t 0 ,y 0 ),
— ˆ= Lösungkurve durch(t 1 ,y 1 ),
— ˆ= Tangente an — in(t 1 ,y 1 ).
Numerische
Mathemtik
Anwendung auf kleine Zeitintervalle [t 0 ,t 1 ],[t 1 ,t 2 ],...,[t N−1 ,t N ] ➤ implizites Euler-Verfahren
durch implizites Eulerverfahren erzeugte Näherung füry(t k ) erfüllt
y k+1 := y h (t k+1 ) = y h (t k )+h k f(t k+1 ,y k+1 ) , k = 0,...,N −1 , (1.4.13)
R. Hiptmair
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25. April
2011
mit lokaler (Zeit)schrittweite h k := t k+1 −t k .
Beachte: (1.4.13) erfordert Auflösen einer (evtl. nichtlinearen) Gleichung nachy k+1 !
(➤ Terminologie „implizit”)
1.4
p. 86

Bemerkung 1.4.14 (Implizites Eulerverfahren als Differenzenverfahren).
Numerische
Mathemtik
(1.4.13) aus Approximation der Zeitableitung d dt
G := {t 0 ,t 1 ,...,t N }:
durch Rückwärtsdifferenzenquotienten auf Zeitgitter
ẏ = f(t,y) ←→ y h(t k+1 )−y h (t k )
h k
= f(t k+1 ,y h (t k+1 )) , k = 0,...,N −1 .
△
Beispiel 1.4.15 (Implizites Eulerverfahren für logistische Differentialgleichung). → Bps. 1.4.9
Wiederholung der numerischen Experimente aus Beispiel 1.4.9 für implizites Eulerverfahren (1.4.13):
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
1.4
p. 87

10 0
λ = 1.000000
λ = 3.000000
λ = 6.000000
λ = 9.000000
O(h)
10 0
10 −2
λ = 10.000000
λ = 30.000000
λ = 60.000000
λ = 90.000000
O(h)
Numerische
Mathemtik
error (Euclidean norm)
10 1 timestep h
10 −1
10 −2
10 −3
error (Euclidean norm)
10 2 timestep h
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −4
10 −14
10 −5
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
λ klein:O(h)-Konvergenz (asymptotisch)
Fig. 34
Modellproblemanalyse (wie in Abschnitt 1.4.1):
(1.4.13) forf(y) = λy: y k+1 = y k
1
1−λh .
10 −16
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 35
λ gross: stabil für alle Zeitschrittweitenh!
R. Hiptmair
✸
rev 35327,
25. April
2011
(1.4.16)
1.4
p. 88

( ) 1 k
y k = y 0 ⇒ |y
1−λh k | →
⎧
⎪⎨ 0 , wennλh < 0 (qualitativ richtig) ,
∞ , wenn0 < λh < 1 (qualitativ richtig) ,
⎪⎩
∞ , wennλh > 1 (Oszillationen, qualitativ falsch) .
Numerische
Mathemtik
Beispiel 1.4.17 (Euler-Verfahren für Pendelgleichung).
Mathematisches Pendel→Bsp. 1.2.17: Hamiltonsche Form (1.2.19) der Bewegungsgleichungen
( ) ( α
p
Winkelgeschwindigkeit
p := ˙α ⇒ d dt
=
)
p
− g l sinα
, g = 9.8,l = 1 . (1.2.19)
Approximative numerische Lösung mit explizitem/implizitem Eulerverfahren (1.4.2)/(1.4.13),
Konstante Zeitschrittweiteh = T/N,T = 5 Endzeitpunkt,N ∈ {50,100,200},
R. Hiptmair
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Startwert: α(0) = π/4,p(0) = 0.
Listing 1.5: Simulation des mathematischen Pendels mit einfachen Polygonzugverfahren
1 f u n c t i o n pendeul(y0,T,N,filename)
2 % MATLAB function applying explicit and implicit Euler methods and implicit
1.4
p. 89

3 % midpoint rule of Sect. 1.4.3 to mathematical pendulum equation in
4 % minimal coordinates and Hamiltonian form for Ex. 1.4.17
5 % Arguments: y0 ˆ= initial position, T ˆ= final time N ˆ=
6 % number of equidistant timesteps
7
8 g = 9.8; % constant of gravity
9 l = 1; % length of pendulum
0
1 % Compute ’exact’ solution by means of high-order single step method with tight
2 % error control
3 odefun = @(t,y) [y(2);-g/l*sin(y(1))];
4 [t,s] =
ode45(odefun,[0,T],y0,odeset(’abstol’,1E-10,’reltol’,1E-10));
5
6 h = T/N; % timestep
7
8 % Explicit Euler (1.4.2)
9 y_expl = y0; y = y0;
0 f o r k=1:N
1 y = y + h*[y(2);-g/l*sin(y(1))];
2 y_expl = [y_expl,y];
3 end
4
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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1.4
p. 90

5 % Implicit Euler
6 y_imp = y0; y = y0;
7 f o r k=1:N
8 % Implicit Euler equation for next angle
9 F = @(x) x+h*h*g/l*sin(x) - y(1) - h*y(2);
0 [y(1),Fval] = fsolve(F,y(1)+h*y(2)); % solve non-linear system of
equations
1 f p r i n t f(’Impl Euler step %d: residual %f\n’,k,Fval);
2 y(2) = y(2) - h*g/l*sin(y(1));
3 y_imp = [y_imp,y];
4 end
5
6 % Implicit midpoint rule
7 y_mid = y0; y = y0;
8 rhs = @(y) [y(2);-g/l*sin(y(1))];
9
0 f o r k=1:N
1 % Implicit equation (1.4.19) for implicit midpoint rule
2 F = @(x) (x - h*rhs(y+0.5*x));
3 [dy,Fval] = fsolve(F,h*rhs(y)); y = y+dy;
4 f p r i n t f(’Impl midp step %d: residual %f\n’,k,norm(Fval));
5 y_mid = [y_mid,y];
6 end
7
Numerische
Mathemtik
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1.4
p. 91

8 tg = h*(0:N);
9
0 % Plotting of trajectories in phase space
1 f i g u r e(’name’,’pendeul’);
2 ph = p l o t(s(:,1),s(:,2),’g--’,...
3 y_expl(1,:),y_expl(2,:),’r-+’,...
4 y_imp(1,:),y_imp(2,:),’b-+’,...
5 y_mid(1,:),y_mid(2,:),’m-*’); hold on;
6 set(ph(1),’linewidth’,2);
7 ax = axis;
8 p l o t([ax(1) ax(2)],[0 0],’k-’);
9 p l o t([0 0],[ax(3) ax(4)],’k-’);
0 x l a b e l(’{\bf \alpha}’,’fontsize’,14);
1 y l a b e l(’{\bf p}’,’fontsize’,14);
2 legend(’exact solution’,’explicit Euler’,’implicit Euler’,...
3 ’implicit midpoint’,’location’,’southwest’);
4 t i t l e( s p r i n t f(’%d timesteps on [0,%f]’,N,T));
5
6 i f (nargin > 3)
7 p r i n t(’-depsc2’, s p r i n t f(’%s.eps’,filename));
8 end
9
0 % Tracking energies for explicit Euler
Numerische
Mathemtik
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1.4
p. 92

1 y = y_expl;
2
3 E_kin = 0.5*(y(2,:).^2);
4 E_pot = -g/l*cos(y(1,:));
5 E_pot = E_pot - min(E_pot) + min(E_kin);
6 E_tot = E_kin + E_pot;
7
8 % Plot of evolution of energies
9 f i g u r e(’name’,’Pendulum: energy’);
0 p l o t(tg,E_kin,’b-’,...
1 tg,E_pot,’c-’,...
2 tg,E_tot,’r-’);
3 x l a b e l(’{\bf time t}’,’fontsize’,14);
4 y l a b e l(’{\bf energy}’,’fontsize’,14);
5 legend(’kinetic energy’,’potential energy’,’total energy’);
6 t i t l e(’Energies for {\bf explicit} Euler discrete evolution’);
7
8 i f (nargin > 3),
p r i n t(’-depsc2’, s p r i n t f(’%s_EnExpl.eps’,filename)); end
9
0 % Tracking energies for implicit Euler
1 y = y_imp;
2 E_kin = 0.5*(y(2,:).^2);
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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1.4
p. 93

3 E_pot = -g/l*cos(y(1,:));
4 E_pot = E_pot - min(E_pot) + min(E_kin);
5 E_tot = E_kin + E_pot;
6
7 f i g u r e(’name’,’Pendulum: energy’);
8 p l o t(tg,E_kin,’b-’,...
9 tg,E_pot,’c-’,...
0 tg,E_tot,’r-’);
1 x l a b e l(’{\bf time t}’,’fontsize’,14);
2 y l a b e l(’{\bf energy}’,’fontsize’,14);
3 legend(’kinetic energy’,’potential energy’,’total energy’);
4 t i t l e(’Energies for {\bf implicit} Euler discrete evolution’);
5
6 i f (nargin > 3)
7 p r i n t(’-depsc2’, s p r i n t f(’%s_EnImpl.eps’,filename));
8 end
9
0 % Tracking energies for implicit midpoint rule
1 y = y_mid;
2
3 E_kin = 0.5*(y(2,:).^2);
4 E_pot = -g/l*cos(y(1,:));
5 E_pot = E_pot - min(E_pot) + min(E_kin);
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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1.4
p. 94

6 E_tot = E_kin + E_pot;
7
8 f i g u r e(’name’,’Pendulum: energy’);
9 p l o t(tg,E_kin,’b-’,...
0 tg,E_pot,’c-’,...
1 tg,E_tot,’r-’);
2 x l a b e l(’{\bf time t}’,’fontsize’,14);
3 y l a b e l(’{\bf energy}’,’fontsize’,14);
4 legend(’kinetic energy’,’potential energy’,’total
energy’,’location’,’southwest’);
5 t i t l e(’Energies for {\bf implicit midpoint} discrete evolution’);
6
7 i f (nargin > 3)
8 p r i n t(’-depsc2’, s p r i n t f(’%s_EnImid.eps’,filename));
9 end
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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2011
1.4
p. 95

6
4
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
50 timesteps on [0,5.000000]
6
4
100 timesteps on [0,5.000000]
4
3
200 timesteps on [0,5.000000]
Numerische
Mathemtik
2
2
2
1
0
p
p
0
p
0
−2
−4
−2
−1
−2
−6
−8
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4
α
−4
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
−6
−4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Fig. 36 Fig. 37 Fig. 38
α
−3
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
α
Verhalten der approximativen Energien: kinetische Enegie :E kin (t) = 1 2 p(t)2
potentielle Energie :E pot (t) = − g l cosα(t)
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
1.4
p. 96

9
8
Energies for explicit Euler discrete evolution
kinetic energy
potential energy
total energy
3
Energies for implicit Euler discrete evolution
kinetic energy
potential energy
total energy
Numerische
Mathemtik
2.5
7
6
2
energy
5
4
energy
1.5
3
1
2
0.5
1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 39
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 40
R. Hiptmair
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2011
☞ Expliziter Euler: Anwachsen der Gesamtenergie des Pendels
☞ Impliziter Euler: Pendel kommt zur Ruhe („numerische Reibung”)
✸
1.4
p. 97

Beispiel 1.4.18 (Eulerverfahren für längenerhaltende Evolution).
Anfagswertproblem für ,D = R 2 :
( )
y2
ẏ = , y(0) = y
−y 0 ➤ y(t) =
1
( ) cost sint
y
−sint cost 0 .
I(y) = ‖y‖
Erstes Integral (→ Def. 1.2.7):
(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit auf Kreisbahn)
Numerische
Mathemtik
2
1.5
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
40 timesteps on [0,10.000000]
1.5
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
160 timesteps on [0,10.000000]
1
1
0.5
0.5
R. Hiptmair
y 2
0
−0.5
y 2
0
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−1
−1.5
−0.5
−2
−1
−2.5
−3
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
y 1
Fig. 41
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
y 1
Fig. 42
☞ Expliziter Euler: Numerische Lösung wird „aus der Kurve getragen”
☞ Impliziter Euler: Numerische Lösung „stürzt ins Zentrum”
1.4
p. 98

✸
Numerische
Mathemtik
1.4.3 Implizite Mittelpunktsregel
Wie vermeidet man die Energiedrift für explizites/implizites Euler-Verfahren angewandt auf konservative
Systeme ?
R. Hiptmair
y
y ∗ y h (t 1 )
y 0
f(t ∗ ,y ∗ )
t
t 0 t ∗ t 1
Fig. 43
Idee: Approximiere Lösung durch (t 0 ,y 0 ) auf
[t 0 ,t 1 ] durch
• lineares Polynom durch(t 0 ,y 0 )
• mit Steigungf(t ∗ ,y ∗ ),
t ∗ := 1 2 (t 0+t 1 ),y ∗ = 1 2 (y 0+y 1 )
✁ — ˆ= Lösungkurve durch(t 0 ,y 0 ),
— ˆ= Lösungkurve durch(t ∗ ,y ∗ ),
— ˆ= Tangente an — in(t ∗ ,y ∗ ).
rev 35327,
25. April
2011
1.4
p. 99

Anwendung auf kleine Zeitintervalle [t 0 ,t 1 ],[t 1 ,t 2 ],...,[t N−1 ,t N ] ➤ implizite Mittelpunktsregel
Numerische
Mathemtik
durch implizite Mittelpunktsregel erzeugte Näherungy k+1 füry(t k ) erfüllt
y k+1 := y h (t k+1 ) = y k +h k f( 1 2 (t k +t k+1 ), 1 2 (y k +y k+1 )) , k = 0,...,N −1 , (1.4.19)
mit lokaler (Zeit)schrittweite h k := t k+1 −t k .
Beachte: (1.4.19) erfordert Auflösen einer (evtl. nichtlinearen) Gleichung nachy k+1 !
(➤ Terminologie „implizit”)
Bemerkung 1.4.20 (Implizite Mittelpunktsregel als Differenzenverfahren).
R. Hiptmair
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(1.4.19) aus Approximation der Zeitableitung d dt
G := {t 0 ,t 1 ,...,t N }:
durch zentralen Differenzenquotienten auf Zeitgitter
ẏ = f(t,y) ←→ y h(t k+1 )−y h (t k )
h k
= f( 1 2 (t k +t k+1 ), 1 2 (y h(t k )+y(t k+1 )), k = 0,...,N −1 .
△
1.4
p. 100

Beispiel 1.4.21 (Implizite Mittelpunktsregel für logistische Dgl.).
Numerische
Mathemtik
Wiederholung der numerischen Experimente aus Beispiel 1.4.9 für implizite Mittelpunktsregel (1.4.19):
10 −1
10 −2
10 −2
10 −4
error (Euclidean norm)
10 0 timestep h
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
10 −8
10 −9
λ = 1.000000
λ = 2.000000
λ = 5.000000
λ = 10.000000
O(h 2 )
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 44
error (Euclidean norm)
10 0 timestep h
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
10 −16
λ = 10.000000
λ = 20.000000
λ = 50.000000
λ = 90.000000
O(h 2 )
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 45
R. Hiptmair
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2011
λ klein:O(h 2 )-Konvergenz (asymptotisch)
λ gross: stabil für alle Zeitschrittweitenh!
✸
Beispiel 1.4.22 (Implizite Mittelpunktregel für Kreisbewegung).
1.4
p. 101

2
1.5
1
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
40 timesteps on [0,10.000000]
1.5
1
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
160 timesteps on [0,10.000000]
Numerische
Mathemtik
0.5
0.5
0
y 2
−0.5
y 2
0
−1
−1.5
−0.5
−2
−1
−2.5
−3
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
y 1
Fig. 46
☞ Implizite Mittelpunktsregel: Perfekte Längenerhaltung !
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
y 1
Fig. 47
✸
R. Hiptmair
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2011
✬
✩
Lemma 1.4.23 (Erhaltung quadratischer erster Integrale durch implizite Mittelpunktsregel).
Falls I : D ⊂ R d ↦→ R, I(y) := 1 2 yT Ay, A ∈ R d,d , erstes Integral (→ Def. 1.2.7) der
autonomen Dgl.ẏ = f(y) mit global differenzierbarer rechter Seitef : D ↦→ R d , dann gilt
✫
I(y k ) = I(y 0 ) ∀k ∈ Z für y k gemäss (1.4.19)
✪
1.4
p. 102

Beispiel 1.4.24 (Implizite Mittelpunktsregel für Pendelgleichung).
Numerische
Mathemtik
Anfangswertproblem und numerische Experimente wie in Bsp. 1.4.17
6
4
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
50 timesteps on [0,5.000000]
6
4
100 timesteps on [0,5.000000]
4
3
200 timesteps on [0,5.000000]
2
2
2
1
0
p
p
0
p
0
−2
−4
−2
−1
−2
−6
−8
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4
α
−4
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
−6
−4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Fig. 48 Fig. 49 Fig. 50
α
−3
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
α
R. Hiptmair
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1.4
p. 103

3
Energies for implicit midpoint discrete evolution
Numerische
Mathemtik
2.5
energy
2
1.5
1
✁ Verhalten der Energien bei numerischer
Integration mit impliziter Mittelpunktsregel
(1.4.19),N = 50.
Keine (sichtbare) Energiedrift im Vergleich zu
Euler-Verfahren (trotz grosser Zeitschritte)
0.5
kinetic energy
potential energy
total energy
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 51
✸
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1.4.4 Störmer-Verlet-Verfahren [15]
?
Übertragung der Idee der Euler-Verfahren (→ Sect. 1.4.1, 1.4.2) auf Differentialgleichungen 2.
Ordnung
ÿ = f(t,y) . (1.4.25)
1.4
p. 104

Gegebeny k−1 ≈ y(t k−1 ),y k ≈ y(t k ) approximierey(t) auf[t k−1 ,t k+1 ] durch
• Parabelp(t) durch(t k−1 ,y k−1 ),(t k ,y k )(∗),
Numerische
Mathemtik
• mit
(∗) ➜
¨p(t k ) = f(y k )(∗).
Parabel eindeutig bestimmt.
y k+1 := p(t k+1 ) ≈ y(t k+1 )
Störmer-Verlet-Verfahren für (1.4.25) (ZeitgitterG := {t 0 ,t 1 ,...,t N }):
y k+1 = − h k
h k−1
y k−1 +
Für uniforme Zeitschrittweiteh:
(
1+ h )
k
y
h k +
2 1(h2 k +h kh k−1 )f(t k ,y k ) , k = 1,...,N −1 .
k−1
(1.4.26)
R. Hiptmair
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y k+1 = −y k−1 +2y k +h 2 f(t k ,y k ) , k = 1,...,N −1 . (1.4.27)
Beachte: (1.4.26) erfordert nicht das Lösen einer Gleichung (➤ explizites Verfahren)
Terminologie: y k+1 = y k+1 (y k ,y k−1 ) ➤ (1.4.26) ist ein Zweischrittverfahren
(Explizites/implizites Euler-Verfahren, Mittelpunktsregel = Einschrittverfahren)
1.4
p. 105

Bemerkung 1.4.28 (Störmer-Verlet-Verfahren als Differenzenverfahren).
Numerische
Mathemtik
(1.4.27) aus Approximation der zweiten Zeitableitung durch zweiten zentralen Differenzenquotienten
auf ZeitgitterG := {t 0 ,t 1 ,...,t N }: für uniforme Zeitschrittweiteh > 0
ÿ = f(y) ←→
y h (t k+1 )−y h (t k )
h
− y h(t k )−y h (t k−1 )
h
h
= y h(t k+1 )−2y h (t k )+y h (t k−1 )
h 2 = f(y h (t k )) .
△
Bemerkung 1.4.29 (Startschritt für Störmer-Verlet-Verfahren).
Anfangswerte für (1.4.25), siehe Bem. 1.1.16: y(0) = y 0 ,ẏ(0) = v 0
R. Hiptmair
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2011
Benutze virtuellen Zeitpunkt t −1 := t 0 −h 0
Wende (1.4.27) an auf[t −1 ,t 1 ]:
Zentraler Differenzenquotient auf[t −1 ,t 1 ]:
y 1 = −y −1 +2y 0 +h 2 0 f(t 0,y 0 ) . (1.4.30)
y 1 −y −1
2h 0
= v 0 . (1.4.31)
1.4
p. 106

Berechney 1 aus (1.4.30) & (1.4.31)
Beispiel 1.4.32 (Störmer-Verlet-Verfahren für Pendelgleichung).
△
Numerische
Mathemtik
Listing 1.6: Störmer-Verlet-Verfahren für Pendelgleichung
1 f u n c t i o n sverletpend(y0,v0,T,N,filename)
2 % MATLAB function for Stoermer-Verlet simulation of movement of mathematical
3 % pendulum, Example 1.4.32
4 %
5 % y0,v0: initial values for angle and its temporal derivative
6 % T : final time
7 % N : number of timesteps
8
9 g = 9.8; l = 1;
0
1 % right hand side for (1.4.25) (Newton’s equations of motion)
2 f = @(y) -g/l*sin(y);
3
4 h = T/N; % uniform timestep
5 y_old = y0; y_new = h*v0+y0+ 0.5*h*h*f(y0); % initial step, see
Rem. 1.4.29
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1.4
p. 107

6
7 % Stoermer-Verlet iteration
8 y_sv = y0; y_sv = [y_sv,y_new]; y_p = v0;
9 f o r k=2:N+1
0 y = -y_old + 2*y_new + h*h*f(y_new);
1 y_p = [y_p,(y-y_old)/(2*h)];
2 y_old = y_new; y_new = y;
3 y_sv = [y_sv,y];
4 end
5 y_sv = y_sv(1:end-1);
6
7 % right hand side (Hamiltonian form) for computation of reference solution
8 % with high-order single step method with tight tolerances
9 odefun = @(t,y) [y(2);-g/l*sin(y(1))];
0 [t,y] = ode45(odefun,[0,T],[y0;v0],...
1 odeset(’abstol’,1E-11,’reltol’,1E-11,’stats’,’on’));
2
3 % Plot of angle vs. time
4 f i g u r e(’name’,’Pendulum alpha’);
5 p l o t(t,y(:,1),’g-’,h*(0:N),y_sv,’r-+’);
6 x l a b e l(’{\bf time t}’,’fontsize’,14);
7 y l a b e l(’{\bf angle \alpha}’,’fontsize’,14);
8 t i t l e( s p r i n t f(’Pendulum g = %f, l =
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Mathemtik
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1.4
p. 108

%f,\\alpha(0)=%f,p(0)=%f’,g,l,y0,v0));
9 i f (nargin > 3),
p r i n t(’-depsc2’, s p r i n t f(’%s_alpha.eps’,filename)); end
0
1 % Plot of velocity vs. time
2 tg = h*(0:N);
3 f i g u r e(’name’,’Pendulum velocity’);
4 p l o t(t,y(:,2),’g-’,tg,y_p,’r-+’);
5 x l a b e l(’{\bf time t}’,’fontsize’,14);
6 y l a b e l(’{\bf velocity p}’,’fontsize’,14);
7 t i t l e( s p r i n t f(’Pendulum g = %f, l =
%f,\\alpha(0)=%f,p(0)=%f’,g,l,y0,v0));
8 i f (nargin > 3), p r i n t(’-depsc2’, s p r i n t f(’%s_p.eps’,filename));
end
9
0 % PLot of trajectory in phase space
1 f i g u r e(’name’,’Pendulum trajectory’);
2 ph = p l o t(y(:,1),y(:,2),’g--’,y_sv,y_p,’r-+’);
3 set(ph(1),’linewidth’,2);
4 x l a b e l(’{\bf angle \alpha}’,’fontsize’,14);
5 y l a b e l(’{\bf velocity p}’,’fontsize’,14);
6 t i t l e( s p r i n t f(’Pendulum g = %f, l =
%f,\\alpha(0)=%f,p(0)=%f’,g,l,y0,v0));
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1.4
p. 109

7
8 i f (nargin > 3),
p r i n t(’-depsc2’, s p r i n t f(’%s_orbit.eps’,filename)); end
9
0 % Tracking of energies
1 E_kin = 0.5*(y_p.^2);
2 E_pot = -g/l*cos(y_sv);
3 E_pot = E_pot - min(E_pot) + min(E_kin);
4 E_tot = E_kin + E_pot;
5
6 f i g u r e(’name’,’Pendulum: energy’);
7 p l o t(tg,E_kin,’b-’,tg,E_pot,’c-’,tg,E_tot,’r-’);
8 x l a b e l(’{\bf time t}’,’fontsize’,14);
9 y l a b e l(’{\bf energy}’,’fontsize’,14);
0 legend(’kinetic energy’,’potential energy’,’total
energy’,’location’,’southeast’);
1 t i t l e(’Energies for {\bf Stoermer-Verlet} discrete evolution’);
2 i f (nargin > 3),
p r i n t(’-depsc2’, s p r i n t f(’%s_EnSV.eps’,filename)); end
Numerische
Mathemtik
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1.4
p. 110

(1.4.27) angewandt auf (1.2.18)
5
4
Pendulum g = 9.800000, l = 1.000000,α(0)=1.570796,p(0)=0.000000
Numerische
Mathemtik
Startschritt gemäss Bem. 1.4.29
3
Uniforme Zeitschrittweitee h := T/N, N ∈ N
Zeitschritte
Referenzlösung durch MATLAB-Funktion
velocity p
2
1
0
−1
ode45() (extrem kleine Toleranzen)
−2
α 0 = π/2,p 0 = 0,T = 5, vgl. Bsp. 1.4.17
−3
Anzahl Zeitschritte: N = 40
−4
−5
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
angle α
Fig. 52
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1.4
p. 111

2
1.5
Pendulum g = 9.800000, l = 1.000000,α(0)=1.570796,p(0)=0.000000
5
4
Pendulum g = 9.800000, l = 1.000000,α(0)=1.570796,p(0)=0.000000
Numerische
Mathemtik
3
1
2
angle α
0.5
0
−0.5
velocity p
1
0
−1
−2
−1
−3
−1.5
−4
−2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 53
−5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 54
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1.4
p. 112

10
9
Energies for Stoermer−Verlet discrete evolution
Numerische
Mathemtik
8
7
6
energy
5
4
3
☞ Keine Energiedrift trotz grosser Zeitschrittweite
Perfekt periodische Orbits !
2
1
kinetic energy
potential energy
total energy
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time t
Fig. 55
Kontrast: Bsp. 1.4.17
Bemerkung 1.4.33 (Einschrittformulierung des Störmer-Verlet-Verfahrens).
✸
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Für uniforme Zeitschrittweite, vgl. (1.4.27), analog zur Umwandlung einer Dgl. 2. Ordnung→Dgl. 1.
1.4
p. 113

Ordnung, siehe (1.1.10): mitv k+
1
2
:= y k+1−y k
h
ÿ = f(y)
↕
←→
ẏ = v ,
˙v = f(y) .
↕
Numerische
Mathemtik
y k+1 −2y k +y k−1 = h 2 k f(y k) ←→
Zweischrittverfahren
v k+
1 = v k + h
2
2 f(y k) ,
y k+1 = y k +hv k+
1 ,
2
v k+1 = v k+
1 + h
2
2 f(y k+1) .
Einschrittverfahren
Startschritt (→ Bem. 1.4.29) ist implizit in der Einschrittformulierung enthalten.
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△
Bemerkung 1.4.34 (Störmer-Verlet-Verfahren als Polygonzugmethode).
1.4
p. 114

y/v
v k+ 1/2
Numerische
Mathemtik
Perspektive: Störmer-Verlet-Verfahren
als Einschrittverfahren
(siehe Bem. 1.4.33)
v k+
1 = v
2
k−
1 +hf(y k ) ,
2
y k+1 = y k +hv k+
1 .
2
v k− 1/2
v k− 3/2
y k
f
f
y k−2
y k−1
y k+1
t k−2 t k−1 t k t k+1
t
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△
1.4
p. 115

Erinnerung (Bem. 1.2.4) an die Frage
für ODEs?”
„Warum viele verschiedene numerischer Lösungsverfahren
Numerische
Mathemtik
Antwort:
Jeder numerische Integrator hat spezielle Eigenschaften
➥
besonders geeignet/ungeeignet für bestimmte Klassen von AWPe
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1.4
p. 116

Numerische
Mathemtik
2 Einschrittverfahren
2.1 Grundlagen
Gegeben: f : Ω ↦→ R d lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2) auf erweitertem Zustandsraum Ω ⊂
R×D
➣ Definiert ODE ẏ = f(t,y) (→ Sect. 1.1)
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Zugehöriger Evolutionsoperator: Φ s,t : D ↦→ D (→ Def. 1.3.7)
Gegeben: Anfangsdaten(t 0 ,y 0 ) ∈ Ω ➣ Konkretes Anfangswertproblem (1.1.13)
Ziel: ☞ Approximation vony(T) für EndzeitpunktT ∈ J(t 0 ,y 0 ).
☞
Approximation der Funktiont ↦→ y(t),t ∈ [t 0 ,T],T ∈ J(t 0 ,y 0 ) ✄ y h (t).
2.1
p. 117

Bemerkung 2.1.1 (Glattheitsannahmen an rechte Seitef).
Numerische
Mathemtik
Für die Konvergenztheorie von Einschrittverfahren:
Annahme: f „hinreichend” glatt ⇒ t ↦→ y(t) „hinreichend” glatt
Beweise werden zunächst für beliebig glattesf konzipiert.
Im Nachhinein werden minimale Glattheitsanforderungen an f für die jeweiligen Aussagen spezifiziert.
(Dies wird im diesem Kurs in der Regel übersprungen werden)
△
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2.1.1 Abstrakte Einschrittverfahren [8, Sect. 4.1]
2.1
p. 118

Numerische
Mathemtik
Baustein: Verfahrensfunktion (diskrete Evolution) Ψ : ˜Ω h ⊂ I ×I ×D ↦→ R d
✎ Notation: Ψ s,t y := Ψ(s,t;y)
Baustein: Zeitgitter G := {t 0 ,t 1 ,...,t N = T} ,t 0 < t 1 < ··· < t N .
(Terminologie: t k ˆ= Gitterpunkte, lokale (Zeit)schrittweiteh k := t k+1 −t k )
✎ Notation: globale Zeitschrittweiteh = h G = max
0≤i

Bemerkung 2.1.4 (Notation fuer Einschrittverfahren).
Numerische
Mathemtik
Oft spezifiziert man Einschrittverfahren durch Angabe des ersten Schritts
y 1 = Ausdruck iny 0 undf .
Dieser Gepflogenheit wird sich auch diese Vorlesung manchmal anschliessen.
△
Einschrittverfahren
function [T,Y] = esv(Psi,tspan,y0)
t = tspan(1); y = y0; Y = y; T = t;
while (t < tspan(2))
h = Aktuelle Zeitschrittweite
y = Psi(t,t+h,y); t = t+h;
Y = [Y,y]; T = [T,t];
end
Funktionshandle
Psi = @(t0,t1,y) ...
Beachte: Die aktuelle Zeitschrittweite
wird jeweils aus den Genauigkeitsanforderungen
und y k berechnet(→
Sect. 2.6).
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2.1
p. 120

Definition 2.1.5 (Explizite und implizite Einschrittverfahren).
Ein Einschrittverfahren zur approximativen Lösung eines AWP heisst explizit, falls die zugrundeliegende
diskrete Evolution durch endlich vielef-Auswertungen zu realisieren ist.
Numerische
Mathemtik
Die diskrete Evolution eines impliziten Einschrittverfahrens erfordert die Lösung eines Gleichungssystems.
ESV + Anfangswert + Zeitgitter erzeugt Gitterfunktion y G : G ↦→ R d ,y G (t k ) = y k
Bei „geschickter Wahl” vonΨ:
y k ≈ y(t k ) (y ˆ= exakte Lösung)
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Definition 2.1.6 (Diskretisierungsfehler).
Für gegebenesT ∈ J(t 0 ,y 0 ), seiy : [t 0 ,T] ↦→ R d Lösung des AWP (1.1.13)
y G eine Näherungslösung auf dem GitterG = {t 0 < t 1 < ··· < t N = T}.
Diskretisierungsfehler
ǫ G := max
0≤k≤N ‖y(t k)−y k ‖ .
2.1
p. 121

Hier ist ‖·‖ irgendeine Vektornorm auf dem Zustandsraum D ⊂ R d . Wegen der Äquivalenz aller
Normen auf eindlichdimensionalen Vektorräumen, gelten alle im folgenden abgeleiteten Aussagen
für beliebige Normen.
Numerische
Mathemtik
Definition 2.1.7 (Konvergenz und Konvergenzordnung). → [8, Def. 4.6]
Das ESV (2.1.3) zum AWP (1.1.13) konvergiert, falls
∀ǫ > 0: ∃δ > 0: ∀ZeitgitterG ⊂ [0,T]: h G ≤ δ ⇒
(Kurz: ǫ G → 0, fallsh G → 0)
ESV wohldefiniert,
ǫ G ≤ ǫ .
Das ESV heisst (algebraisch→Def. 1.4.5) konvergent von der Ordnungp ∈ N, falls
∃h 0 > 0, C > 0:
ESV wohldefiniert,
ǫ G ≤ Ch p G
∀ZeitgitterG, h G ≤ h 0 .
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(Kurzschreibweise mit Landau-Symbol ǫ G = O(h p ))
Erweiterung: Konvergenz für alle(t 0 ,y 0 ) ∈ Ω ➣ globale Konvergenz
2.1
p. 122

Beachte: Konvergenz gemäss Def. 2.1.7 ist ein asymptotischer Begriff (h G → 0)
Numerische
Mathemtik
Die Aussage, dass ein Verfahren mit einer gewissen Ordnung konvergiert, sagt uns in der
Regel nichts über die tatsächliche Grösse (einer Norm) des Fehlers. Solche stärkeren
Aussagen gelingen der numerischen Analysis von Einschrittverfahren in der Regel nicht.
Was nützt denn dann das Wissen über Konvergenz der Ordnungpüberhaupt ?
Wenn wir annehmen, dass die Aussage scharf ist, also ǫ G ≈ Ch p G
, dann können wir schliessen, um
welchen Faktor wir die globale Zeitschrittweite verringern müssen, um den Fehler um einen vorgegebenen
Faktor zu reduzieren.
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2.1
p. 123

2.1.2 Konsistenz [8, Sect. 4.1.1]
Numerische
Mathemtik
Kontinuierliche Evolution (→ Def. 1.3.7)
Φ s,t
←→
Diskrete Evolution
Ψ s,t
erfüllt für alle(t,y) ∈ Ω
(i)Φ t,t y = y
(ii) d ds Φt,t+s y
∣ = f(t,y)
s=0
(iii)Φ r,s Φ t,r y = Φ t,s y ∀r,s ∈ J(t,y)
Unter der Annahme, dasst ↦→ Ψ s,t y differenzierbar:
d
dt
✗
✖
(
Ψ s,t )
y
= lim
τ→0
Ψ s,t+τ y−Ψ s,t y
τ
sollte erfüllen:
(i)Ψ t,t y = y klar!
d
ds Ψt,t+s y
∣ = f(t,y) unbedingt!
s=0
(ii)
(iii)Ψ r,s Ψ t,r y = Ψ t,s y ∀r,s ∈ J(t,y) utopisch!
FallsΨ(i)–(iii) erfüllt, dann giltΨ = Φ !
(iii)
= lim
τ→0
Ψ t,t+τ (Ψ s,t y)−Ψ t,t (Ψ s,t y)
τ
✔
✕
(ii)
= f(t,Ψ s,t y) .
t ↦→ Ψ s,t löst das gleiche Anfangswertproblem für ẏ = f(t,y) wie t ↦→ Φ s,t y. Mit Satz von Picard-
Lindelöf (→ Thm. 1.3.4) folgtΨ = Φ.
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2.1
p. 124

Definition 2.1.8 (Konsistenz einer diskreten Evolution).
Diskrete EvolutionΨist konsistent mit der ODEẏ = f(t,y), falls für alle(t,y) ∈ Ω
Ψ t,t d
y = y und
ds Ψt,t+s y
∣ = f(t,y) .
s=0
Numerische
Mathemtik
✬
Lemma 2.1.9 (Darstellung konsistenter diskreter Evolutionen). → [8, Lemma 4.4]
Sei(t,y) ∈ Ω unds ↦→ Ψ t,t+s y stetig differenzierbar in Umgebung von0.
Ψ is genau dann konsistent mitẏ = f(t,y) (→ Def. 2.1.8), wenn eine auf dieser Nullumgebung
stetige Inkrementfunktionh ↦→ ψ(t,y,h) existiert mit
✫
Ψ t,t+h y = y+hψ(t,y,h) , ψ(t,y,0) = f(t,y) . (2.1.10)
✩
✪
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2011
Definition 2.1.11 (Konsistenzfehler einer diskreten Evolution). → [8, Def. 4.3]
Konsistenzfehler:
τ(t,y,h) := Φ t,t+h y−Ψ t,t+h y (h hinreichend klein);.
2.1
p. 125

✬
✩
Lemma 2.1.12 (Konsistenz und Konsistenzfehler).
Sei(t,y) ∈ Ω,s ↦→ Ψ t,t+s y stetig differenzierbar in einer Umgebung von0.Ψist genau dann
konsistent mitẏ = f(t,y) (→ Def. 2.1.8), wenn für den Konsistenzfehler gilt
Numerische
Mathemtik
‖τ(t,y,h)‖ = o(h) fürh → 0 lokal gleichmässig in(t,y) ∈ Ω .
✫
✪
✎ Notation: „Landau-o”: g(h) = o(h) :⇔ g(h)
h → 0 fürh → 0
R. Hiptmair
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2.1
p. 126

Interpretation:
D
Ψ t,t+h y
τ(t,y,h)
Numerische
Mathemtik
✓
✒
Konsistenzfehler = Einschrittfehler
✏
✑
Φ t,t+h y
— ˆ= exakte Lösung durch(y,y)
— ˆ= Näherungslösung aus diskreter Evolution
y
t
t+h
t
Definition 2.1.13 (Konsistenzordnung einer diskreten Evolution). [8, Def. 4.7]
Eine diskrete Evolution hat Konsistenzordnungp ∈ N, falls für den Konsistenzfehler lokal gleichmässig
inΩgilt
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‖τ(t,y,h)‖ = O(h p+1 ) fürh → 0 . (2.1.14)
2.1
p. 127

Dass (2.1.14) lokal gleichmässig gilt bedeutet
∀(t,y) ∈ Ω: ∃h 0 ,δ,C > 0: τ(˜t,ỹ,h) ≤ Ch p+1 ∀˜t,ỹ,h: |˜t−t| ≤ δ,‖ỹ−y‖ ≤ δ ,
0 ≤ h ≤ h 0 .
Numerische
Mathemtik
Wegen der Äquivalenz aller Normen auf dem endlichdimensionalen Raum R d ist die Wahl der Norm
in den Definitionen 2.1.11 und 2.1.13 belanglos.
Technik zur Bestimmung der Konsistenzordnung:
Taylor-Entwicklung
Beispiel 2.1.15 (Konsistenzordnung einfacher Einschrittverfahren).
Implizite Mittelpunktsregel (1.4.19): y 1 = y 0 +hf( 1 2 (t 0+t 1 ), 1 2 (y 0 +y 1 ))
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Beachte: Keine explizite Formel fürΨ! (“implicit” method)
Für die „faulen” Leute: Computeralgebra (MAPLE) !
2.1
p. 128

D(y) := x -> f(y(x));
D(y) := x ↦→ f (y(x))
y0 := y(0);
y0 := y(0)
solve(y0+h*f((y0+y1)/2)=y1,{y1});
{y1 = RootOf (−y(0)−hf (1/2y(0)+1/2 _Z) + _Z)}
assign(%);
taylor(y1-y(h),h=0,4);
(( (
series −1/6 D (2)) (f)(y(0))(f (y(0))) 2 −1/6 (D(f)(y(0))) 2 f (y(0))
((
+1/8f (y(0)) D (2)) (f)(y(0))f (y(0))+2 (D(f)(y(0))) 2)) h 3 +O
Implizite Mittelpunktsregel hat Konsistenzordnung 2 !
(
h 4) )
,h,4
✸
Numerische
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Bestimmung der formalen Konsistenzordnung eines ESV immer unter der Annahme
hinreichender(∗) Glattheit der exakten Lösung !
2.1
p. 129

(∗):
„hinreichend” ˆ= so glatt, wie für Taylorentwicklung erforderlich
Numerische
Mathemtik
Falls exakte Lösung nicht hinreichend glatt ☞ eingeschränkte Bedeutung der Konsistenzordnung
für das tatsächliche Verhalten eines Verfahrens.
In dieser Vorlesung:
(Oft) stillschweigende Annahme „hinreichender Glattheit” !
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2.1.3 Konvergenz
Betrachte wird Anfangswertproblem
ẏ = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 für ein (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω := I ×D . 1.1.13
2.1
p. 130

Annahme: rechte Seitef : Ω ↦→ R d lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2)
Numerische
Mathemtik
Thm. 1.3.4 ➣ Existenz & Eindeutigkeit von Lösungt ↦→ y(t)
Betrachte Einschrittverfahren (→ Def. 2.1.2) mit Verfahrensfunktion
Ψ : Ω h ⊂ I × I × D ↦→ R d
Ψ t,t+h y := y+hψ(t,y,h) . (2.1.17)
Inkrementfunktion
Annahme:
Lokale Abschätzung für Konsistenzfehler(→ Def. 2.1.11): für einp ∈ N
∥
∀(t,y) ∈ Ω: ∃C c > 0,δ > 0: ∥Φ t,t+h y−Ψ t,t+h y∥ ≤ C c h p+1 ∀|h| hinreichend klein ,
∀ty: |t−t| < δ, ‖y−y‖ < δ .
(2.1.18)
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Beachte: Konsistenzordnungp für diskrete EvolutionΨbzgl.ẏ = f(t,y) ⇒ (2.1.18)
2.1
p. 131

y G = (y k ) N k=0 : Gitterfunktion erzeugt durch ESV Ψ auf Zeitgitter (T > t 0 ˆ= Endzeitpunkt) )
G := {t 0 < t 1 < ··· < t N = T} ⊂ J(t 0 ,y 0 ) ,
Numerische
Mathemtik
vgl. Def. 2.1.2.
✬
✩
Theorem 2.1.19 (Kovergenztheorem für Einschrittverfahren). [8, Thm. 4.10]
Es gelte Annahme (2.1.18) und die Darstellung (2.1.17). Ist die Inkrementfunktion ψ lokal
Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2) in der Zustandsvariableny, dann
(i) liefert die Verfahrensfunktion Ψ für alle Zeitgitter G mit hinreichend kleinem h G eine
Gitterfunktiony G zum Anfangswerty 0 ,
(ii) konvergiert diese Familie {y G } G von Gitterfunktionen von der Ordnung p gegen t ↦→ y(t),
✫
siehe Def. 2.1.7
✪
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Hilfsmittel beim Beweis:
2.1
p. 132

✬
✩
Lemma 2.1.20 (Diskretes Gronwall-Lemma, siehe Lemma 1.3.29).
Erfüllt die Folge(ξ k ) k∈N0 ,ξ k ≥ 0, die Differenzenungleichung
so gilt
✫
ξ k+1 ≤ Ch p+1
k
+(1+Lh k )ξ k , k ∈ N 0 , L,C,h k ≥ 0 , (2.1.21)
ξ N ≤ C ( )1
max
k=0,...,N−1 hp k L
⎛
⎝exp ( L
N−1 ∑
k=0
⎞
)
h k −1 ⎠+exp ( N−1 ∑
L
k=0
h k
)·ξ0 , N ∈ N 0 .
✪
Numerische
Mathemtik
Beweis. (durch Induktion nachN)
Mit der Konvention, dass leere Summen verschwinden, gilt die Behauptung fürN = 0 (Induktionsbeginn)
Induktionsschluss:
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(2.1.21)
ξ N+1 ≤ Ch p+1
N +(1+Lh N)ξ N
∗
≤ Ch p+1
N +(1+Lh N)
⎛
⎝C ( N−1
max
k=0 hp k
)1
L
⎛
⎝exp ( L
N−1 ∑
k=0
⎞
)
h k −1 ⎠+exp ( N−1 ∑
L
k=0
h k
)
ξ0
⎞
⎠
2.1
p. 133

≤ C ( N max
k=0 hp k
⎛
)
⎝h N + 1 (
exp ( L
L
N∑ ) ) ⎞
h k −1−LhN ⎠+exp ( L
k=0
Das ist die Behauptung des Lemmas fürN +1.
N∑ )
h k ξ0
k=0
Numerische
Mathemtik
∗: Benutzt die Induktionsannahme, d.h., die Behauptung des Lemmas fürξ N .
Benutzt die elementare Abschätzung1+x ≤ exp(x),x ∈ R (Konvexität der Exponentialfunktion).
Beweis von Thm. 2.1.19; Verallgeminerung des Beweises der algebraischen Konvergenz des expliziten
Eulerverfahrens aus Abschnitt 1.4.1. Das vorbereitende Studium jenes Beweises wird empfohlen.
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➀ Kompakte Umgebung der Lösungstrajektoriet ↦→ y(t) zum Anfangswerty 0 :
K δ := {(t,y) ∈ I ×R d : t 0 ≤ t ≤ T, ‖y−y(t)‖ ≤ δ} , δ > 0 .
Für hinreichend kleinesδ > 0:
K δ ⊂ Ω
Infolge der lokalen Lipschitz-Bedingung anψ und der lokalen Konsistenzfehlerabschätzung (2.1.18)
2.1
p. 134

➁ Annahme A1:(y k ) N k=0 existiert undy k ∈ K δ ⊂ Ω für einδ > 0. Diese Annahme wird a posteriori
(durch Induktion nachN) für hinreichend kleinesh G besätigt.
Numerische
Mathemtik
➂ Beachtey k+1 = Ψ t k,t k+1 y k ➣ Rekursion für Fehler e k := y(t k )−y k
(
e k+1 = y(t k+1 )−Ψ t )
k,t k+1 y(t k ) +
(Ψ t k,t k+1 y(t k )−Ψ t )
k,t k+1 y k
} {{ } } {{ }
Einschrittfehler
propagierter Fehler
(2.1.17)
= τ(t k ,y(t k ),h k )+e k +h k (ψ(t k ,y(t k ),h k )−ψ(t k ,y k ,h k )) ,
wobei die Def. 2.1.11 des Konsistenzfehlersτ benutzt worden ist.
➃ Kompaktheitsargumente:
(2.1.22)
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Konsequenz der lokalen Konsistenzfehlerabschätzung (2.1.18): für|h| hinreichend klein
∥ ∥
∃C > 0:
∥Φ t,t+h y−Ψ t,t+h y∥ ≤ C c h p+1 ∀(t,y),(t+h,y) ∈ K δ . (2.1.23)
Konsequenz der lokalen Lipschitz-Stetigkeit (→ Def. 1.3.2) der Inkrementfunktion ψ: für |h|
hinreichend klein
∃L > 0: ‖ψ(t,z,h)−ψ(t,w,h)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀(t,z),(t,w) ∈ K δ . (2.1.24)
2.1
p. 135

➄ (2.1.22) &△-Ungleichung
⇒ Rekursion für Fehlernorm:
‖e k+1 ‖ ≤ ‖e k ‖+‖τ(t k ,y(t k ),h k )‖+h k ‖ψ(t k ,y(t k ),h k )−ψ(t k ,y k ,h k )‖
(2.1.24)
≤ ‖e k ‖+‖τ(t k ,y(t k ),h k )‖+h k L‖y(t k )−y k ‖
(2.1.23)
≤ Ch p+1
k
+(1+Lh k )‖e k ‖ .
Anwendung des diskreten Gronwall-Lemmas mitξ k := ‖e k ‖,ξ 0 = 0:
Lemma 2.1.20 ⇒ ‖e k ‖ ≤ Ch p exp(L(T −t 0 ))−1
G
.
L
➅ Die Abschätzung zeigt, dass y k −y(t k ) → 0 für h G → 0. Damit kann durch Induktion bewiesen
werden
∀δ > 0: ∃h ∗ = h ∗ (δ) > 0: h G < h ∗ ⇒ (t k ,y k ) ∈ K δ ∀k .
Damit ist Annahme A1 gerechtfertigt.
✷
Numerische
Mathemtik
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Beachte: Der Beweis benutzt nur den Konsistenzfehler entlang der Lösungstrajektorieτ(t,y(t),h).
Man kann also die Voraussetzung der Konsistenzordung p (→ Def. 2.1.13) schwächer
formulieren als
‖τ(t,y(t),h)‖ ≤ C c h p+1 ∀t ∈ [t 0 ,T] , fürh hinreichend klein.
2.1
p. 136

Merkregel:
(Nur) für Einschrittverfahren:
Numerische
Mathemtik
✓
✒
Konsistenzordnungp =⇒ Konvergenzordnungp
✏
✑
Aus dem diskreten Gronwall-Lemma ergibt sich, dass die Konstante in der asymptotischen Fehlerabschätzung
von Thm. 2.1.19 exponentiell von T − t 0 abhängt. Dies macht die Abschätzung des
Theorems u.U. wertlos für Langzeitintegration, vgl. Lemma 4.4.82.
2.1.4 Das Äquivalenzprinzip (Dahlquist, Lax)
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2.1
p. 137

Ziel: Abstraktion des Beweises von Thm. 2.1.19
Numerische
Mathemtik
Betrachte: Äquidistante Zeitgitter G = {t k } N k=0 ,t k := t 0 +hk,h := (T −t 0 )/N,N ∈ N
diskrete EvolutionΨ
Gitterfunktiony G = (y k ) N k=0
←→
(kontinuierliche) EvolutionΦ
Lösungt ↦→ y(t)
(Annahme:
G ⊂ J(t 0 ,y 0 ),y G wohldefiniert)
D
y(t)
Konsistenzfehler, vgl. Def. 2.1.11:
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Ψ
y k+1 y k+2
Ψ
y k
Ψ
y k−1
t k−1 t k t k+1 t k+2
t
τ(t,y,h) := (Φ t,t+h y−Ψ t,t+h y) .
Fehlerfunktion: e k := y(t k )−y k .
✁ — ˆ=t ↦→ y(t)
• ˆ=y(t k )
• ˆ=y k
−→ ˆ=Ψ t k,t k+1
2.1
p. 138

Fehlerrekursion
e k = y(t k )−y k
= y(t k )−Ψ t k−1,t k (y(t k−1 )−e k−1 )
= Ψ t k−1,t k (y(t k−1 ))−Ψ t k−1,t k (y(t k−1 )−e k−1 )
} {{ }
fortgepflanzter Fehler
+ y(t k )−Ψ t k−1,t k (y(t k−1 ))
} {{ }
Einschrittfehler = Konsistenzfehler
e k−1
y k−1
y k
e k
Ψ t k−1,t k
(y(t k−1 )
y(t k )
y(t k−1 )
Fig. 56
t k−1 t k
Numerische
Mathemtik
Alternative Fehlerrekursion
e k = y(t k )−y k = Φ t k−1,t k y(t k−1 )−Ψ t k−1,t k (y k−1 )
= Φ t k−1,t k (y k−1 +e k−1 )−Φ t k−1,t k (y k−1 )
} {{ }
fortgepflanzter Fehler
+Φ t k−1,t k (y k−1 )−Ψ t k−1,t k (y k−1 )
} {{ }
Einschrittfehler = Konsistenzfehler
1. Fehlerrekursion: Abschätzung des Konsistenzfehlers in einer Umgebung der exakten Lösung ausreichend
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2. Fehlerrekursion: Konsistenzfehler abzuschätzen in einer Umgebung der Lösung des ESV
Konzept: Stabilität einer diskreten Evolution ←→ Kontrolle der Fehlerfortpflanzung
2.1
p. 139

Definition 2.1.25 (Nichtlineare Stabilität).
Eine diskrete EvolutionΨist (nichtlinear) stabil
∥
:⇔ ∃c > 0:
∥Ψ t,t+h y−Ψ t,t+h z∥ ≤ (1+ch)‖y−z‖
Numerische
Mathemtik
lokal gleichmässig in(t,y) für hinreichend kleine‖y−z‖,h > 0.
Für ESV (2.1.17): Lokale Lipschitz-Stetigkeit vonψ ➣ nichtlineare Stabilität
✬
Theorem 2.1.26 ( Konsistenz & (nichtlineare) Stabilität ⇒ Konvergenz ).
FallsΨkonsistent mitΦ(von Ordnungp) und (nichtlinear) stabil, so konvergiert das Einschrittverfahren
global (von Ordnungp).
✫
✩
R. Hiptmair
✪
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2.1.5 Reversibilität
2.1
p. 140

Wir haben gesehen: Eine approximative diskrete Evolution Ψ (→ Sect. 2.1.1) kann im Allgemeinen
nicht erfüllen:Ψ r,s Ψ t,r = Ψ t,s
Numerische
Mathemtik
Jedoch: fürs = t ist diese Forderung realisierbar !
Definition 2.1.27 (Reversible diskrete Evolutionen). → [8, Def. 4.40]
Eine diskrete Evolution Ψ : ˜Ω h ⊂ I ×I ×D ↦→ R d (und das zugehörige Einschrittverfahren)
heisst reversibel, falls
Ψ t,s Ψ s,t y = y ∀(t,y) ∈ Ω , ∀|t−s| hinreichend klein .
R. Hiptmair
Beispiel 2.1.28 (Einfache reversible Einschrittverfahren).
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implizite Mittelpunktsregel (1.4.19)
Ψ t,t+h y = y+hf(t+
2 1h, 1 2 (y+Ψt,t+h y))
⇓
y = Ψ t,t+h y−hf(t+h− 1 2 h, 2 1(y+Ψt,t+h y) .
Unter der Annahme der Eindeutigen Auflösbarkeit der Definitionsgleichung (1.4.19) nachy k+1 :
⇒ y = Ψ t+h,t Ψ t,t+h y .
2.1
p. 141

Störmer-Verlet-Verfahren (→ Sect. 1.4.4) in Einschrittformulierung von Bem. 1.4.33
Numerische
Mathemtik
v k+
1
2
= v k + h 2 f(y k) ,
y k+1 = y k +hv k+
1
2
,
v k+1 = v k+
1
2
+ h 2 f(y k+1) .
⇒
v k+
1
2
= v k+1 − h 2 f(y k+1) ,
y k = y k+1 −hv k+
1
2
,
v k = v k+
1
2
− h 2 f(y k) .
Man erkennt Reversibilität an der Verfahrensvorschrift, wenn der Austausch y k ↔ y k+1 und h ↔
−h Gleichungen liefert, die mit der ursprünglichen Verfahrensvorschrift identisch sind.
✸
R. Hiptmair
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25. April
2011
✬
Theorem 2.1.29 (Konsistenzordnung reversibler ESV). → [8, Satz 4.42]
Die maximale Konsistenzordnung (→ Def. 2.1.13) eines reversiblen Einschrittverfahrens (→
Def. 2.1.27) ist gerade.
✫
✩
✪
2.1
p. 142

Der Beweis verwendet folgendes Hilfsresultat ([8, Lemma 4.38]):
✬
✩
Numerische
Mathemtik
Lemma 2.1.30 (Störungslemma für diskrete Evolutionen).
Seif zweimal stetig differenzierbar undΨeine zur ODEẏ = f(t,y) konsistente (→ Def. 2.1.8)
diskrete Evolution, stetig differenzierbar in h und y. Dann gilt für (t,y) ∈ Ω und hinreichend
kleinez ∈ R d
Ψ t,t+h (y+z) = Ψ t,t+h y+z+h ∂f
∂y (t,y)z+r(h,z) , ‖r(h,z)‖ ≤ C(h2 ‖z‖+h‖z‖ 2 ) ,
mitC > 0 unabhängig vonhundz.
✫
✪
R. Hiptmair
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25. April
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☞
Thm. 2.1.29 erklärt in Bsp. 1.4.21 beoachtete O(h 2 )-Kovergenz der impliziten Mittelpunktsregel.
2.2
p. 143

2.2 Kollokationsverfahren[8, Sect. 6.3], [16, Sect. II.1.2]
Numerische
Mathemtik
2.2.1 Konstruktion
Zunächst: Fokus auf ersten (↔ allgemeinem) Schritt
(dies genügt bei Einschrittverfahren→Def. 2.1.2)
✗
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Idee: ➊ Approximierey(t),t ∈ [t 0 ,t 1 ], ins+1-dimensionalem AnsatzraumV von 25. April
Funktionen[t 0 ,t 1 ] ↦→ R d 2011
✄ y h .
➋ Festlegung vony h ∈ V durch Kollokationsbedingungen
y h (t 0 ) = y 0 , ẏ h (τ j ) = f(τ j ,y h (τ j )) , j = 1,...,s , (2.2.1)
für Kollokationspunktet 0 ≤ τ 1 < ... < τ s ≤ t 1 .
✔
2.2
„Standardoption”: Polynomialer Ansatzraum V = P s
✖
✕
p. 144

✎ Notation: P s ˆ= Raum der univariaten Polynome vom Grad≤ s,s ∈ N 0
Bekannt: dimP s = s+1
Numerische
Mathemtik
➣
Ein Polynomp ∈ P s ist durchs+1 Interpolationsbedingungen für Werte/Ableitungen eindeutig
festgelegt.
➣ Kollokationsbedingungen (2.2.1) legen Polynomgrads nahe (im Sinne von Existenz/Eindeutigkeit
vony h )
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Herleitung: Formel für y h (t 1 ) (h := t 1 −t 0 ,τ j := t 0 +c j h,0 ≤ c 1 < c 2 < ... < c s ≤ 1)
Hilfsmittel:{L j } s j=1 ⊂ P s−1 ˆ= Lagrange-Polynome zu Sützstellenc i ,i = 1,...,s, in[0,1]:
L i (τ) =
s∏
j=1,j≠i
τ −c j
c i −c j
, i = 1,...,s ⇒ L j (c i ) = δ ij , i,j = 1,...,s . (2.2.2)
2.2
p. 145

Numerische
Mathemtik
s∑
(2.2.1) ⇒ ẏ h (t 0 +τh) = k j L j (τ) , k j := f(t 0 +c j h,y h (t 0 +c j h)) .
j=1
⇒ y h (t 0 +τh) = y 0 +h
s∑
∫ τ
k j L j (ζ)dζ .
j=1
0
Definierende Gleichungen des Kollokations-Einschrittverfahrens
(zu Kollokationspunkten0 ≤ c 1 < c 2 < ··· < c s ≤ 1):
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s∑
y h (t 1 ) = y 0 +h b i k i ,
i=1
k i = f(t 0 +c i h,y 0 +h
s∑
a ij k j ) .
j=1
mit
a ij =
b i =
∫ ci
∫
0
1
0
L j (τ)dτ ,
L i (τ)dτ .
(2.2.3)
Diskrete Evolution Ψ t 0,t 1 : Ω ↦→ Ω , Ψ t 0,t 1 y 0 := y 1 := y h (t 1 )
2.2
p. 146

➤ (2.2.3) ˆ= (Nichtlineares) Gleichungssystem für Inkremente k i (≈ ẏ(t 0 +c i h))
Numerische
Mathemtik
✄ (Generische) Kollokationsverfahren = implizites Einschrittverfahren (→ Def. 2.1.2)
Kollokations-Einschrittverfahren in der Form von Lemma 2.1.9:
Ψ t 0,t 0 +h y0 = y 0 +hψ(t 0 ,y 0 ,h) mit Inkrementfunktion ψ(t 0 ,y 0 ,h) =
s∑
b i k i . (2.2.4)
i=1
R. Hiptmair
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Bemerkung 2.2.5 (Umformulierung der Inkrementgleichungen (2.2.3)).
Äquivalente Form der Inkrementgleichungen (2.2.3):
s∑
Ersetze Inkrementek i durch g i := y 0 +h a ij k j , i = 1,...,s ⇔ k i = f(t 0 +c i h,g i ).
j=1
2.2
p. 147

(2.2.3) ⇔
s∑
g i = y 0 +h a ij f(t 0 +c i h,g j )
y 1 = y 0 +h
j=1
s∑
b i f(t 0 +c i h,g i ) .
i=1
(2.2.6)
Numerische
Mathemtik
△
✬
Lemma 2.2.7 (Lösbarkeit der Inkrementgleichungen).
Ist f lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2) auf dem erweiterten Zustandsraum Ω, so gibt es zu
jedem(t 0 ,y 0 ) ∈ Ω einh 0 > 0 so, dass (2.2.3) für jedesh < h 0 eindeutig nach den Inkrementen
k i auflösbar ist, und diese sind stetige Funktionen inh.
Ist f ∈ C m (Ω,R d ), m ∈ N, dann sind auch die Inkremente m-fach stetig differenzierbare
Funktionen vony 0 ,t 0 ,h.
✫
✩
✪
R. Hiptmair
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2011
2.2
p. 148

„Beweis” (von Lemma 2.2.7, unter stärkeren Glattheitsvoraussetzungen, hier nur ausgeführt für
autonomen Fallẏ = f(y))
Numerische
Mathemtik
Annahme:
f ist stetig differenzierbar aufΩ
⎛
∑
f(y 0 +h s
s∑
k i = f(y 0 +h a ij k j ) ⇔ G(h,k) = 0 , G(h,k) := k−
.
⎜
j=1
⎝ ∑
f(y 0 +h s
j=1
j=1
⎞
a 1j k j )
⎟
a sj k j )
⎠
,
mit k = (k 1 ,...,k s ) T ∈ R s·d .
Idee: Anwendung des Satzes über implizite Funktionen aufG : R×D ↦→ D
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✬
Theorem 2.2.8 (Satz über implizite Funktionen).
→ Analysis-Vorlesung
SeienI ⊂ R q ,U ⊂ R n offen undG = G(ξ,y) : I ×U ↦→ R n sei stetig differenzierbar. Für ein
(ξ 0 ,y 0 ) ∈ I ×U gelteG(ξ,y) = 0.
Ist die Jacobi-Matrix ∂G
∂y (ξ 0,y 0 ) invertierbar, dann gibt es eine Umgebung V ⊂ I von ξ 0 und
eine eindeutige stetig differenzierbare Funktionξ ↦→ z(ξ) so, dass
✩
2.2
p. 149

k 0 := (f(y 0 ),...,f(y 0 )) T erfüllt G(0,k 0 ) = 0
Numerische
Mathemtik
Ableitung (ˆ= Jacobi-Matrix) vonGin(0,k 0 ) (aus Kettenregel)
D k G(0,k 0 ) = I
ist die Einheitsmatrix und damit offensichtlich invertierbar.
✷
Ein alternativer, technisch aufwändigerer, Beweis erfordert blosse lokale Lipschitz-Stetigkeit von f
und gibt zusätzliche Schrittweitenschranke für die Existenz einer Lösung der Inkrementgleichungen:
Hilfsmittel bei alternativem Beweis (→ Analysis-Vorlesung):
✬
✩
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Theorem 2.2.9 (Banachscher Fixpunktsatz, parameterabhängige Version).
V ⊂ R d abgeschlossen,U ⊂ R n offen,F : U ×V ↦→ V sei totalm-mal stetig differenzierbar,
m ∈ N 0 , und besitze die gleichmässige Kontraktionseigenschaft
∃0 ≤ q < 1: ‖F(u,z)−F(u,w)‖ ≤ q‖z−w‖ ∀z,w ∈ V, ∀u ∈ U .
Dann gibt es einem-mal stetig differenzierbare FunktionG : U ↦→ V so dass
2.2
p. 150

✎ Übliche Notation für Koeffizientenmatrix A := ( a ij
) s
i,j=1 ∈ Rs,s
Numerische
Mathemtik
✎ Zeilensummennorm ‖A‖ ∞ := max
i=1,...,s
s∑
j=1
Beweis. (von Lemma 2.2.7 für autonomen Fallẏ = f(y))
|a ij | (ˆ= Matrixnorm zur Maximumnorm)
Vorbereitung: Wie im Beweis von Thm. 2.1.19 betrachten wir f wieder auf einer kompakten Umgebung
K δ der L¨soungskurve t ↦→ y(t) im erweiterten Phasenraum Ω. Daher (zunächst) ohne
Beschränkung der Allgemeinheit die Annahme:
f global Lipschitz-stetig, vgl. Def. 1.3.2:
R. Hiptmair
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∃L > 0: ‖f(z)−f(w)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀z,w ∈ D . (2.2.10)
Wir nehmen auch an, dass sich einer-Umgebung vony 0 inD befindet:
∃r > 0: ‖z−y 0 ‖ ≤ r ⇒ z ∈ D .
Idee: Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes Thm. 2.2.9 auf die (äquivalenten) Inkrementgleichungen
(2.2.6) für dieg i : mit g := (g 1 ,...,g s ) ∈ R s·d
2.2
p. 151

Auf R s·d verwende Norm
⎛
∑
y 0 +h s (2.2.6) ⇔ g = F(h,g) , F(h,g) :=
.
⎜
⎝ ∑
y 0 +h s
‖g‖ := max
i=1,...,s ‖g i‖.
j=1
j=1
⎞
a 1j f(g j )
⎟
a sj f(g j )
⎠
. (2.2.11)
Numerische
Mathemtik
Zu zeigen: für hinreichend kleineshbleiben alleg i in der abgeschlossenenr-Umgebung vony 0 : mit
y 0 = (y 0 ,...,y 0 )
‖F(h,g)−y 0 ‖ = max
i=1,...,s |h| ∥ ∥∥∥∥∥ s∑
j=1
⇒
Zu zeigen:
{
|h| <
(2.2.10)
a ij f(g j )
∥ ≤ |h|‖A‖ ∞ max
j=1,...,s
∥
∥f(y 0 )+f(g j )−f(y 0 ) ∥ ∥
≤ |h|‖A‖ ∞ (‖f(y 0 )‖+L‖g−y 0 ‖) .
}
r
⇒ ‖F(h,g)−y
‖A‖ ∞ (‖f(y 0 )‖+Lr) 0 ‖ ≤ r , if ‖g−y 0 ‖ ≤ r
g ↦→ F(h,g) isth-gleichmässige Kontraktion
s∑
‖F(h,g)−F(h,p)‖ ≤ |h|· max
i=1,...,s
a ij (f(g j )−f(p j ))
∥ ∥
j=1
.
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2.2
p. 152

∥
≤ |h|·‖A‖ ∞ max ∥f(g j )−f(p j ) ∥ j=1,...,s
≤ |h|L·‖A‖ ∞ ‖g−p‖ ,
Numerische
Mathemtik
wobei im letzten Schritt die globale Lipschitz-Bedingung fürf benutzt wurde.
|h| <
Wähle h 0 =
1
L‖A‖ ∞
⇒ g ↦→ F(h,g) isth-gleichmässige Kontraktion.
r
‖A‖ ∞ (‖f(y 0 )‖+Lr)
Damit erfüllt F mit U =]−h 0 ,h 0 [ und V = {g: ‖g−y 0 ‖ ≤ r} die Voraussetzungen des Banachschen
Fixpunktsatzes Thm. 2.2.9.
⇒
{
f ∈ C m (D) ⇒ ∃g :]−h 0 ,h 0 [↦→ R d·s }
: F(h,g(h)) = g(h)
Wegen der Äquivalenz (2.2.11) is damit der Beweis abgeschlossen.
.
✷
R. Hiptmair
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25. April
2011
Bemerkung 2.2.12 (Schrittweitenbeschränkung aus Lemma 2.2.7).
Aus dem Beweis von Lemma 2.2.7 mit Hilfe des Fixpunktarguments, Thm 2.2.9: Lösbarkeit der Inkre-
2.2
p. 153

mentgleichungen nur garantiert, wenn
|h| ≤
1
L‖A‖ ∞
,
wobeiL > 0 eine (lokale) Lipschitz-Konstante (→ Def. 1.3.2) für den Quelltermf ist.
Numerische
Mathemtik
Dies ist eine Schrittweitenbeschränkung analog der Schrittweitenbeschränkung für das explizite
Euler-Verfahren in der Nähe stark attraktiver Fixpunkte, vgl. Bsp. 1.4.9.
△
Es bleibt noch die Verifikation einer Voraussetzung von Thm. 2.1.19:
✬
✩
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2011
Lemma 2.2.13 (Lipschitz-Stetigkeit der Inkrementfuntion).
Unter den Voraussetzungen von Lemma 2.2.7 existiert zu jedem (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω ein h 0 > 0 so,
dassψ aus (2.2.4) lokal Lipschitz-stetig im Zustandsargument ist.
✫
✪
2.2
p. 154

Beweis auf der Grundlage des Satzes über implizite Funktionen, Thm. 2.2.8, unter Annahme von
hinreichender Glattheit vonf:
Wie im ersten Beweis zu Lemma 2.2.7 Umformulierung der Inkrementgleichungen als parameterabhängiges
Nullstellenproblem:
⎛
∑
f(y 0 +h s
s∑
k i = f(y 0 +h a ij k j ) ⇔ G(h,y 0 ,k) = 0 , G(h,y 0 ,k) := k−
.
⎜
⎝ ∑
f(y 0 +h s
j=1
Wir haben
G ist stetig differenzierbar in allen Argumenten, fallf hinreichend glatt.
G(0,y 0 ,k) = 0 für k = (f(y 0 ),...,f(y 0 )) ∈ R s·d
j=1
j=1
⎞
a 1j k j )
,
⎟
a sj k j )
⎠
Numerische
Mathemtik
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D k G(0,y 0 ,k) = I für beliebigesk ∈ R s·d ,y 0 ∈ D.
Nach dem Satz über implizite Funktionen gibt es also eine lokal stetig differenzierbare Lösungskurve
k = k(y,h), definiert in einer Umgebung von(0,y 0 ). Daher folgt die Behauptung aus einem Analogon
von Lemma 1.3.3.
✷
2.2
p. 155

Beweis von Lemma 2.2.13 mit Fixpunktargument, ohne Glattheitsanforderungen an f (für
autonome ODE):
Numerische
Mathemtik
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird f als global Lipschitz-stetig angenommen, vgl. Beweis
zu Lemma 2.2.7:
∃L > 0: ‖f(z)−f(w)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀z,w ∈ D . (2.2.14)
Mitg i aus den äquivalenten Inkrementgleichungen (2.2.6):
Inkrementfunktion:
s∑
s∑
ψ(t,y,h) = y+h b i f(g j ) , g i = y+h a ij f(g j ) . (2.2.15)
j=1
j=1
Wähle y,z ∈ D und definiere (für hinreichend kleines h, siehe Lemma 2.2.7) g y i ,gz i
∈ R d als
Lösungen von
g y s∑
i = y+ a ij f(g y j ) ,
j=1
, i = 1,...,s .
s∑
gi z = z+ a ij f(gj z ) .
j=1
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2011
2.2
p. 156

Mit g y := (g y 1 ,...,gy s), g z := (g z 1 ,...,gs s):
‖g y −g z ‖ ≤ ‖y−z‖+h max
i=1,...,s
(2.2.14)
s∑ (∥ ∥ ∥ ) ∥∥f(g y ∥∥− ∥∥f(g
|a ij |
j ) z j ) ∥
j=1
≤ ‖y−z‖+hL·‖A‖ ∞ ‖g y −g z ‖ .
h‖A‖ ∞ L < 1 ⇒ ‖g y −g z 1
‖ ≤
1−h‖A‖ ∞ L ‖y−z‖ .
vgl. die Schrittweitenschranke aus Bem. 2.2.12
Numerische
Mathemtik
Aus dieser Abschätzung und wieder mit (2.2.14) folgt (fallsh‖A‖ ∞ L < 1)
‖ψ(t,y,h)−ψ(t,z,h)‖ ≤ h
s∑
|b i | ∥ ∥f(g y i )−f(gz i )∥ ∥ ≤
i=1
Day,zbeliebig, folgt die Behauptung.
L
s∑
1−Lh‖A‖ ∞
i=1
|b i |·‖y−z‖ .
(2.2.16)
✷
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2011
Beispiel 2.2.17 (Konvergenz von einfachen Kollokations-Einschrittverfahren).
Skalare logistische Differentialgleichung (1.2.2),λ = 10,y(0) = 0.01,T = 1
Kollokations-Einschrittverfahren (2.2.3) fürs = 1,...,4, uniforme Zeitschrittweiteh
2.2
p. 157

Äquidistante Kollokationspunkte:
s = 1 : c = ( 1 2 ) ,
s = 2 : c = ( 1 3 , 2 3 )T ,
s = 3 : c = ( 1 4 , 1 2 , 3 4 )T ;,
s = 4 : c = ( 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 )T .
Numerische Konvergenzraten :
(berechnet durch lineare Regression)
max k
|y h
(t k
)−y(t) k
)|
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
h
s = 1 : p = 1.96
10 −8
s=1
s=2
s = 2 : p = 2.03
s=3
s = 3 : p = 4.00
s=4
10 −10
10
s = 4 : p = 4.04 −2 10 −1 10 0
Fig. 57
Numerische
Mathemtik
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2011
2.2
p. 158

Verschobene äquidistante Kollokationspunkte:
s = 1 : c = (0) ,
s = 2 : c = (0, 1 2 )T ,
s = 3 : c = (0, 1 3 , 2 3 )T ;,
s = 4 : c = (0, 1 4 , 1 2 , 3 4 )T .
Numerische Konvergenzraten :
(berechnet durch lineare Regression)
max k
|y h
(t k
)−y(t) k
)|
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
h
s = 1 : p = 0.95
10 −8
s=1
s = 2 : p = 1.77
s=2
s=3
s = 3 : p = 2.95
s=4
10 −10
s = 4 : p = 3.92
10 −2 10 −1 10 0
Beobachtung bei symmetrisch gelegenen äquidistanten Kollokationspunkten:
Algebraische Konvergenz der Ordnung
Erklärung → Sect. 2.2.3 & Thm. 2.1.29
{
p = s+1 , fallssungerade ,
p = s
, fallssgerade.
Fig. 58
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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2011
✸
2.2
p. 159

Bemerkung 2.2.18 (Kollokationsverfahren und numerische Quadratur).
f(t,y) = f(t) &y 0 = 0 ➤
Numerische Quadratur (→ Vorlesung „Numerische Methoden”)
Numerische
Mathemtik
➞
y(t 1 ) =
∫ t 1
t 0
f(t)dt ≈ h ∑ s
i=1 b jf(t 0 +c j h) = Quadraturformel
c 1 ,...,c s ↔ Knoten (engl. nodes) einer Quadraturformel (z.B. Gauss-Punkte auf[0,1]
b 1 ,...,b s ↔ Gewichte (engl. weights) einer Quadraturformel
△
R. Hiptmair
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Aus Zusammenhang zwischen Kollokationsverfahren und numerische Quadratur
✗
➣ Wahl der Kollokationspunktec i als Knoten bewährter Quadraturformeln auf[0,1]
✖
Die folgenden Beispiele zeigen, dass sich sinnvolle Verfahren ergeben:
✔
✕
2.2
p. 160

• Falls = 1 &
c 1 = 1/2 (↔ einfachste Gauss-Legendre-Quadraturformel)
L 1 ≡ 1 ⇒ a 11 = 1/2 , b 1 = 1 .
k 1 = f(t 0 + 1/2h,y 0 + 1/2hk 1 ) , y h (t 1 ) = y 0 +hk 1 . (2.2.19)
Numerische
Mathemtik
(2.2.19) = Implizite Mittelpunktsregel (1.4.19)
• Falls = 1 &
c 1 = 0 (↔ linksseitige Ein-Punkt-Quadraturformel)
L 1 ≡ 1 ⇒ a 11 = 0 , b 1 = 1 .
k 1 = f(t 0 ,y 0 ) , y h (t 1 ) = y 0 +hk 1 = y 0 +hf(t 0 ,y 0 ) .
(2.2.1) = Explizites Eulerverfahren (1.4.2) (kein Lösen einer Gleichung erforderlich !)
• Falls = 1 &
c 1 = 1 (↔ rechtsseitige Ein-Punkt-Quadraturformel)
R. Hiptmair
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L 1 ≡ 1 ⇒ a 11 = 1 , b 1 = 1 .
k 1 = f(t 1 ,y 0 +hk 1 ) , y h (t 1 ) = y 0 +hk 1 = y 0 +hf(t 1 ,y h (t 1 )) .
(2.2.1) = Implizites Eulerverfahren
Erinnerung: „Optimale Quadraturverfahren”: Gaussquadratur
(→ Vorlesung „Numerische Methoden”[9, Sect. 9.3])
2.2
p. 161

△
Numerische
Mathemtik
2.2.2 Abstrakte Projektionsverfahren
Ziel dieses Abschnitts ist es, die Kollokationsverfahren in eine grössere Klasse von Einschrittverfahren
einzuordnen, die eine elegante abstrakte Konvergenztheorie zulässt.
R. Hiptmair
Bemerkung 2.2.21 (Kollokationsverfahren als Projektionsverfahren).
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P s : C 0 2011
([t 0 ,t 1 ]) ↦→ P s−1 ˆ= Polynominterpolationsoperator zu Knotenτ 1 ≤ ··· ≤ τ s
(vgl. Sect. 2.2.1, „Kollokationspunkte”)
Damit lassen sich die Kollokationsbedingungen kompakt umformulieren:
(
)
⇒ (2.2.1) ⇔ ẏ h = P s f(·,y h (·)) , y h (t 0 ) = y 0 .
Beachte: Projektoreigenschaft P 2 2.2
s = P s
p. 163

△
Numerische
Mathemtik
Bekannt aus der linearen Algebra:
Definition 2.2.22 (Projektionsoperator).
Seien X ein Vektorraum. Eine lineare Abbildung P : X ↦→ X ist ein Projektionsoperator, falls
P 2 = P.
Bekannt aus der Analysis:
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Definition 2.2.23 (Stetiger linearer Operator).
SeienX,Y normierte Vektorräume. Ein linearer OperatorT : X ↦→ Y heisst stetig/beschränkt,
falls
‖Tx‖
‖T‖ := sup Y
< ∞ .
x∈X\{0} ‖x‖ X
‖T‖ heisst die Norm des stetigen OperatorsT.
2.2
p. 164

Betrachte: ODE ẏ = f(t,y), f : I ×D ↦→ R d lokale Lipschitz-stetig, siehe Sect. 1.1
Zugehörige AWPe ẏ = f(t,y), y(t 0 ) = y 0 , auf[t 0 ,T] ∈ J(t 0 ,y 0 )
Numerische
Mathemtik
Verallgemeinerung
von Kollokations-ESV
: Projektions-Einschrittverfahren
Ψ t,t+h zu ODE
diskrete Evolution des ESV
ẏ = f(t,y)
✬
Ψ t,t+h y 0 definiert durch
endlichdimensionalen Ansatzraum
✩
R. Hiptmair
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2011
V ⊂ (C 1 ([t,t+h])) d ➥ W := { d v:v ∈ V}
dt
stetigen Projektionsoperator
P : (C 0 ([t,t+h])) d ↦→ W
✫
Ψ t,t+h ẏ h = P(f(·,y h (·))) ,
y 0 := y h (t+h) mit y h ∈ V ∧
y h (t) = y 0 ∈ D .
interpretiert als Funktion∈ (C 0 ([t,t+h])) d
(2.2.24)
✪
2.2
p. 165

Bemerkung 2.2.25 (Fixpunktform von Projektions-Einschrittverfahren).
Numerische
Mathemtik
Verallgemeinerung: (2.2.24) −→ Fixpunktgleichung,
∫ τ
(2.2.24) ⇒ y h (τ) = y 0 +
t
P(f(·,y h (·)))(ξ)dξ , t ≤ τ ≤ t+h . (2.2.26)
! geringere Glattheitsanforderungen anV: (2.2.26) sinnvoll füry h ∈ (C 0 ([t,t+h])) d .
△
✬
Lemma 2.2.27 (Wohldefiniertheit der diskreten Evolution für Projektions-Einschrittverfahren).
Erfülltf eine lokale Lipschitz-Bedingung (→ Def. 1.3.2), dann istΨ t,t+h y 0 für hinreichend kleineshwohldefiniert.
✫
R. Hiptmair
✩
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✪
✎ Notation: Maximumnorm ‖y(·)‖ ∞,I := max
τ∈I ‖y(τ)‖,
speziell im Folgenden: ‖y(·)‖ ∞ := max ‖y(τ)‖
t≤τ≤t+h
2.2
p. 166

Beweis.
(Analog zum Beweis von Lemma 2.2.7, Kontraktionsargument)
Wir müssen die eindeutige Lösbarkeit der Definitionsgleichung (2.2.24) für die Funktiony h zeigen.
Numerische
Mathemtik
Technik: Banachscher Fixpunktsatz Thm. 2.2.9 angwandt auf Fixpunktgleichung (2.2.26), vgl. Beweis
von Thm. 1.3.4.
y h (τ) = F(y h ) , F(y h )(τ) := y 0 +
∫ τ
t
P(f(·,y h (·)))(ξ)dξ , t ≤ τ ≤ t+h . (2.2.28)
Beachte: Abbildungseigenschaft F : (C 0 ([t,t+h])) d ↦→ (C 0 ([t,t+h])) d
Erinnerung an Analysis: ➣ (C 0 ([t,t+h]),‖·‖ ∞ ) ist Banachraum !
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Lokale Lipschitz-Bedingung & Kompaktheitsargument, vgl. Beweis von Thm. 2.1.19
∃L > 0: ‖f(τ,z)−f(τ,w)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀t ≤ τ ≤ t+h , ∀z,w ∈ K ⊂ D , (2.2.29)
2.2
p. 167

mit KompaktumK ⊂ D, für das (rückblickend) angenommen werden kann, dassy h (τ) ∈ K für alle
t ≤ τ ≤ t+h. Dann für alley,z ∈ (C 0 ([t,t+h])) d ,y(τ),z(τ) ∈ K ∀t ≤ τ ≤ t+h,
Numerische
Mathemtik
‖F(y(·))−F(z(·))‖ ∞ ≤ h‖P(f(·.,y(·))−f(·,z(·)))‖ ∞
(2.2.29)
≤ h‖P‖L‖y(·)−z(·)‖ .
|h| < 1
‖P‖L
⇒ F ist Kontraktion.
Für hinreichend kleines|h| bleibtF(y(·)) in einer Umgebung der konstanten Funktiony 0 , wenny(·)
daraus gewählt wird.
Damit sind die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes Thm. 2.2.9 erfüllt.
✎ Notation: τ ↦→ y(τ) ˆ= Lösung des AWP ẏ = f(t,y),y(t) = y 0 ∈ D,
τ ↦→ y h (τ) ˆ= Lösung von (2.2.24) (zu Anfangswerty 0 )
✷
R. Hiptmair
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2.2
p. 168

✬
✩
Theorem 2.2.30 (Einschritt-Fehlerabschätzung für Projektions-Einschrittverfahren).
Erfülltf eine lokale Lipschitz-Bedingung (→ Def. 1.3.2), dann gibt esh 0 > 0, so dass
Numerische
Mathemtik
∃C > 0: ‖y−y h ‖ ∞ ≤ Ch‖(Id−P)(f(·,y(·)))‖ ∞ ∀|h| ≤ h 0 .
✫
Projektionsfehler !
✪
Thm. 2.2.30
⇒ Konsistenzfehlerabschätzung für Projektions-Einschrittverfahren:
∥ ∥
‖τ(t,y,h)‖ :=
∥Φ t,t+h y−Ψ t,t+h y∥ ≤ Ch‖(Id−P)(f(·,y(·)))‖ ∞ ,
mitC > 0 unabhängig von
y ∈ K,K ˆ= kompakte Umgebung der Lösungstrajektoriet ↦→ y(t),t 0 ≤ t ≤ T ,
hinreichend kleiner Zeitschrittweiteh > 0.
R. Hiptmair
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Verallgemeinerung von Lemma 2.2.13:
2.2
p. 169

✬
✩
Lemma 2.2.31 (Lipschitz-Stetigkeit der Inkrementfunktion von Projektions-Einschrittverfahren).
Erfüllt f eine lokale Lipschitz-Bedingung (→ Def. 1.3.2), dann existiert zu jedem (t,y) ∈ Ω ein
h 0 so, dass, für|h| < h 0 ,
Numerische
Mathemtik
Ψ t,t+h y = y+hψ(t,y,h) ,
mit einer in der Zustandsvariariableny lokal Lipschitz-stetigen (→ Def. 1.3.2) Inkrementfunktion
ψ (→ Lemma 2.1.9).
✫
✪
Beweis. Unter Berufung auf Kompaktheitsargumente, vgl. Beweis von Thm. 2.1.19, o.B.d.A. Annahme
einer globalen Lipschitz-Bedingung
∃L > 0: ‖f(τ,z)−f(τ,w)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀z,w ∈ D, t ≤ τ ≤ t+h .
Wie im Beweis von Lemma 2.2.27: sind y h ,z h ∈ (C 0 ([t,t + h])) d Lösungen von (2.2.26) zu „Anfangswerten”y
0 ,z 0 ∈ D, dann
|h| <
1
hL‖P‖ ⇒ ‖y h −z h ‖ ∞ ≤
Garantiert Existenz von Lösungen von (2.2.26)
∫ t+h
1
1−hL‖P‖ ‖y 0−z 0 ‖ . (2.2.32)
(2.2.26) ⇒ Ψ t,t+h y 0 = y 0 + P(f(·,y h (·)))(ξ)dξ =: y 0 +hψ(t,y 0 ,h) .
t
} {{ }
R. Hiptmair
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25. April
2011
2.2
p. 170

|ψ(t,y 0 ,h)−ψ(t,z 0 ,h)| ≤ 1 h
∫ h
0
P(f(·,y h (·))−f(·,z h (·)))(ξ)dξ
(2.2.32)
≤ ‖P‖L‖y h −z h ‖ ∞ ≤
‖P‖L
1−hL‖P‖ ‖y 0 −z 0 ‖ . ✷
Numerische
Mathemtik
(y k ) N k=0
ˆ= Gitterfunktion, erzeugt durch Projektions-Einschrittverfahren fürẏ = f(t,y) auf Zeitgitter
{t 0 < t 1 < ··· < t N = T} ⊂ J(t 0 ,y 0 ): y k+1 = Ψ t k,t k+1 y k
Mit Lemma 2.2.31 & Beweis von Thm. 2.1.19 (diskretes Gronwall-Lemma 2.1.20):
Globale Fehlerabschätzung für Projektions-Einschrittverfahren (auf Zeitgitter)
‖y k −y(t k )‖ ≤ C max
j=1,...,N ‖(Id−P)(f(·,y(·)))‖ ∞,[t j−1 ,t j ]
fürk = 1,...,N,h j hinreichend klein,C > 0 unabhängig vonh j ,k.
exp(L(h 1 +···+h k ))−1
L
,
(2.2.33)
R. Hiptmair
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25. April
2011
2.2
p. 171

2.2.3 Konvergenz von Kollokationsverfahren
Numerische
Mathemtik
2.2.3.1 Konsistenzordnung
Frage: Konsistenz(ordnung) (→ Konvergenz, Sect. 2.1.3) von Kollokationsverfahren ?
Bem. 2.2.21 ➣ Konsequenz von Lemma 2.2.31:
✬
Lemma 2.2.34 (Konsistenz von Kollokationsverfahren).
Unter den Voraussetzungen von Lemma 2.2.7 ist jedes Kollokations-Einschrittverfahren konsistent
(→ Def. 2.1.8).
✫
R. Hiptmair
rev 35327,
✩25. April
2011
✪
2.2
p. 172

Erinnerung:
Verfahrensgleichungen eines Kollokations-Einschrittverfahrens shadowfullframeblack
s∑
y h (t 1 ) = y 0 +h b i k i ,
i=1
k i = f(t 0 +c i h,y 0 +h
a ij =
mit s∑
a ij k j ) . b i =
j=1
∫ ci
0
∫ 1
0
L j (τ)dτ ,
L i (τ)dτ .
(2.2.3)
Numerische
Mathemtik
✎ Notation: t ∈ [t 0 ,t 0 +h] ↦→ y h (t) ˆ= durch Kollokationsverfahren erzeugte Näherungslösung,
Polynom vom Grads, siehe (2.2.1)
✬
✫
➣ (Einschritt-)Fehlerfunktion e(t) := y(t)−y h (t), t 0 ≤ t ≤ t 1
Lemma 2.2.36 ((Suboptimale) Konsistenzordnung von Kollokationsverfahren).
Für hinreichend glatte rechte Seite f ist das Kollokations-Einschrittverfahren (2.2.3) zu ẏ =
f(t,y) konsistent von der Ordnungs(→ Def. 2.1.13).
R. Hiptmair
rev 35327,
✩25. April
2011
✪
2.2
p. 173

Hilfsmittel beim Beweis: Restgliedabschätzung für Polynominterpolation (→ Vorlesung “Numerische
Methoden”)
Numerische
Mathemtik
✬
✩
Lemma 2.2.37 (Fehlerabschätzung für Polynominterpolation). → [9, Satz 7.16]
Sei f ∈ C n+1 ([x 0 ,x n ]), x 0 < x 1 < ... < x n , und p ∈ P n das Interpolationspolynom von f
zu den Sützstellenx i (d.h.p(x i ) = f(x i )), dann gilt
|f (k) (x)−p (k) (x)| ≤ |x n−x 0 | n+1−k
(n+1−k)!
max
x 0

Zusammen mit Thm. 2.2.30 gibt dies eine Schranke O(h s+1 ) für den Einschrittfehler (= Konsistenzfehler).
✷
Numerische
Mathemtik
“Direkter” Beweis von Lemma 2.2.36. (für autonome Dgl.ẏ = f(y),t 0 = 0)
t ↦→ y(t) ˆ= exakte Lösung für AWPẏ = f(y),y(0) = y 0
t ↦→ y h (t), 0 ≤ t ≤ h, polynomiale approximative Lösung aus einem Schritt des Kollokationsverfahrens,y
h (0) = y 0 .
(Annahme: h hinreichend klein, siehe Lemma 2.2.7,h ∈ J(y 0 ))
Wiederum vereinfachende Annahme:
f global Lipschitz-stetig
∃L > 0: ‖f(z)−f(w)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀z,w ∈ D . (2.2.39)
Zur Konsistenzuntersuchung betrachte die Einschrittfehlerfunktion
Aus den Kollokationsbedingungen (2.2.1):
s∑
e(t) := y(t)−y h (t) ➣ τ(y 0 ,h) = e(h) . (2.2.40)
ẏ h (t) =
i=1
f(y h (c i h))·L i (τ) , τ := t h .
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
(2.2.41)
2.2
p. 175

Aus der Lösungseigenschaft vont ↦→ y(t)
ẏ(t) = f(y(t)) =
s∑
f(y(c i h))·L i (τ)+r(t) , τ := t h . (2.2.42)
i=1
Interpolationspolynom∈ P s−1 zur Funktiont ↦→ f(y(t)) und Knotenc i h auf[0,h]
r ˆ= Restglied für Polynominterpolation, siehe Lemma 2.2.37, erfüllt
∥
∥r (k) 1
∥
(t) ∥ ≤ max ∥y (s+1) (t) ∥ h s−k ≤ Ch s−k , k = 0,...,s . (2.2.43)
(s−k)! 0

mit vonhunabhängigen KonstantenC 1 ,C 2 > 0 (, die von den Kollokationspunktenc i undyabhängen.)
Numerische
Mathemtik
C 1 Lh 0 < 1 ⇒ ‖τ(y,h)‖ ≤ ‖e‖ ∞ ≤
C 2
1−C 1 h 0 L hs+1 ∀|h| ≤ h 0 . (2.2.47)
☞ Wir folgern: Das Kollokationsverfahren hat mindestens Konsistenzordnungs. ✷
Aus (2.2.44) und (2.2.43) lässt sich sogar folgern, fürk = 0,...,s,
∥
max ∥e (k) (t) ∥ ≤ C 1 (k)Lh‖e‖ ∞ +C 2 (k)h s+1−k
0≤t≤h
∥
⇒ max ∥e (k) (t) ∥ ≤ C(k)h s+1−k , (2.2.48)
0≤t≤h
mit vonhunabhängigen KonstantenC 1 (k),C 2 (k),C(k) > 0.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Beispiel 2.2.49 (Konvergenz von Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren). → Bsp. 2.2.17
Skalare logistische Differentialgleichung (1.2.2),λ = 10,y(0) = 0.01,T = 1
Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren (2.2.3) fürs = 1,...,4, uniforme Zeitschrittweiteh
2.2
p. 177

10 0 h
1
Numerische
Mathemtik
y
0.8
0.6
0.4
max k
|y h
(t k
)−y(t) k
)|
10 −5
10 −10
y(t)
0.2
s=1
s=2
s=3
s=4
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 60
y h (j/10): Gauss-Kollokationsverfahren
Numerische Konvergenzraten :
(berechnet durch lineare Regression)
Student Version of MATLAB
10 −15
s = 1 : p = 1.96
s = 2 : p = 4.01
s = 3 : p = 6.00
s = 4 : p = 8.02
s=1
s=2
s=3
s=4
10 −2 10 −1 10 0
Fig. 61
Konvergenz des Fehlersmax k |y k −y(t k )|
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Beobachtung: Konvergenzraten sind doppelt so hoch wie die untere Schranke aus Lemma 2.2.36!
2.2
p. 178

9
8
Gauss points
centered equidistant nodes
shifted equidistant nodes
logistic ODE, collocation RK methods
Numerische
Mathemtik
7
Vergleich der (empirischen) Konvergenzraten
✄
convergence rate
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4
s
Fig. 62
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Betrachte: Kollokationsverfahren zu ẏ = f(t,y) mit (relativen) Kollokationspunkten c i ∈ [0,1],
i = 1,...,s,s ∈ N ➣ Koeffizientenb i ,a ij in (2.2.3).
Zugeordnete Quadraturformel, Bem. 2.2.18:
Q(f) = h ∑ s
i=1 b jf(t 0 +c j h) . (2.2.50)
2.2
p. 179

Bsp. 2.2.49 legt die Vermutung nahe, dass die Konsistenzordnung eines Kollokationsverfahrens mit
der Ordnung der gemäss (2.2.50) zugeordneten Quadraturformel übereinstimmt.
Numerische
Mathemtik
✬
✩
Theorem 2.2.51 (Konsistenzordnung von Kollokationsverfahren).
Die Konsistenzordnung (→ Def. 2.1.13) eines Kollokations-Einschrittverfahrens stimmt mit der
Ordnung der zugeordneten Quadraturformel überein.
✫
✪
Hilfsmittel beim Bweis: Fehlerabschätzung für numerische Quadratur (→ Vorlesung “Numerische
Methoden”)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
s-Punkt-Quadraturformel auf[a,b]:
Q(f) := (b−a)
s∑
b i f(a+c i (b−a)) ≈
∫b
f(x)dx .
i=1
a
(2.2.52)
Annahme: innere Knoten 0 ≤ c i ≤ 1,i = 1,...,s
2.2
p. 180

✬
→ Quadraturformel von der Ordnungn+1
Numerische
✩Mathemtik
Lemma 2.2.53 (Quadraturfehlerabschätzung).
Ist eine Quadraturformel (2.2.52) exakt für Polynome von Grad≤ n, so gilt
f ∈ C n+1 ∫ b
([a,b]) ⇒
∣ Q(f)− f(x)dx
a ∣ ≤ C(b−a)n+2 (n+1)!
mitC = 1+ ∑ s
i=1 |b i |.
max
a

Wegenẏ(t) = f(y(t)) folgt für die Einschrittfehlerfunktione(t) = y(t)−y h (t)
ė(t) = f(y(t))−f(y h (t))−δ(t) , 0 ≤ t ≤ h .
Numerische
Mathemtik
Hilfsmittel: Taylorformel
ϕ(1)−ϕ(0) = ϕ ′ (0)+
∫ 1
0
(1−τ)ϕ ′′ (τ)dτ ,
fürϕ(ξ) := f(y(t)+ξ(y h (t)−y(t))) mit der Kettenregel:
ϕ ′ (ξ) = Df(y(t)+ξ(y h (t)−y(t)))·(y h (t)−y(t)) ,
ϕ ′′ (ξ) = D 2 f(y(t)+ξ(y h (t)−y(t)))(y h (t)−y(t),y h (t)−y(t)) .
Einsetzen in die Formel für die Einschrittfehlerfunktion:
∫ 1
ė(t) = ϕ(0)−ϕ(1)−δ(t) = Df(y(t))e(t)− (1−τ)D 2 f(y(t)+τe(t))(e(t),e(t)) −δ(t) .
0
} {{ }
=:ρ(t)
Dabei gilt die offensichtliche Abschätzung:
‖ρ(t)‖ ≤ max
y∈K
∥
∥D 2 f(y)
∥
∥·‖e(t)‖
2
Lemma 2.2.36
≤ Ch 2s+2 , (2.2.55)
wobeiK = {z ∈ D: ‖z−y(t)‖ ≤ R} mit vontunabhängigemR > 0 undC > 0 unabhängig von
h.
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
2.2
p. 182

➣
Einschrittfehlerfunktion löst das Anfangswertproblem
ė = Df(y(t))e−ρ(t)−δ(t) , e(0) = 0 . (2.2.56)
Numerische
Mathemtik
Betrachtet man ρ(t),δ(t) als blosse Funktionen von t, dann ist (2.2.56) eine nichtautonome lineare
Differentialgleichung.
➣ Lösung durch allgemeine Variation-der-Konstanten-Formel (1.3.18):
∫ t
e(t) = −
0
W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 (ρ(τ)+δ(τ))dτ , 0 ≤ t ≤ h .
mit der Propagationsmatrixt ↦→ W(t;y 0 ), vgl. (1.3.33), Sect. 1.3.3.4. Sie löst das Anfangswertproblem
für die Variationsgleichung (1.3.34)
Ẇ(t;y 0 ) = Df(y(t))W(t;y 0 ) , W(0;y 0 ) = I .
Die Propagationsmatrix ist natürlich unabhängig vonh, also
∥
∃C > 0 unabhängig vonh: ∥W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1∥ ∥ ≤ C ∀0 ≤ t,τ ≤ h .
∫
(2.2.55)
t
⇒
∥ W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 ρ(τ)dτ
∥ ≤ Ch2s+3 ,
mitC > 0 unabhängig vonh.
Beachte: (2.2.40) ➣ Konsistenzfehler bestimmt durche(h) !
0
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
2.2
p. 183

Geniale Idee: Abschätzung von ∫ h
0 W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ)dτ als Quadraturfehler !
Wegenδ(c i h) = 0 (Kollokationsbedingung (2.2.1) !):
s∑
b i W(t;y 0 )W(c i h;y 0 ) −1 δ(c i τ)
} {{ }
i=1
=0
} {{ }
Quadraturformel auf[0,h] fürτ↦→W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ)
➣ Mit der Quadraturfehlerabschätzung aus Lemma 2.2.53
∫h
s∑
W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ)dτ −
∥0
i=1
mit
C 3 := 1 p!
max
0≤τ≤h
= 0 ∀0 ≤ t ≤ h .
b i W(t;y 0 )W(c i h;y 0 ) −1 δ(c i τ)
≤ C 3 h p+1 ,
∥
d p {
∥dτ p τ ↦→ W(h;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ)} ∥ ∥∥ .
δ(t) := ẏ h (t)−f(y h (t)) hängt natürlich im Gegensatz zuW(t;y) vonhab, doch dank der Schranken
aus (2.2.48) sind alle Ableitungen von y h gleichmässig in h beschränkt !. Also lässt sich auch
C 3 unabhängig vonhbeschränken.
∫h
∥0
W(h;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ)dτ
≤ Ch p+1 .
∥
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
2.2
p. 184

Zusammen mit der Abschätzung für den ρ-Term ergibt sich die Behauptung des Theorems, vgl.
Def. 2.1.13
✷
Numerische
Mathemtik
s-stufige implizite Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren haben Ordnung2s
2.2.3.2 Spektrale Konvergenz
Erinnerung: Polynominterpolation: „Grad→ ∞ ⇒ Fehler→ 0”
(für geeignete Knoten, z.B. Tschebyscheff-Knoten [9, Sect. 7.1.4])
R. Hiptmair
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2011
Bei Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren:
Konvergenz fürs → ∞ ?
Beispiel 2.2.57 (Konvergenz von globalen Gauss-Kollokationsverfahren).
2.2
p. 185

Dieses Beispiel studiert den Einschrittfehler von Kollokationsverfahren in Abhängigkeit von der
Anzahl der Kollokationspunkte ↔ Polynomgrad s. Bisher haben wir nur die Strategie betrachtet,
durch Verfeinerung des Zeitgitters eine genauere Lösung zu erhalten.
Numerische
Mathemtik
Logistische Differentialgleichung (→ Bsp. 1.2.1)
ẏ = λy(1−y) , y 0 ∈]0,1[ ⇒ y(t) =
1
1+(y0 −1 , t ∈ R . (2.2.58)
−1)e−λt Numerische Experimente mit Gauss-Kollokationsverfahren auf[0,1],y 0 = 0.01,λ = 10:
(Lösung der Gleichungen für Inkrementek i : MATLABfsolve, Toleranz10 −9 )
Hier:
Kollokationsverfahren als globales Integrationsverfahren
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
2.2
p. 186

1.6
1.4
1.2
1
y(t)
s=1
s=2
s=3
s=4
s=5
s=6
10 −1
10 −2
Numerische
Mathemtik
y
0.8
0.6
|y h
(1)−y(1)|
10 0 Polynomgrad = Stufenzahl s
10 −3
0.4
10 −4
0.2
0
10 −5
−0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Näherungslösungeny h (t)
10 −6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
✄ Exponentielle Konvergenz ins(Warum ?)
✸
R. Hiptmair
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Naheliegend: Konvergenzanalyse auf der Grundlage von Thm. 2.2.30
☞ Benötigt: Spektrale Interpolationsfehlerabschätzungen für Polynominterpolation in Gauss-
Knoten, siehe Abb. 59 (spektral: Fehlerabschätzungen in Abhängigkeit vom Polynomgrad, ein neuer
Aspekt im Vergleich zur Vorlesung “numerische Methoden”).
2.2
p. 187

Polynominterpolationsfehlerabschätzungen für analytische Funktionen
Numerische
Mathemtik
Beispiel 2.2.59 (Interpolationsfehler bei Polynominterpolation in Gauss-Knoten).
Interpoland: Lösung der logistischen Dgl. (1.2.2)
auf[−1,1], vgl. Bsp. 1.2.1:
Fehler:
y(t) =
1
1+exp(− 1 2 λt) .
err := max
−1≤t≤1 |y(t)−p n(t)| ,
p n (t) ˆ= Interpolationspolynom vony(t), Gradn−
1, zunGauss-Knoten.
Näherungsweise Auswertung von err durch Abtasten
auf sehr feinem Gitter
Interpolation error (max norm)
@(t) 1./(1+exp(−0.5*lambda*t)) on [−1,1]
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
λ = 2
λ = 4
10 −8 λ = 7
λ = 11
λ = 16
10 −9
No. of Gauss nodes
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fig. 63
R. Hiptmair
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2011
2.2
p. 188

Listing 2.1: Berechung approximativer Maximumnorm des Fehlers bei Polynominterpolation
1 f u n c t i o n errinf = polyintperr(fun,nodes,span)
2 % Error of polynomial interpolation in maximum norm
3 % fun : handle to function to be interpolated
4 % nodes : interpolation nodes
5 % span : evaluation interval (default [-1,1])
6
7 i f (nargin < 3), span = [-1,1]; end
8 n = length(nodes);
9
0 fval = zeros(1,n);
1 f o r j=1:n, fval(j) = fun(nodes(j)); end
2
3 p = p o l y f i t(nodes,fval,n-1); % built-in polynomial interpolation
4
5 % Compute maximum norm by sampling on fine mesh
6 N = 1000*n;
7 t = span(1) + (0:N)*(span(2)-span(1))/N;
8 pval = polyval(p,t);
9 fval = zeros(1,N+1);
0 f o r j=1:N+1, fval(j) = fun(t(j)); end
1 errinf = max(abs(pval-fval));
Listing 2.2: Berechung approximativer Maximumnorm des Interpolationsfehlers in Gausspunkten
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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2011
2.2
p. 189

1 f u n c t i o n errinf = gaussintperr(fun,n)
2 % Error of polynomial interpolation in Gauss points in maximum norm
3 % fun : handle to function to be interpolated
4 % n : number of interpolation nodes
5
6 path(path,’../SupportScripts’);
7 [nodes,weights] = GaussQuad(n);
8 errinf = polyintperr(fun,nodes’);
Listing 2.3: Erzeugen der Plots für Bsp. 2.2.59
1 f u n c t i o n plotgaussintperr
2 % Error of Gaussian interpolation for solution of logistic differentialequation
3
4 rec = []; % Array for recording errors
5 k = 1;
6 f o r lambda=[2,4,7,11,16]
7 sol = @(t) 1./(1+exp(-0.5*lambda*t));
8 errs = [];
9 f o r n=1:10, errs = [errs,gaussintperr(sol,n)]; end
0 rec = [rec;errs];
1 leg{k} = s p r i n t f(’\\lambda = %d’,lambda);
2 k = k+1;
3 end
4
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
2.2
p. 190

5 f i g u r e(’name’,’Gaussian interpolation error’);
6 semilogy(1:10,rec(1,:),’r*-’,...
7 1:10,rec(2,:),’c*-’,...
8 1:10,rec(3,:),’b*-’,...
9 1:10,rec(4,:),’k*-’,...
0 1:10,rec(5,:),’m*-’);
1 x l a b e l(’{\bf No. of Gauss nodes}’,’fontsize’,14);
2 y l a b e l(’{\bf Interpolation error (max norm)}’,’fontsize’,14);
3 t i t l e(’@(t) 1./(1+exp(-0.5*lambda*t)) on [-1,1]’);
4 legend(leg,’location’,’southwest’);
5
6 p r i n t -depsc2 ’gaussintperr.eps’;
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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25. April
2011
Beobachtung: exponentielle Konvergenz (→ Def. 1.4.5) des Interpolationsfehlers, schneller bei kleineremλ.
✸
2.2
p. 191

Interpolationsfehleranalyse mit Hilfsmitteln der Funktionentheorie:
Numerische
Mathemtik
Bekannt sein sollte aus der Funktionentheorie:
Konzept einer
holomorphen Funktion,
Cauchy Integralsatz , und
Laurent-Entwicklung.
Erinnerung, siehe etwa [30, Ch. 13]:
✬
Theorem 2.2.60 (Residuensatz).
Sei D ⊂ C eine offene Menge,Γ ⊂ D ein einfach geschlossener Integrationsweg undΠ ⊂ D
eine endliche Menge.
Für jede inD\Πholomorphe (analytische) Funktionf : D\Π ↦→ C gilt
∫
1
=
2πi γf(z)dz ∑ res p f ,
p∈Π
wobeires p f das Residuum vonf im Punktpist.
✫
R. Hiptmair
✩
rev 35327,
25. April
2011
✪
2.2
p. 192

Π wird oft als die Menge der Pole vonf bezeichnet.
Numerische
Mathemtik
Definition 2.2.61 (Residuum einer komplexwertigen Funktion).
Ist f holomorph in einer punktierten Umgebung von p ∈ C, so ist das Residuum res p f von f
im Punktpder Koeffizienta −1 der Laurent-Entwicklung vonf inp.
Beweisskizze. (von Thm. 2.2.60)
Hat f in einer punktierten Umgebung von p ∈ C
Im
die konvergente Laurent-Enwicklung
f(z) =
∞∑
k=−∞
a k (z −p) k
so gilt für einen (hinreichend kleinen) Kreisγ ump
1
2πi
∫
γ
f(z)dz = a −1 .
p 1
D
p 2 p 3
p 4
Γ
Re
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
Dann zerlege ∫ Γ wie in der Skizze angedeutet und
verwende den Cauchy-Integralsatz.
Fig. 64
2.2
p. 193

✬
Lemma 2.2.62 (Residuenformel für einfachen Pol).
Istf holomorph in einer punktierten Umgebung vonp ∈ C und(z −p)f(z) holomorph inp, so
gilt
✩
Numerische
Mathemtik
res p f = lim z→p
(z −p)f(z) . (2.2.63)
✫
✪
Daraus folgt sofort:
✬
Lemma 2.2.64 (Residuenformel für Quotienten).
Sindg,h holomorph in einer Umgebung vonp ∈ C undh(p) = 0,h ′ (p) ≠ 0, so gilt
✫
res p
g
h = g(p)
h ′ (p) .
✩
✪
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
Betrachte:
Polynominterpolation vonf ∈ C 0 ([a,b]) in Knotenτ 1 < τ 2 < ... < τ s ,s ∈ N
2.2
p. 194

a
Im
D
Γ
τ 1 τ 2 τ 3 τ 4
b
R
✬
Annahme 2.2.65 (Analytizität des Interpolanden).
f holomorph (analytisch) in eine komplexen
UmgebungD ⊂ C von[a,b] fortsetzbar.
✫
✩
Numerische
Mathemtik
✪
Fig. 65
✁ Analytizitätsgebiet (gelb)
Wir betrachten folgende Funktion mit PolmengeΠ = {t,τ 1 ,...,τ s }
g t (z) :=
f(z)
(z −t)P(z) , t ∈ [a,b]\{τ 1,...,τ s } , P(z) := α(z −τ 1 )·····(z −τ s ), α ∈ R .
➣ g t ist holomorph aufD\{t,τ 1 ,...,τ s } (t ist Parameter!). )
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Anwendung des Residuensatzes Thm. 2.2.60 aufg t mit einfach geschlossenem IntegrationswegΓ
⊂ D, der[a,b] umschliesst, siehe die magenta Kurve in Abb. 65:
1
2πi
∫
Γ
g t (z)dz = res t g t +
s∑
Lemma 2.2.64f(t)
s∑
res τj g t =
P(t) + f(τ j )
(τ j −t)P ′ (τ j )
j=1
j=1
Möglich, daP ausschliesslich einfache Nullstellen hat !
2.2
p. 195

f(t) = −
s∑
f(τ j )
j=1
P(t)
(τ j −t)P ′ (τ j )
} {{ }
−Lagrange-Polynom !
} {{ }
Interpoationspolynom !
+ P(t) ∫
2πi
g t (z)dz
Γ
} {{ }
Interpolationsfehler !
. (2.2.66)
Numerische
Mathemtik
➣ Nun abzuschätzen: rechte Seite von
|f(t)−Interpolationspolynom(t)| ≤
P(t)
∣ 2πi
∫
Γ
f(z)
(z −t)P(z) dz ∣ ∣∣∣
, a ≤ t ≤ b . (2.2.67)
Bausteine der Abschätzung:
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
• Obere Schranke für|P(t)|,a ≤ t ≤ b
• Untere Schranke für|P(z)|,z ∈ Γ für einen geschickt gewählten IntegrationswegΓ ⊂ D
Offensichtlich hängt die Schranke in (2.2.67) nicht vonαab.
2.2
p. 196

Abschätzungen für Legendre-Polynome
Numerische
Mathemtik
Erinnerung: Für{τ j } s j=1
ˆ= Gauss-Knoten in[−1,1] ➤ P(t) ˆ=s. Legendre-Polynom (Grads)
✎ Notation: P n ˆ= Legendre-Polynom vom Gradn ∈ N 0
Rekursionsformel: (n+1)P n+1 (t)−(2n+1)tP n (t)+nP n−1 (t) = 0 , (2.2.68)
Rodrigues-Formel: P n (t) = 1 d n
2 n n! dt n(t2 −1) n . (2.2.69)
(Start der Rekursion mit P 0 ≡ 1,P 1 (t) = t)
Legendre-Polynome auf[−1,1]
✄
1
Legendre polynomials on [−1,1]
R. Hiptmair
P 0 (x) = 1 ,
P 1 (x) = x ,
0.8
0.6
0.4
rev 35327,
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P 2 (x) = 1/2(3x 2 −1) ,
0.2
P 3 (x) = 1/2(5x 3 −3x) ,
P 4 (x) = 1/8(35x 4 −30x 2 +3) ,
P 5 (x) = 1/8(63x 5 −70x 3 +15x) ,
P 6 (x) = 1/(16)(231x 6 −315x 4 +105x 2 −5) .
P n
(t)
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
n = 7
Fig. 66
2.2
p. 197

Vermutung: |P n (t)| ≤ 1 für alle−1 ≤ t ≤ 1
Numerische
Mathemtik
Im(z)
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
2
2
1.5
1
1
1.5
0
0.5
2
Modulus of Legendre polynomials, log 10
|P 4
|
0
2
1.5
−0.5
−1
1
0.5
1
1.5
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Re(z)
−1
0
−0.5
Niveaus von|P 4 (z)|
0.5
2
0
2
1.5
1
0.5
1
1.5
2
1.5
2
Fig. 67
Im(z)
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
3
3
2
1
1
0
2
Modulus of Legendre polynomials, log 10
|P 6
|
0
3
3
2
−1
1
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Re(z)
Niveaus von|P 6 (z)|
−1
1
2
0
0
3
3
2
1
2
3
3
Fig. 68
Im(z)
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
3
3
4
4
2
0
Modulus of Legendre polynomials, log 10
|P 8
|
0
1
3
2
1
3
4
2
4
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Re(z)
Niveaus von|P 8 (z)|
0
0
1
3
1
2
3
4
2
4
3
4
4
Fig. 69
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Beobachtung/Vermutung:
Niveaulinien von|P n (z)| sind näherungsweise Ellipsen mit Brennpunkten−1,1.
Exponentielles Anwachsen von|P n (z)| auf sich ausweitenden Ellipsen mit Brennpunkten{−1,1}.
2.2
p. 198

Numerische
Mathemtik
Hilfmittel für Abschätzung der Legendre-Polynome nach oben und nach unten:
Erzeugende Funktion der Legendre-Polynome
Durch gliedweise Differentiation:
formale Reihe: F w (z) =
∞∑
P n (w)z n , z,w ∈ C . (2.2.70)
n=0
dF ∞ w
dz (z) = ∑
(n+1)P n+1 (w)z n ,
n=0
d
dz (zF w(z)) =
∞∑
(n+1)P n (w)z n , z d dz (zF w(z)) =
n=0
∞∑
nP n−1 (w)
R. Hiptmair
Aus der Rekursionsformel (2.2.68) folgt daher
rev 35327,
dF w
dz (z)−(2z d dz (zF w(z))−zF w (z))+z d 25. April
2011
dz (zF w(z)) = 0 ,
dF w
dz (z) = w−z
z 2 −2wz +1 F w(z) . (2.2.71)
Nach Ersetzungz ← t: ODE fürt ↦→ F w (t).
Zugehöriges Anfangswertproblem mitF w (0) = P 0 (w) = 1 hat eindeutige Lösung
(
F w (z) = z 2 ) −1/2 2.2
−2wz +1 .
n=0
p. 199

Dabei wurde im Sinne der komplexen Fortsetzung wieder ersetzt t ← z. Also gilt für festes w ∈ C
und|z| hinreichend klein
Erzeugende Funktion der Legendre-Polynome
(
z 2 ) −1/2 ∑ ∞
−2wz +1 = P n (w)z n . (2.2.72)
n=0
Numerische
Mathemtik
Faktorisierung vonF w (z): mit
w := 1 2 (ζ +ζ−1 ) , ζ ∈ C\{0} ⇒ z 2 −2wz +1 = (1−zζ)(1−z/ζ) . (2.2.73)
Aus Taylorreihe für(1−z) −1/2 :
(→ Analysis)
(1−z) −1/2 =
∞∑
n=0
a n z n , a n = (2n)! 1·2·····2n
(n!) 2 =
22n (2·4·····2n) 2 > 0 .
Aus dem Multiplikationssatz für Potenzreihen mit Transformation (2.2.73)
⎛
∞∑ n∑
⎝
(
z 2 −2wz +1) −1/2
= (1−zζ) −1/2 (1−z/ζ) −1/2 =
n=0
j=0
⎞
a j a n−j ζ n−2j ⎠z n .
} {{ }
=P n (w)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 200

✬
✩
Lemma 2.2.74 (Obere Schranke für Legendre-Polynome).
✫
Es gilt |P n (t)| ≤ 1 für alle−1 ≤ t ≤ 1.
✪
Numerische
Mathemtik
Beweis. Wir verwenden die Darstellung des n. Legendre-Polynoms aus der Reihenentwicklung der
erzeugenden Funktion: mit der Joukowski-TransformationT(ζ) = 1 2 (ζ +ζ−1 ) haben wir
Beachte:
P n (T(ζ)) =
1
2 (eiϕ +e −iϕ ) = cosϕ =: t
n∑
a j a n−j ζ n−2j , |ζ| ≥ 1 . (2.2.75)
j=0
⇒ Für T(ζ) :=
2 1(ζ +ζ−1 ) gilt: T({|z| = 1}) = [−1,1] .
⇒ |P n (t)| (2.2.75)
n∑
a j >0 n∑
=
a j a n−j exp(i(n−2j)ϕ)
≤ a j a n−j = P n (1) = 1 ,
∣
∣
j=0
für einϕ ∈ [0,2π] so, dassT(exp(iϕ)) = t ∈ [−1,1].
j=0
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 201

Wir betrachten nun die Joukowski-TransformationT(z) = 1 2 (z+z−1 ) in Ihrer Wirkung auf Kreise um
0 etwas näher
➣
T(ρe iϕ ) = 1 2
(
ρe iϕ +ρ −1 e −iϕ) = 1 2 (ρ+ρ−1 ) cos(ϕ)+i·
} {{ }
grosse Halbachse
1
2 (ρ−ρ−1 ) sin(ϕ) .
} {{ }
kleine Halbachse
T bildet einen Kreis mit Radius ρ > 1 auf eine Ellipse mit Brennpunkten {−1,1}, kleiner
Halbachse 1 2 (ρ−ρ−1 ) und grosser Halbachse 1 2 (ρ+ρ−1 ) ab.
Numerische
Mathemtik
Im
1.5
1
0.5
0
ρ=1
ρ=1.2
ρ=1.4
ρ=1.6
ρ=1.8
ρ=2
TransformationT
Im
0.8
0.6
0.4
0.2
0
ρ=1
ρ=1.2
ρ=1.4
ρ=1.6
ρ=1.8
ρ=2
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
−0.5
−1
z→ 1 2 (z+1/z)
−−−−−−−−→
−0.2
−0.4
−0.6
−1.5
−0.8
−2 −1 0 1 2
Re
Kreise{z ∈ C : |z| = ρ}
−1 −0.5 0 0.5 1
Re
EllipsenE ρ gemäss (2.2.76)
Fig. 70
2.2
p. 202

Abildungen 67-69: Niveaulinien von |P n (z)| sind näherungsweise Ellipsen mit Brennpunkten
{−1,1}.
Numerische
Mathemtik
Idee: Benutze elliptische Integrationswege, siehe Abb. 70
E ρ := T({z ∈ C, |z| = ρ}) , ρ > 1 , (2.2.76)
mit Joukowski-Transformation T(z) := 1 2 (z +1/z) . (2.2.77) R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 203

ρ n /10
10 5
10 4
10 3
10 2
10 1
10 6 n
ρ = 1.10
ρ = 1.20
ρ = 1.30
ρ = 1.40
ρ = 1.50
ρ = 1.60
ρ = 1.70
ρ = 1.80
ρ = 1.90
ρ = 2.00
ρ = 2.10
ρ = 2.20
ρ = 2.30
ρ = 2.40
ρ = 2.50
ρ
min|P n
(z)| on ellipse E
10 5
10 4
10 3
10 2
10 1
ρ
ρ
ρ
10 6 n
= 1.10
= 1.20
= 1.30
= 1.40
= 1.50
= 1.60
= 1.70
= 1.80
= 1.90
= 2.00
= 2.10
= 2.20
= 2.30
= 2.40
= 2.50
ρ
Numerische
Mathemtik
10 0
10 0
10 −1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Fig. 71
0.1·ρ n als Funktion vonnfür verschiedeneρ > 1
10 −1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Approximation von min
z∈E ρ
|P n (z)|
Fig. 72
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 204

atio min|P n
(z)|/(nρ n )
3.5
3
2.5
2
1.5
1
ρ = 1.10
ρ = 1.20
ρ = 1.30
ρ = 1.40
ρ = 1.50
ρ = 1.60
ρ = 1.70
ρ = 1.80
ρ = 1.90
ρ = 2.00
ρ = 2.10
ρ = 2.20
ρ = 2.30
ρ = 2.40
ρ = 2.50
Vermutung:
Für grossen:
min
z∈E ρ
|P n (z)| ∼ nρ n . (2.2.78)
Numerische
Mathemtik
0.5
0
−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
n
Fig. 73
Nach bestem Wissen des Autors gibt es keinen Beweis von (2.2.78). In [5, Sect. 12.4], [4] wird die
schwächere Behauptung
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
gezeigt.
∀ǫ > 0: ∃N = N(ǫ): min
z∈E ρ
|P n (z)| ≥ (ρ−ǫ) n ∀n > N(ǫ)
Hier nur Heuristik:
2.2
p. 205

Erinnerung: Formel von Cauchy-Hadamard für den Konvergenzradius einer Potenzreihe [30,
Sect. 4.1.3]
1
R :=
limsup |a n| 1/n ⇒ ∑ ∞ a n z n konvergiert für|z| < R . (2.2.79)
n→∞
n=0
Numerische
Mathemtik
Idee: (2.2.79) liefert asymptotische untere Schranke für|a n |, wennRbekannt !
(Voraussetzung istlimsup
|a n| 1/n = lim
n→∞ n→∞ |a n| 1/n , gegeben z.B. bei Monotonie
von(a n ) n .)
Aus dem Entwicklungssatz von Cauchy schliesst man, siehe [30, Sect. 8.1.5]:
✬
Lemma 2.2.80 (Konvergenzradius von Potenzreihenentwicklungen).
Sei D ⊂ C offen,f : D ↦→ C holomorph und0 ∈ D. Dann hat die Taylorreihe vonf um0den
KonvergenzradiusR = dist(0,∂D).
✫
R. Hiptmair
rev 35327,
✩25. April
2011
✪
Zu untersuchen mit Hilfe von Lemma 2.2.80: Konvergenzradius der Taylorreihe um 0 der erzeugenden
Funktion (2.2.72), also f(z) = (z 2 − 2wz + 1) −1/2 , der Legendre-Polynome aus
(2.2.72).
2.2
p. 206

Uns interessiert:
min
z∈E ρ
|P n (z)| ➥
Gesucht: Konvergenzradius fürw ∈ E ρ
Numerische
Mathemtik
Lemma 2.2.80 ⇒ R = min{dist(0,ζ),dist(0,ζ −1 )} ,
dennζ,ζ −1 sind die beiden Nullstellen vonz ↦→ z 2 −2wz +1 fürw = 1 2 (ζ +ζ−1 ), vgl. (2.2.73).
ζ = ρexp(iϕ) , ρ > 1 ⇒ R = ρ −1 .
Annahme. Existenz des Limes: limsup
n→∞ |P n(w)| 1/n = lim
n→∞ |P n(w)| 1/n
Damit aus (2.2.72):
∀ǫ > 0: ∃N = N(ǫ) ∈ N:
(
|P n (w)| 1/n > ρ−ǫ ⇔ |P n (w)| > (ρ−ǫ) n) ∀n > N(ǫ) .
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 207

✬
✩
Theorem 2.2.81 (Fehlerabschätzung für Interpolation in Gauss-Knoten).
Es sei f : [−1,1] ↦→ C nach D ⊂ C analytisch fortsetzbar und E ρ ⊂ D für ein ρ > 1. Unter
der Annahme (2.2.78) finden wirN = N(ρ) ∈ N undC = C(ρ) > 0, so dass
s∑
max
−1≤t≤1
∣ f(t)− f(τ j )L j (t)
∣ ≤ Cρ−s max |f(z)| length(E ρ)
∀s > N(ρ) .
s z∈E ρ 2π
✫
j=1
✪
Numerische
Mathemtik
Aussage von Theorem 2.2.81: bzgl. der Maximumnorm exponentielle Konvergenz (→ Def. 1.4.5)
des Interpolationspolynoms in den Gausspunkten einer in einer “geeigneten” Umgebung von [−1,1]
analytischen Funktion.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Beispiel 2.2.82 (Fehler bei Polynominterpolation in Gauss-Knoten). → Fortsetzung Bsp. 2.2.59
f(z) =
1
√
1+exp(− 1 2 λz) ⇒ f analytisch inE ρ für ρ < π λ + ( π λ )2 +1 .
2.2
p. 208

Pole vonf:
±(2k +1) 2πi
λ , k ∈ Z .
⇒ ρ−ρ −1 < 2π λ .
2πi
λ
−1 1
Im
E ρ
− 2πi
λ Fig. 74
Re
Numerische
Mathemtik
Dieses Beispiel demonstriert die allgemeine Strategie zum Auffinden zulässiger Analytizitätsellipsen
für “einfache” Funktionen: Man bestimmt die Pole der zu untersuchenden Funktion in C und dadurch
das Gebiet, auf dem die Funktion holomorph ist.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
✸
1
ẏ = λy(1−y) , y 0 > 0[ ⇒ y(t) =
1+(y0 −1 −1)e −λt , t ∈ R . (2.2.84) 2.2
Beispiel 2.2.83 (Analytizitätsgebiet für Lösung der logistischen Dgl.).
Logistische Differentialgleichung (→ Bsp. 1.2.1)
p. 209

Wenden wir ein Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren, so reicht es
∥
‖(Id−P)f(·,y(·))‖ ∞,[0,1] =
(·+1
∥ (Id−P)f ,y(·+1 )∥ ∥∥∥∞,[−1,1]
2 2 )
Numerische
Mathemtik
zu untersuchen, siehe Thm. 2.2.30, wobei P den Operator der Polynominterpolation in den Gausspunkten
bezeichnet.
Füry 0 > 1: ein Pol in−1− 2 λ ln(−a) mit1/a = 1/y 0 −1.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 210

Im
1.5
1
0.5
0
y 0 = 1.1,λ = 5.5:
pole
ρ=3.4444
ρ=3.095
ρ=2.7456
ρ=2.3961
ρ=2.0467
ρ=1.6972
ρ=1.3478
Numerische
Mathemtik
−0.5
−1
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
−1.5
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Re
2.2
p. 211

Im
0.8
0.6
0.4
0.2
0
y 0 = 10,λ = 5.5:
pole
ρ=1.3078
ρ=1.2479
ρ=1.188
ρ=1.1281
ρ=1.0683
ρ=1.0084
Numerische
Mathemtik
−0.2
−0.4
R. Hiptmair
−0.6
rev 35327,
25. April
2011
−0.8
−1 −0.5 0 0.5 1
Re
Maximum auf Ellipsen:
2.2
p. 212

10 5
10 4
y0=1.1 λ=1
y0=1.1 λ=3.25
y0=1.1 λ=5.5
y0=1.1 λ=7.75
y0=1.1 λ=10
10 4
y0=10 λ=1
y0=10 λ=3.25
y0=10 λ=5.5
y0=10 λ=7.75
y0=10 λ=10
Numerische
Mathemtik
max on ellipse ρ
10 6 ρ
10 3
10 2
max on ellipse ρ
10 5 ρ
10 3
10 2
10 1
10 0
10 1
10 −1
0 2 4 6 8 10 12
10 0
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Fehler im Endzeitpunkt für globalen Schritt des Gauss-Kollokations-Einschrittverfahrens:
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 213

λ = 5.5:
Fehler zum Zeitpunkt T=1, λ=5.5
Numerische
Mathemtik
10 2 Polynomgrad = Stufenzahl s
10 0
10 −2
y0=1.1 ρ=0.31378
y0=2.88 ρ=0.29625
y0=4.66 ρ=0.37181
y0=6.44 ρ=0.41602
y0=8.22 ρ=0.45792
y0=10 ρ=0.4467
|y h
(1)−y(1)|
10 −4
10 −6
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
10 −8
10 −10
0 5 10 15
2.2
p. 214

λ = 10:
Fehler zum Zeitpunkt T=1, λ=10
Numerische
Mathemtik
10 2 Polynomgrad = Stufenzahl s
10 0
10 −2
y0=1.1 ρ=0.20099
y0=2.88 ρ=0.33691
y0=4.66 ρ=0.43734
y0=6.44 ρ=0.82362
y0=8.22 ρ=0.53696
y0=10 ρ=0.8109
|y h
(1)−y(1)|
10 −4
10 −6
10 −8
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
10 −10
10 −12
0 5 10 15
2.2
p. 215

Füry 0 < 1: Pole in−1− 2 λ ln(a)− 2 λ (2k +1)πi mit1/a = 1/y 0 −1.
Numerische
Mathemtik
y 0 = 0.80111,λ = 10:
1
pole z 0
pole z 1
Im
0.5
0
−0.5
−1
−1 −0.5 0 0.5 1
Re
ρ=0.38348 rate=0.38348
ρ=0.45087 rate=0.45087
ρ=0.51826 rate=0.51826
ρ=0.58565 rate=0.58565
ρ=0.65304 rate=0.65304
ρ=0.72043 rate=0.72043
ρ=0.78783 rate=0.78783
ρ=0.85522 rate=0.85522
ρ=0.92261 rate=0.92261
ρ=0.99 rate=0.99
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 216

y 0 = 0.10889,λ = 10:
pole z 0
Numerische
Mathemtik
Im
0.5
0
−0.5
−1 −0.5 0 0.5 1
Re
pole z 1
ρ=1.9307 rate=0.51796
ρ=1.8284 rate=0.54693
ρ=1.7261 rate=0.57935
ρ=1.6238 rate=0.61585
ρ=1.5215 rate=0.65725
ρ=1.4192 rate=0.70463
ρ=1.3169 rate=0.75936
ρ=1.2146 rate=0.82332
ρ=1.1123 rate=0.89904
ρ=1.01 rate=0.9901
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Maximum auf Ellipsen:
2.2
p. 217

400
350
300
y0=0.80111 λ=1
y0=0.80111 λ=3.25
y0=0.80111 λ=5.5
y0=0.80111 λ=7.75
y0=0.80111 λ=10
450
400
350
y0=0.10889 λ=1
y0=0.10889 λ=3.25
y0=0.10889 λ=5.5
y0=0.10889 λ=7.75
y0=0.10889 λ=10
Numerische
Mathemtik
max on ellipse ρ
250
200
150
100
50
max on ellipse ρ
300
250
200
150
100
50
0
0 5 10 15
ρ
0
0 5 10 15
ρ
Fehler im Endzeitpunkt für globalen Schritt des Gauss-Kollokations-Einschrittverfahrens:
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 218

λ = 5.5:
Fehler zum Zeitpunkt T=1, λ=5.5
Numerische
Mathemtik
10 0 Polynomgrad = Stufenzahl s
10 −2
10 −4
y0=0.01 ρ=0.17504
y0=0.188 ρ=0.28951
y0=0.366 ρ=0.23427
y0=0.544 ρ=0.24882
y0=0.722 ρ=0.21761
y0=0.9 ρ=0.2343
|y h
(1)−y(1)|
10 −6
10 −8
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
10 −10
10 −12
0 5 10 15
2.2
p. 219

λ = 10:
Fehler zum Zeitpunkt T=1, λ=10
Numerische
Mathemtik
10 0 Polynomgrad = Stufenzahl s
10 −2
10 −4
y0=0.01 ρ=0.23988
y0=0.188 ρ=0.21673
y0=0.366 ρ=0.21077
y0=0.544 ρ=0.21413
y0=0.722 ρ=0.20035
y0=0.9 ρ=0.23234
|y h
(1)−y(1)|
10 −6
10 −8
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
10 −10
10 −12
0 5 10 15
✸
2.2
p. 220

In Beispiel 2.2.83 konnten wir uns für die Bestimmung des Analytizitätsgebiets auf die explizit
gegebene Lösung des AWP stützen, um die exponentielle Konvergenz des globalen Gauss-
Kollokationsverfahrens zu bestätigen.
Numerische
Mathemtik
Im Allgemeinen fehlt diese Information. Dennoch sind Aussagen über das Analytizitätsgebiet der
Lösungen von AWP für Differentialgleichungen in C mit lokal holomorpher rechter Seite möglich:
✬
Theorem 2.2.85 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Dgl. in C). → [32, Kap. I, §8]
Ist f : D ⊂ C ↦→ C in einer Umgebung B ρ (z 0 ) := {z ∈ C : |z − z 0 | < ρ} ⊂ D von
z 0 ∈ D holomorph und|f(z)| ≤ M für allez ∈ B ρ (z 0 ), dann existiert genau eine aufB ρ/M (0)
holomorphe Lösungy des Anfangswertproblems
✩
✎
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
y ′ (z) = f(y(z)) ∀z ∈ B ρ/M (0) , y(0) = z 0 .
✫
Notation:
′ ˆ= komplexe Differentiation
✪
Wenn f(z) ∈ R für z ∈ R und y 0 ∈ R dann stimmt die vom Theorem postulierte lokal holomorphe
Lösung des komplexen AWP für reelle Argumente natürlich mit der Lösung gemäss Theorem 1.3.4
überein.
2.3
p. 221

2.3 Runge-Kutta-Verfahren
Numerische
Mathemtik
Nachteil der Kollokationseinschrittverfahren: Alle (mit Ausnahme des expliziten Euler-Verfahrens) sind
implizit (→ Def. 2.1.5)
Gibt es explizite Einschrittverfahren höhererOrdnung? Wenn ja, wie findet man diese?
2.3.1 Konstruktion
R. Hiptmair
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2011
AWP:
ẏ(t) = f(t,y(t)) ,
y(t 0 ) = y 0
⇒ y(t 1 ) = y 0 +
∫ t1
Approximation durch Quadraturformel (auf[0,1]) mitsKnotenc 1 ,...,c s :
t 0
f(τ,y(t 0 +τ))dτ
y(t 1 ) ≈ y 1 ( = y h (t 1 )) = y 0 +h
Wie bekommt man diese Werte ?
s∑
b i f(t 0 +c i h, y(t 0 +c i h) ) , h := t 1 −t 0 .
i=1
✄ Bootstrapping
2.3
p. 222

Beispiel 2.3.1 (Konstruktion einfacher Runge-Kutta-Verfahren).
Numerische
Mathemtik
Quadraturformel→Trapezregel:
auf Intervall[a,b]
Q(f) = 1 2 (b−a)(f(a)+f(b)) ↔ s = 2: c 1 = 0,c 2 = 1 , b 1 = b 2 = 1 2 , (2.3.2)
undy h (T) aus explizitem Eulerschritt (1.4.2)
k 1 = f(t 0 ,y 0 ) , k 2 = f(t 0 +h,y 0 +hk 1 ) , y 1 = y 0 + h 2 (k 1+k 2 ) . (2.3.3)
(2.3.3) = explizite Trapezregel
Quadraturformel → einfachste Gauss-Quadraturformel (Mittelpunktsregel) & y h ( 1 2 (t 1 + t 0 )) aus
explizitem Eulerschritt (1.4.2)
k 1 = f(t 0 ,y 0 ) , k 2 = f(t 0 + h 2 ,y 0 + h 2 k 1) , y 1 = y 0 +hk 2 . (2.3.4)
R. Hiptmair
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(2.3.4) = explizite Mittelpunktsregel
✸
Diskrete Evolutionen der Form (2.2.3)
2.3
p. 223

Definition 2.3.5 (Runge-Kutta-Verfahren).
Fürb i ,a ij ∈ R,c i := ∑ s
j=1 a ij ,i,j = 1,...,s,s ∈ N, definiert
Numerische
Mathemtik
k i := f(t 0 +c i h,y 0 +h
s∑
a ij k j ) , i = 1,...,s , Ψ t 0,t 0 +h y 0 := y 0 +h
j=1
s∑
b i k i ,
ein s-stufiges Runge-Kutta-Einschrittverfahren (RK-ESV) für AWP (1.1.13) mit Inkrementen
k i ∈ R d .
i=1
➣ Verallgemeinerung der Kollokationsverfahren→Sect. 2.2
(doch keine konkrete Konstruktionsvorschrift !)
R. Hiptmair
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Fallsa ij = 0 füri ≤ j Explizites Runge-Kutta-Verfahren→Def. 2.1.5
Kurznotation für Runge-Kutta-Verfahren:
Butcher-Schema
✄
c A
b T :=
c 1 a 11 ··· a 1s
.
.
c s a s1 ··· a ss
b 1 ··· b s
. (2.3.6)
.
2.3
p. 224

A echte untere Dreiecksmatrix
A untere Dreiecksmatrix
➤ explizites Runge-Kutta-Verfahren
➤ diagonal-implizites Runge-Kutta-Verfahren (DIRK)
Numerische
Mathemtik
Bemerkung 2.3.7 (Stufenform der Inkrementgleichungen).
Fürs-stufiges Runge-Kutta-Einschrittverfahren (RK-ESV),→Def. 2.3.5, definiere (Annahme: eindeutige
Lösbarkeit der Inkrementgleichungen)
s∑
Stufen (engl. stages:) g i = y 0 +h a ij k j , i = 1,...,s ⇒ k i = f(t 0 +c i h,g i ) .
j=1
(2.3.8)
Stufengleichungen
R. Hiptmair
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s∑
g i = y 0 +h a ij f(t 0 +c j h,g j ) , i = 1,...,s . (2.3.9)
j=1
△
2.3
p. 225

Interpretation: Runge-Kutta-Verfahren ↔ Polygonzugapproximation der Lösungskurve
→ Sect. 1.4
Numerische
Mathemtik
Anzahlb i ≠ 0 ˆ= Anzahl der Teilstrecken im Polygonzug
b i ,i = 1,...,s−1 ˆ= relative Länge desi. Teilintervalls
k i ˆ= „Steigung” deri. Teilstrecke
c i ˆ= relativer Zeitpunkt (in[t k ,t k+1 ]) für Auswertung deri. Abschnittsteigung
Beispiel 2.3.10 (Explizite Runge-Kutta-Polygonzugapproximation für Ricatti-Differentialgleichung).
→ Bsp 1.1.3
R. Hiptmair
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Anfangswertproblem: ẏ = t 2 +y 2 ,y(0) = 0.2.
Geometrische Interpretation von expliziten RK-ESV als Polygonzugverfahren → Verallgemeinerung
des expliziten Euler-Verfahrens, siehe Sect. 1.4.1, Fig. ??.
2.3
p. 226

grün
Explizite Mittelpunktsregel:
0 0 0
1
2
1
2
0
0 1
Lösungskurven
1
0.8
0.6
yy(T)
0.4
Numerische
Mathemtik
magenta Abschnittsteigungenk i
∗
rot:
Punktef-Auswertung
Polygonzug
0.2
0
y 0
k 1
k 2
R. Hiptmair
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
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2.3
p. 227

1
Numerische
Mathemtik
grün:
Explizite Trapezregel
0 0 0
1 1 0
1
2 1 2
Lösungskurven
y
0.8
0.6
0.4
y(T)
magenta: Abschnittsteigungenk i
∗: Punktef-Auswertung
rot: Polygonzug
0.2
0
y 0
k 1
k 2
R. Hiptmair
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
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2011
2.3
p. 228

Klassisches Runge-Kutta-Verfahren
grün
(RK4)
0 0 0 0 0
1
2
1
2
0 0 0
1
2
0 1 2 0 0
1 0 0 1 0
1
6 2 6 2 6 1 6
Lösungskurven
magenta Abschnittsteigungenk i
∗
Punktef-Auswertung
(2.3.11)
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
rot: Polygonzug
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
y(T)
Numerische
Mathemtik
k 4
k 3
y 0
k 1
k 2
R. Hiptmair
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2.3
p. 229

Kuttas 3/8-Regel
1
Numerische
Mathemtik
grün
0 0 0 0 0
1 1
3 3
0 0 0
2
3 −1 3
1 0 0
1 1 −1 1 0
1
8
3
8
3
8 1 8
Lösungskurven
magenta Abschnittsteigungenk i
(2.3.12)
y
0.8
0.6
0.4
0.2
y 0
y(T)
∗
rot:
Punktef-Auswertung
Polygonzug
0
k 1
k 2
k 3
k 4
✸
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
R. Hiptmair
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Bemerkung 2.3.13 (Affin-Kovarianz der Runge-Kutta-Verfahren).
2.3
p. 230

Wie reagiert ein Runge-Kutta -ESV auf einen Basiswechsel im Zustandsraum (→ Sect. 1.3.2,
(1.3.12))?
Numerische
Mathemtik
FürS ∈ R d,d regulär,ŷ := S −1 y Ψ, ̂Ψ aus RK-Verfahren (→ Def. 2.3.5)
Ψ s,t
h
= Diskrete Evolution zu ẏ = f(t,y) ,
̂Ψ s,t
h = Diskrete Evolution zu ˙ŷ = ̂f(t,ŷ) → (1.3.12)
ŜΨ s,t
h S −1 y = Ψ s,t
h y .
(2.3.14)
Dazu zeigt man, dass die Inkremente k i und transformierten Inkremente Ŝk i S −1 eines Runge-
Kutta-ESV angewandt auf die ODEs ẏ = f(t,y), bzw. ˙ŷ = ̂f(t,ŷ) = S −1 f(t,Sŷ) die gleichen
Gleichungen erfüllen. Wegen deren eindeutiger Lösbarkeit für hinreichend kleines h > 0 folgt k i =
Ŝk i S −1 ,i = 1,...,s.
Die obige Aussage lässt sich auch durch ein kommutierendes Diagramm ausdrücken
R. Hiptmair
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ẏ = f(t,y)
⏐
↓
RK-ESV
Basistransformation ŷ:=S −1 y
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ ˙ŷ =̂f(t,ŷ)
⏐
⏐
↓RK-ESV
(y k ) k
Basistransformation ŷ k :=S −1 y k
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (ŷ k ) k .
☞ Affin-Kovarianz drückt die Erhaltung einer einfachen algebraischen Struktur der Lösungsmenge
eines AWP aus.
2.3
p. 231

Bemerkung 2.3.15 (Autonomisierungsinvarianz von Runge-Kutta-Verfahren).
Eine weitere Transformation einer ODE: Autonomisierung → Bem. 1.1.7
△
Numerische
Mathemtik
Auch hier stellt sich die Frage, wann “RK-ESV mit Autonomisierung kommutieren”, vgl. Bem. 2.3.13.
( ( )
y y
s)
s)
Autonomisierung:
ẏ = f(t,y) ,
y(t 0 ) = y 0
⇒ ż :=
▼
˙
=
( ) f(s,y)
1
Evolutionen: Φ t,t+h ↔ ̂Φ h ,
Diskrete Evl.: Ψ t,t+h
h
↔ ̂Ψ h h .
Wunsch:
(
Φ t,t+h )
y
t+h
▼
=: g
= ̂Φ h( )
y
(Ψ t,t+h
) (
h
y
=
t t+h
̂Ψ h y
h t)
,
(
y(0)
s(0)
(2.3.16) kann wieder durch durch ein kommutierendes Diagramm ausgedrückt werden:
=
(
y0
t 0
)
. (2.3.16)
.
R. Hiptmair
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ẏ = f(t,y)
⏐
↓
RK-ESV
Autonomisierung
−−−−−−−−−−→ ż = g(z)
⏐
⏐
↓RK-ESV
(y k ) k
ŷ k :=( y k tk
)
−−−−−−→ (ŷ k ) k .
2.3
p. 232

Nun wollen wir Bedingungsgleichungen für die Koeffizienten a ij und b i des RK-ESV (→ Def. 2.3.5)
herleiten, so dass (2.3.16) gilt.
̂Ψ h h
( y
t)
( ∑ y+h si=1
)
b
= îk i
t+h ∑ s
i=1 b îκ i
,
) (̂k i
̂κ i
=
(
f(t+h ∑ s
j=1 a iĵκ j ,y+h ∑ )
s
j=1 a iĵk j )
1
.
Numerische
Mathemtik
c i = ∑ s
j=1 a ij
&
∑ si=1
b i = 1 ̂k i = k i . (2.3.17)
= Hinreichende + notwendige Bedingungen für Autonomisierungsinvarianz eines RK-Verfahrens
Darumc i = ∑ s
j=1 a ij in Def. 2.3.5 !
✄ Analyse von autonomisierungsinvarianten RK-Verfahren kann sich auf autonome Probleme beschränken.
R. Hiptmair
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2011
△
2.3
p. 233

Bemerkung 2.3.18 (“Dense output”).
[17, Sect. II.5]
Numerische
Mathemtik
Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5) liefern Gitterfunktionen G ↦→ R d als Näherung von
t ↦→ y(t) in diskreten Zeitpunkten.
Was, wenn Näherungen füry(t) zu anderen Zeitpunkten/überall auf[0,T] gebraucht werden ?
Ziel:
Stückweise polynomiale Definition vont ↦→ y h (t)
Interpolationseigenschaft y h (t k ) = y k ,k = 0,...,N
y h|[tk ,t berechenbar k+1
ausy k ,y k+1 und Inkrementen imk. Schritt
mit Polynomenp 0 ,p 1 ,q i : R ↦→ R.
y h (t k +ξh k ) = p 0 (ξ)y k +p 1 (ξ)y k+1 +
s∑
q(ξ)k i , 0 ≤ ξ ≤ 1 ,
i=1
R. Hiptmair
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Wunsch: Für RK-ESV der Ordnungp ➣
max ‖y(t)−y h(t)‖ = O(h p )
0≤t≤T
△
Bemerkung 2.3.19 (Lösung der Inkrementgleichungen). → [8, Sect. 6.2.2]
2.3
p. 234

Inkrementgleichungen für implizites RW-ESV (→ Def. 2.3.5) = (i.a. nichtlineares) Gleichungssystem
mits·d Unbekannten
Numerische
Mathemtik
Im autonomen Fall (vgl. Beweis von Lemma 2.2.7)
k i := f(y 0 +h
s∑
a ij k j )
j=1
k i =f(y 0 +g i )
⇐⇒
g i = h
s∑
a ij f(y 0 +g j ) , i = 1,...,s . (2.3.20)
Die Grössen g i + y 0 heissen auch Stufen (engl. stages) des Runge-Kutta-Verfahrens, siehe
Bem. 2.3.7. Daher heisst die Formulierung der Inkrementgleichungen mit Hilfe der g i wie in (2.3.20)
auch deren Stufenform.
j=1
➣ iterative Lösung mit vereinfachtem Newton-Verfahren („eingefrorene” Jacobi-Matrix)
! Effizienz: Minimiere Anzahl vonf,Df-Auswertungen
R. Hiptmair
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Mit g = (g 1 ,...,g s ) T ∈ R s·d definiere
⎛
h s ⎞
∑
a 1j f(y 0 +g j )
j=1
F(g) := g−
.
⎜
⎝ ∑
h s ⎟
a sj f(y 0 +g j )
⎠
j=1
⇒ {(2.3.20) ⇔ F(g) = 0} . (2.3.21)
2.3
p. 235

h „klein” ➣ Natürliche Anfangsnaḧerung für vereinfachte Newton-Iteration: g (0) = 0
Numerische
Mathemtik
DF(g (0) ) =
Vereinfachte Newton-Iteration
⎛
⎞
I−ha 11 Df(y 0 ) −ha 12 Df(y 0 ) ··· −ha 1s Df(y 0 )
⎜ −ha 21 Df(y 0 ) I−ha 22 Df(y 0 ) .
⎟
⎝ . ... . ⎠ .
−ha s1 Df(y 0 ) ··· −ha s,s−1 Df(y 0 ) I−ha ss Df(y 0 )
g (0) = 0 , g (k+1) = g (k) −DF(0) −1 F(g (k) ) , k = 0,1,2,... .
Wiedergewinnung der Inkremente k i aus g i : betrachte l. Komponente, l = 1,...,d. Mit g i =
(g i,1 ,...,g i,d ) T ∈ R d s∑ ) d ( ) d
g i,l = h a ij k j,l ⇐⇒
(g i,l
l=1 = hA k i,l
l=1 .
j=1
A regulär ➣ k i durch Lösen vonslinearen Gleichungssystemen mit KoeffizientenmatrixA.
R. Hiptmair
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2011
Natürlich kann das vereinfachte Newton-Verfahren auch auf die Standardform der Inkrementgleichungen
aus Def. 2.3.5 angewandt werden.
2.3
p. 236

△
Numerische
Mathemtik
2.3.2 Konvergenz
Beispiel 2.3.22 (Konvergenz expliziter Runge-Kutta-Verfahen).
Skalare logistische Differentialgleichung (1.2.2),λ = 10,y(0) = 0.01,T = 1
Explizite Runge-Kutta-Einschrittverfahren, uniforme Zeitschrittweiteh
R. Hiptmair
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2011
2.3
p. 237

1
0.9
0.8
0.7
y(t)
Explicit Euler
Explicit trapezoidal rule
Explicit midpoint rule
RK4 method
10 0 h
10 −2
Numerische
Mathemtik
y
0.6
0.5
0.4
0.3
|y h
(1)−y(1)|
10 −4
10 −6
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 75
y h (j/10),j = 1,...,10 für explizite RK-Verfahren
10 −8
s=1, Explicit Euler
s=2, Explicit trapezoidal rule
s=2, Explicit midpoint rule
s=4, RK4 method
10 −2 10 −1 10 0
Konvergenz des Fehlersy h (1)−y(1)
✸
R. Hiptmair
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25. April
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Viele unserer Resultate über Kollokationsverfahren (→ Sect. 2.2) bleiben gültig für die allgemeinere
Klasses der Runge-Kutta-Einschrittverfahren (mit im wesentlichen den gleichen Beweisen):
✗
✖
Lemmas 2.2.7, 2.2.13 bleiben gültig für Runge-Kutta-Einschrittverfahren aus Def. 2.3.5
✔
✕
2.3
p. 238

✬
✩
Lemma 2.3.23 (Konsistenz von Runge-Kutta-Einschrittverfahren).
Unter den Voraussetzungen von Lemma 2.2.7 ist ein Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→
Def. 2.3.5) konsistent (→ Def. 2.1.8) genau dann, wenn ∑ s
i=1 b i = 1.
✫
✪
Numerische
Mathemtik
Frage: Wann ist ein Runge-Kutta-Verfahren konsistent (⇒ konvergent, Thm. 2.1.19)
von der Ordnungp?
⇕
(Konsistenz-)Bedingungsgleichungen für Koeffizientena ij ,b i
Hilfsmittel zum Aufstellen
der Bedingungsgleichungen
: Taylor-Entwicklung (des Konsistenzfehlersτ(t,y,h)→Dff. 2.1.11)
Annahme:
f “hinreichend glatt”
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Beispiel 2.3.24 (RK-Bedingungsgleichungen für Konsistenzordnung).p = 3] [8, Sect. 4.2.2]
2.3
p. 239

Konsistenzfehler:
τ(t,y,h) := (Φ t,t+h −Ψ t,t+h )y (h hinreichend klein);.
Numerische
Mathemtik
Fokus: autonome Differentialgleichung ẏ = f(y),f “hinreichend glatt”
Fixiere Anfangswerty 0 ∈ D, O.B.d.A. t 0 = 0 (vgl. Bem. 1.1.15)
➊ Taylorentwicklung der kontinuierlichen Evolution inhumh = 0:
mit
ẏ(0) = f(y 0 ) ,
Φ h y 0 = y(h) = y 0 +ẏ(0)h+ 1 2ÿ(0)h2 + 1 6 y(3) (0)h 3 +O(h 4 ) , (2.3.25)
R. Hiptmair
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ÿ(0) = Df(y 0 )ẏ(0) = Df(y 0 )f(y 0 ) ,
y (3) (0) = D 2 f(y 0 )(ẏ(0),ẏ(0))+Df(y 0 )ÿ(0) = D 2 f(y 0 )(f(y 0 ),f(y 0 ))+Df(y 0 )Df(y 0 )f(y 0 ) .
Für analoge Überlegungen siehe auch Bsp. 2.1.15.
2.3
p. 240

Φ h y 0 = y 0 +hf(y 0 )+ 1 2 h2 Df(y 0 )f(y 0 )+
1
6
h 3 (Df(y 0 )Df(y 0 )f(y 0 )+D 2 f(y 0 )(f(y 0 ),f(y 0 )))+O(h 4 ) .
(2.3.26)
Numerische
Mathemtik
➋ Taylorentwicklung der diskreten Evolution inhumh = 0
⇕
Taylorentwicklung der Inkrementek i inhumh = 0
k i = f(y 0 +h
s∑
a ij k j ) =
j=1
⎛
= f(y 0 )+hDf(y 0 ) ⎝
s∑
j=1
⎞ ⎛
a ij k j
⎠+ 1 2 h2 D 2 f(y 0 ) ⎝
s∑
a ij k j ,
j=1
Einsetzen „kürzerer Taylorentwicklungen” anstelle der Inkremente
s∑
j=1
a ij k j
⎞
⎠+O(h 3 )
(2.3.27)
Inkremente werden mithmultipliziert !
R. Hiptmair
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2011
2.3
p. 241

k i =f(y 0 )+hDf(y 0 )
⎛
1
2
h 2 D 2 f(y 0 ) ⎝
=f(y 0 )+h
s∑
j=1
a ij
⎛
⎝f ( y 0 +hDf(y 0 )
s∑
a ij (f(y 0 )+O(h)),
j=1
·∑s
j=1 a ij
} {{ }
=c i , siehe Bem. 2.3.15
⎞
s∑
a il k l +O(h 2 ) ) ⎠+
l=1
⎞
s∑
a ij (f(y 0 )+O(h)) ⎠+O(h 3 )
j=1
Df(y 0 )f(y 0 )+
h 2( ∑ s )
a il c l Df(y0 )Df(y 0 )f(y 0 )+h 21 2 c2 i D2 f(y 0 )(f(y 0 ),f(y 0 ))+O(h 3 ) .
l=1
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.3
p. 242

Beachte: Ψ h y 0 = y 0 +h
➌
Ψ h y 0 = y 0 +
⎛
⎛
⎝h
s∑
b i k i ➤
i=1
s∑
i=1
⎝h 3 ∑ s s∑
b i
i=1
b i
⎞
⎠f(y 0 )+
j=1
Entwicklung bisO(h 3 ) ausreichend
⎛
⎝h 2 s ∑
i=1
b i c i
⎞
⎠Df(y 0 )f(y 0 )+
a ij c j
⎞
⎠Df(y 0 )Df(y 0 )f(y 0 )+
⎛ ⎞
⎝1
2
h 3 ∑ s b i c 2 i
⎠D 2 f(f(y 0 ),f(y 0 ))+O(h 4 ) .
i=1
Gleichsetzen der Koeffizienten der linear unabhängigen elementaren Differentiale
in (2.3.28) und (2.3.26)
1,f(y 0 ),Df(y 0 )f(y 0 ),Df(y 0 )Df(y 0 )f(y 0 ),D 2 f(y 0 )(f(y 0 ),f(y 0 ))
(2.3.28)
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Hinreichende & notwendige Bedingungsgleichungen für Konsistenzordnung p = 3 eines
(autonomisierungsinvarianten→ Rem. 2.3.15) RK-Verfahrens:
s∑
b i = 1 , (2.3.29)
i=1
2.3
p. 243

s∑
b i c i = 1 2 , (2.3.30)
i=1
s∑
b i c 2 i = 1 3 ,
i=1
s∑ s∑
b i a ij c j = 1 (2.3.31)
6 .
i=1 j=1
☞ (2.3.29) hinreichend & notwendig für Konsistenzordnungp = 1, siehe Lemma 2.3.23
Numerische
Mathemtik
☞ (2.3.29) + (2.3.30) hinreichend & notwendig für Konsistenzordnungp = 2
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Bemerkung 2.3.32 (Butcher-Bäume).
Allgemeiner kombinatorischer Algorithmus zum Aufstellen der RK-Bedingungsgleichungen: Butcher-
Bäume [8, Sect. 4.2.3], [16, Ch. III]
△
2.3
p. 244

➞
Konstruktion von RK-Verfahren vorgegebener Konvergenzordnung durch Lösen der (nichtlinearen)
Bedingungsgleichungen (vom Typ (2.3.29)-(2.3.31)):
p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
♯B.G. 1 2 4 8 17 37 85 200 486 1205 20247374
Numerische
Mathemtik
Einige Konvergenzordnungen von Runge-Kutta-Verfahren:
Explizite Verfahren
Expliztes Eulerverfahren (2.2.1) p = 1
Explizite Trapezregel (2.3.3) p = 2
Explizite Mittelpunktsregel (2.3.4) p = 2
Klassisches Runge-Kutta-V. (2.3.11) p = 4
Kuttas3/8-Regel (2.3.12) p = 4
Implizite Verfahren
Implizites Eulerverfahren (2.2.1) p = 1
Implizite Mittelpunktsregel (2.2.19) p = 2
Gauss-Kollokationsverfahren p = 2s
R. Hiptmair
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25. April
2011
Viele weitere RK-Verfahren ✄ [17, 18]
Ordnungsschranken:
Für explizite Runge-Kutta-Verfahren p ≤ s
Für allgemeine Runge-Kutta-Verfahren p ≤ 2s
➣ Gauss-Kollokationsverfahren realisieren maximale Ordnung
2.3
p. 245

Numerische
Mathemtik
Bemerkung 2.3.33 (“Butcher barriers” für explizite RK-ESV).
Ordnungp 1 2 3 4 5 6 7 8 ≥ 9
Minimale Stufenzahls 1 2 3 4 6 7 9 11 ≥ p+3
Eine allgemeine Formel für die minimale Stufenzahl konnte bisher nicht hergeleitet werden.
△
Bemerkung 2.3.34 (Warum Einschrittverfahren hoher Ordnung?).
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Die allgemeine Konvergenztheorie von Einschrittverfahren aus Abschnitt 2.1.3 liefert uns bei hinreichender
Glattheit der Lösung eines Anfangswertproblems die asymptotische Fehlerabschätzung
err(G) := max
k=1,...,N ‖y k −y(t k )‖ ≤ Ch p G für h G hinreichend klein, (2.3.35)
siehe Thm. 2.1.19, wobei die Konstante C > 0 nicht von der maximalen Zeitschrittweite h G > 0
abhängt, aber in der Regel nicht bekannt ist.
2.3
p. 246

Daher können wir aus (2.3.35) in der Regel keine Aussage über den Integrationsfehler auf einem
konkreten Zeitgitter machen (→ Diskussion am Ende von Abschnitt 2.1.1) und auch nicht die Zeitschrittweite
vorhersagen, die erforderlich ist, um eine gewünschte Genauigkeit zu erreichen.
Numerische
Mathemtik
Wie bereits bemerkt erlaubt die Abschätzung (2.3.35) unter der Annahme, dass sie scharf ist, nur die
Vorhersage
welche Reduktion des Integrationsfehlers bei Verringerung der Zeitschrittweite zu erwarten ist.
Annahme:
Abschätzung (2.3.35) ist scharf
Dann lässt sich vorhersagen, welcher Gewinn an Genauigkeit durch zusätzlichen Rechenaufwand für
die numerische Integration eines AWP zu erzielen ist.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Konvention: Rechenaufwand ∼ Gesamtzahl derf-Auswertungen
➣ Fürs-stufiges Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5):
Rechenaufwand ∼ s·Anzahl(Schritte) ∼ Csh −1 mit einer KonstantenC > 0
für uniformes Zeitgitter, Zeitschrittweiteh > 0
2.3
p. 247

Ziel: vorgegebene Reduktion des Fehlers: für0 < ρ < 1
err(G neu )
err(G alt )
!
= ρ
(2.3.35)
=⇒ hp neu
h p alt
!
= ρ ⇔ h neu = ρ 1 /p h alt .
Numerische
Mathemtik
Faustregel für ein RK-ESV der (Konsistenz- = Konvergenz-)Ordnungp ∈ N (uniformer Zeitschritt)
✛
✘
Erhöhung des Rechenaufwands um Faktorρ − 1/p
Erwarte Fehlerreduktion im Faktorρ
✚
✙
☞
Je höher die Ordnung, desto weniger relativer Zusatzaufwand ist für eine Reduktion des Fehler
um einen vorgegebenen Faktor erforderlich.
△
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.4
p. 248

2.4 Extrapolationsverfahren [8, Sect. 4.3]
Numerische
Mathemtik
2.4.1 Der Kombinationstrick
Einschrittverfahren für Anfangswertproblem
ẏ = f(t,y) , y(t 0 ) = y 0 , (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω , ((1.1.13))
betrachtet auf[t 0 ,T], liefert Gitterfunktiony G = (y k ) N k=1 als Lösung:y k ≈ y(t k ),t N = T .
R. Hiptmair
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2011
Bei äquidistanter Zeitschrittweiteh > 0, schreiben wir auchy h (t k ) := y k , alsoy h (T) = y N .
Sect. 2.1.3: Einschrittverfahren fürẏ = f(y), konvergent von Ordnungp
∃C > 0: ‖y h (T)−y(T)‖ ≤ Ch p fürh → 0, N = T/h ∈ N .
2.4
p. 249

(Annahme: Äquidistante Zeitschritte der Längeh > 0)
Spekulation: ∃c ∈ R d : y h (T)−y(T) = ch p +O(h p+1 ) fürh → 0 . (2.4.1)
Numerische
Mathemtik
y h (T)−y(T) = ch p +O(h p+1 )
y h /2 (T)−y(T) = c2−p h p +O(h p+1 )
(I)
(II)
(I)-2 p·(II): y h (T)−2 p y h /2 (T)−(1−2p )y(T) = O(h p+1 ) ,
⇒
y h (T)−2 p y h /2 (T)
1−2 p −y(T) = O(h p+1 ) .
kombiniertes Verfahren, konvergent von Ordnungp+1!
Beispiel 2.4.2 (Konvergenz kombinierter Verfahren).
R. Hiptmair
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AWP für logistische Differentialgleichung (2.2.84): (→ Bsp. 1.2.1)
ẏ = λy(1−y) , y 0 = 0.01 ⇒ y(t) =
1
1+99·e −λt , t ∈ R .
Basisverfahren: Explizites Euler-Verfahren (1.4.2),p = 1
Explizite Trapezregel (2.3.3),p = 2
2.4
p. 250

Logistic ODE on [0;1], y(0) = 0.01, λ = 10
Logistic ODE on [0;1], y(0) = 0.01, λ = 10
10 −3
expl. trapezoidal rule combined
simple expl. trapezoidal rule
O(h 3 )
Numerische
Mathemtik
10 −3
10 −4
|y h
(1)−y(1)|
10 −4
10 −5
|y h
(1)−y(1)|
10 −5
10 −6
10 −7
10 −8
10 −6
10 −7
10 −2 h
Euler combined
simple Euler
O(h 2 )
10 −3 10 −2 10 −1
Euler-Verfahren
Fig. 76
10 −9
10 −10
10 −2 h
10 −3 10 −2 10 −1
Explizite Trapezregel
Fig. 77
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
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Beachte: Falls h ↦→ y h (T) glatt, Verfahren konvergent von Ordnung p, dann ist (2.4.1) naheliegend:
Taylorentwicklung !
Dies wird in Abschnitt 2.4.3 vertieft.
2.4
p. 251

2.4.2 Extrapolationsidee
Numerische
Mathemtik
Erinnerung (→ Vorlesung „Numerische Methoden”): Romberg-Quadratur (→ [9, Sect. 9.4])
Abstrakter Rahmen:
Problem: Π : X ↦→ R d , gesuchtΠ(x 0 ) für festesx 0 ∈ X,X ˆ= Datenraum
{
Familie numerischer Näherungsverfahen Π h : X ↦→ R d} h ➤ NäherungenΠ h(x o ) ≈ Π(x 0 )
Π h abhängig von skalarem Diskretisierungsparameterh > 0 (z.B. Zeitschrittweite)
R. Hiptmair
rev 35327,
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BerechneΠ h (x 0 ) fürh ∈ {h 1 ,...,h k } („Schrittweitenfolge”,h i > h i+1 )
Berechne Interpolationspolynomp ∈ (P k−1 ) d mit
p(h i ) = Π hi (x 0 ), i = 1,...,k .
Bessere (?) Näherung
Π(x 0 ) ≈ p(0)
2.4
p. 252

Beispiel 2.4.3 (Romberg-Quadratur).
Numerische
Mathemtik
Interpretation des abstrakten Rahmens für die Romberg-Quadratur: X = C 0 ([a,b]), a,b ∈ R,
a < b
Π(f) :=
∫b
a
f(x)dx , Π h := h N−1
2 f(a)+h ∑
Π h ˆ= Trapezregel zur numerischen Quadratur
j=1
f(a+j b−a
N )+ h 2 f(b) , h := 1 N ,
Diskretisierungsparameter h =
N 1 , N ∈ N (“Maschenweite” der Trapezregel):
Werte annehmen !
R d
kann nur diskrete
✸
R. Hiptmair
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Visualisierung:
Idee von Extrapolationsverfahren
✄
h ↦→ Π h (x 0 )
Π h1 (x 0 )
Π h2 (x 0 )
exakter Wert
Π(x 0 )
Π h3 (x 0 )
h
2.4
p. 253

Bemerkung 2.4.4 (Skalierungsinvarianz der Extrapolation).
Numerische
Mathemtik
p(t) ∈ P k−1 ˆ= Interpolationspolynom zu(t 1 ,y 1 ),...,(t k ,y k )
˜p(t) ∈ P k−1 ˆ= Interpolationspolynom zu(ξt 1 ,y 1 ),...,(ξt k ,y k ) für einξ ∈ R
p(0) = ˜p(0)
(Wenn p(t) = ∑ s
j=0 a j t j , dann haben alle Polynome p ξ (t) = ∑ s
j=0 a j (ξt) j offensichtlich den gleichen
Wert fürt = 0.)
Es genügt, die Verhältnisse η i := h 1
h i
zu spezifizieren !
△
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Algorithmus: Aitken-Neville-Schema [9, Sect. 9.4] → Vorlesung „Numerische Methoden”
2.4
p. 254

Rekursive Berechnung der Werte von Interpolationspolynomen
fürh = 0,p = 1:
T i1 := Π hi (x 0 ) , i = 1,...,k , (2.4.5)
T il := T i,l−1 + T i,l−1−T i−1,l−1
h i−l+1
h i
−1
Extrapolationstableau
, 2 ≤ l ≤ k .
(2.4.6)
✄
T 11
ց
T 21 → T 22
. ...
T k−1,1 → ··· → T k−1,k−1
ց ց ց
T k1 → ··· → T k,k−1 → T kk
Numerische
Mathemtik
MATLAB-CODE : Aitken-Neville-Extrapolation
function T = anexpol(y,h)
k = length(h);
T(1) = y(1);
for i=2:k
T(i) = y(i);
for l=i-1:-1:1
T(l)=T(l+1)+(T(l+1)-T(l))/...
end
end
(h(l)/h(i)-1);
η l : η i
T(1) T(2) T(3) ··· T(k)
T 11 = y 1
↓
T 22 ← T 21 = y 2
↓ ↓
T 33 ← T 32 ← T 31 = y 3
↓ ↓ ↓
.
.
↓ ↓ ↓
T kk ← T k,k−1 ← ··· ← T k,1
Ausgabe:
unterste Tableauzeile absteigend
.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.4
p. 255

☞
Extrapolation „funktioniert”, wenn
• lim
h→0
Π h (x 0 ) = Π(x 0 ) ˆ= Konvergenz,
•h ↦→ Π h (x 0 ) „sich für kleinehwie ein Polynom verhält.”
Numerische
Mathemtik
Definition 2.4.7 ((Abgeschnittene) asymptotische Entwicklung).
h ↦→ Π h (x 0 ) (x 0 ∈ X fest) besitzt eine (abgeschnittene) asymptotische Entwicklung in h bis
zur Ordnung k, falls es Konstanten (∗) α 0 , α 1 ,...,α k ∈ R d und eine für hinreichend kleine h
gleichmässig beschränkte Funktionh ↦→ R k (h) gibt, so dass
Π h (x 0 ) = α 0 +α 1 h+α 2 h 2 +···+α k h k +R k (h)h k+1 für kleineh > 0 .
(∗)α i Konstanten ˆ=α i unabhängig vonh!
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Klar: Hinreichend & notwendig für Konvergenz: α 0 = Π(x 0 )
2.4
p. 256

✬
✩
Theorem 2.4.8 (Konvergenz extrapolierter Werte).
Π h (x 0 ) besitze asymptotische Entwicklung in h bis zur Ordnung k gemäss Def. 2.4.7. Dann
erfüllen die Werte aus dem Extrapolationstableau, siehe (2.4.5), (2.4.6), für hinreichend kleine
h j > 0
Numerische
Mathemtik
∥
∥T i,l −α 0
∥ ∥∥ ≤ ‖αl ‖h i−l+1·····h i +C ·
wobeiC > 0 nur von den Verhältnissenh i : h j abhängt.
i∑
j=i−l+1
∥
∥R k (h j ) ∥ ∥h l+1
j
, 1 ≤ i,l ≤ k ,
✫
✪
Beweis: Jedes T i,k aus dem Extrapolationstableau lässt sich als “Endwert” T kk eines Teiltableaus
interpretieren ➥ Es genügt, den Beweis füri = l = k zu führen
R. Hiptmair
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2011
Voraussetzung: Existenz einer (abgeschnittenen) asymptotischen Entwicklung → Def. 2.4.7
T i,1 = Π hi (x 0 ) = α 0 +α 1 h i +α 2 h 2 i +···+α kh k i +R k(h)h k+1
i für kleinesh i > 0 .
Extrapolationspolynom zu (h i ,T i,1 ), i = 1,...,k: q ∈ P k−1 , dargestellt durch
Lagrange-Polynome, siehe (2.2.2)
q(t) =
k∑
T i,1 L i (t) , L i ∈ P k−1 , L i (h j ) = δ ij , i,j = 1,...,k .
i=1
2.4
p. 257

k∑
i=1
L i (0)h j i = ⎧
⎪⎨
⎪ ⎩
1 fürj = 0 ,
0 für1 ≤ j ≤ k −1 ,
(−1) k−1 h 1·····h k fürj = k .
(2.4.9)
Numerische
Mathemtik
Nachweis von (2.4.9): für0 ≤ j ≤ k−1 stimmtr j (t) := ∑ k
i=1 h j i L i(t) ∈ P k−1 mitt ↦→ t j überein.
Fürj = k hatt k −r k (t) ∈ P k die Nullstellenh i ,i = 1,...,k und führenden Koeffizienten1:
t k −r k (t) = (t−h 1 )·····(t−h k ) .
Damit folgt (2.4.9).
T k,k = q(0) =
=
k∑
L i (0)T i,1 =
i=1
k∑ k∑
α j h j i L i(0)+
j=0
i=1
k∑
L i (0)
i=1
k∑
i=1
⎛
⎝
k∑
j=0
L i (0)R k (h i )h k+1
i
(2.4.9)
= α 0 +α k ·(−1) k−1 h 1·····h k +
k∑
i=1
α j h j i +R k(h i )h k+1
i
L i (0)R k (h i )h k+1
i
.
Also gilt die Behauptung mit C := max |L i(0)|. Beachte, dass L i (0) nur von den Verhältnissen
i=1,...,l
h i : h j abhängt, siehe Bem. 2.4.4.
✷
⎞
⎠
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.4
p. 258

2.4.3 Extrapolation von Einschrittverfahren
Numerische
Mathemtik
Anfangswertproblem (1.1.13): ẏ = f(t,y), y(t 0 ) = y 0 ➣ Lösungt ↦→ y(t)
Das Anfangswertproblem wird betrachtet auf festem Zeitintervall
[t 0 ,T]
Annahme: f „hinreichend” glatt ⇔ y(t) „hinreichend” glatt
Gegeben: Konsistentes Einschrittverfahren ↔ diskrete Evolution (→ Lemma 2.1.9)
Ψ t,t+h y = y+hψ(t,y,h) , ψ(t,y,0) = f(t,y) , (t,y) ∈ Ω, h klein . (2.4.10)
Annahmen: Inkrementfunktionψ stetig differenzierbar in(t,y)
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
ESV hat Konsistenzordnung = Konvergenzordnungp ∈ N (→ Thm. 2.1.19)
Gegeben: EndzeitpunktT ∈ J(t 0 ,y 0 ) ➥ uniforme Zeitschrittweiteh = (T−t 0 )/N,N ∈ N
Einschrittverfahren ➡ Gitterfunktion{y k } N k=0 , y N ≈ y(T)
2.4
p. 259

✬
✩
Theorem 2.4.11 (Asymptotische Entwicklung des Diskretisierungsfehlers von ESV).
Es existieren ein K ∈ N (abhängig von der Glattheit von f) und glatte Funktionen e i :
J(t 0 ,y 0 ) ↦→ R d , i = p,p+1,...,p+K, mit e i (0) = 0 und (für hinreichend kleine h) gleichmässig
beschränkte Funktionen(T,h) ↦→ r k+p+1 (T,h),0 ≤ k ≤ K, so dass
Dabei gilt
✫
y N −y(T) =
k∑
e l+p (T)h l+p +r k+p+1 (T,h)h k+p+1 für kleinesh .
l=0
∥
∥r k+p+1 (T,h) ∥ = O(T −t 0 ) fürT −t 0 → 0 gleichmässig inh < T ,
‖e(T)‖ = O(T −t 0 ) fürT −t 0 → 0.
Beweis. Annahme: f,y(t) „hinreichend” glatt
Numerische
Mathemtik
✪
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Weiter nehmen wir globale Lipschitz-Stretigkeit der Inkrementfunktionψ des ESV aus (2.4.10) an:
∃L > 0: ‖ψ(t,z,h)−ψ(t,w,h)‖ ≤ L‖z−w‖ gleichmässig int 0 ≤ t ≤ T, h . (2.4.12)
(Kompaktheitsargumente, vgl. Beweis von Thm. 2.1.19, machen Verzicht auf diese Annahme möglich.)
Konsequenz der Konsistenzordnung p (→ Def. 2.1.13) und Glattheit von f: für Konsistenzfehler (→
2.4
p. 260

Def. 2.1.11) entlang der Lösungstrajektorie (nur dort wird die Konsistenzfehlerabschätzung im Beweis
von Thm. 2.1.19 gebraucht !) gilt
Numerische
Mathemtik
τ(t,y(t),h) := y(t+h)−Ψ t,t+h y(t) = d(t)h p+1 +O(h p+2 ) fürh → 0 , (2.4.13)
mit stetiger Funktiond : [t 0 ,T] ↦→ R d . Dies ergibt sich mit Taylorentwicklung, siehe Bsp. 2.3.24:
RK-ESV: d hängt nur von Ableitungen vonf ab ➢ d “hinreichend glatt”
Idee: Betrachte ESV mit modifizierter Inkrementfunktion
̂ψ(t,u,h) := ψ(t,u+e(t)h p ,h)−(e(t+h)−e(t))h p−1 , (2.4.14)
mit “hinreichend glatter” Funktione : [t 0 ,T] ↦→ R d .
Beachte: Auch ̂ψ erfüllt (2.4.12) mit dem gleichenL > 0.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Warum betrachten wir dieses modifizierte ESV ?
y j /ŷ j , j = 0,...,N ˆ= Gitterfunktionen erzeugt durch ursprüngliches/modifiziertes ESV mit Zeitschrittweiteh
:= (T−t 0)
N . Setzeŷ 0 = y 0
ŷ j = y j −e(t j )h p , t j := t 0 +jh , j = 0,...,N . (2.4.15)
2.4
p. 261

Beweis von (2.4.15) durch Induktion:
ŷ j+1 = ŷ j +ĥψ(t j ,ŷ j ,h)
(2.4.14)
= ŷ j +hψ(t j ,ŷ j +e(t j )h p ,h)−h p (e(t j+1 )−e(t j ))
(∗)
= y j +hψ(t j ,y j ,h)
} {{ }
=y j+1
−e(t j+1 )h p .
Numerische
Mathemtik
(∗)←Induktionsannahme.
R. Hiptmair
Annahme: Das modifizierte Einschrittverfahren ist konsistent mitẏ = f(t,y) zur Ordnungp+1
rev 35327,
25. April
2011
Thm. 2.1.19
⇒ ŷ N −y(T) = r p+1 (T,h)h p+1 ,
∥
∥r p+1 (T,h) ∥ ∥ ≤ C exp(L(T −t 0))−1
L
} {{ }
=O(T−t 0 ) für T−t 0 →0
,
mit C > 0 unabhängig von h,T . L ˆ= gemeinsame Lipschitz-Konstante von ψ, ̂ψ (bzgl. y) aus
(2.4.12)
(2.4.15)
⇒ y N −y(T) = e(T)h p +r p+1 (T,h)h p+1 .
2.4
p. 262

Damit haben wir das erste Glied der asymptotischen Entwicklung des Theorems erhalten.
Numerische
Mathemtik
Induktive Anwendung des Arguments ➢ Modifizierte ESVen ̂Ψ 1 := ̂Ψ, ̂Ψ 2 ,..., ̂Ψ k+1 konsistent
zu ẏ = f(t,y) mit Ordnungen p + 1,p + 2,...,p + k + 1 erzeugen Näherungslösungen ŷ 1 j :=
ŷ j ,ŷj 2,...,ŷk+1
j
,j = 1,...,N.
Mitŷ 0 k = y k (Teleskopsumme)
ŷ l+1
j
= ŷj l −e l(t j )h p+l , l = 0,...,k .
k∑
y N −y(T) = ŷN l −ŷl+1 N +r p+k+1(T,h)h p+k+1
=
l=0
k∑
e l (T)h p+l +r p+k+1 (T,h)h p+k+1 .
l=0
Daraus folgt die Behauptung des Theorems.
?
Existenz vone(t) so dass das modifizierte ESV Konsistenzordnungp+1 besitzt.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
☞
Betrachte den Konsistenzfehler des modifizierten Verfahrens & Taylorentwicklung(en)
y(t+h)− ̂Ψ t,t+h y(t) = y(t+h)−y(t)−ĥψ(t,y(t),h)
2.4
p. 263

= y(t+h)−y(t)−hψ(t,y(t)+e(t)h p ,h)+(e(t+h)−e(t))h p
(
= y(t+h)−y(t)−h ψ(t,y(t),h)+ ∂ψ
)
∂y (t,y(t),h)e(t)hp +O(h 2p ) +ė(t)h p+1 +O(h p+2 )
( )
(2.4.13)
= d(t)h p+1 +O(h p+2 ∂ψ
)−
∂y (t,y(t),0)+ ∂2 ψ
∂y∂h (t,y(t),0)h e(t)h p+1
+ė(t)h p+1 +O(h p+2 )
= (d(t)− ∂f
∂y (t,y(t))e(t)+ė(t))hp+1 +O(h p+2 ) .
Löstefolgendes AWP für eine inhomogene linear Variationsgleichung
ė(t) = ∂f (t,y(t))e(t)−d(t) , e(0) = 0 ⇒ e glatt , (2.4.16)
∂y
✷
dann ist die Annahme über das modifizierte ESV erfüllt.
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Logisch:
K hängt von der Glattheit vonf ab.
2.4
p. 264

Idee: Ordnungserhöhung durch Extrapolation (→ Sect. 2.4.2)
WähleN 1 < N 2 < ··· < N k+1 ,N i ∈ N
Numerische
Mathemtik
ESV (Schrittweiteh i = (T−t 0 )/N i ) lieferty Ni ,i = 1,...,k +1
Polynomextrapolation(∗) aus(h i ,y hi ,N i
)
➥ Näherungỹ mit‖ỹ−y(T)‖ = O(h p+k
1
) (vgl. Thm. 2.4.8)
(∗): Thm. 2.4.11 ➤ Extrapolation basierend auf Polynom der Form
p(t) = α 0 +α p h p +α p+1 h p+1 +···+α p+k−1 h p+k−1 !
R. Hiptmair
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25. April
Thm. 2.4.11 erfordert „hinreichend kleines”h
2011
Nicht nury(T) von Interesse, sondern (genäherte) Lösungt ↦→ y(t)
Anwendung der Extrapolationsidee auf Intervallen eines Zeitgitters G := {t 0 < t 1 < ··· < 2.4
t N = T} ↔ Makroschritte: auf[t j ,t j+1 ], MakroschrittweiteH j := t j+1 −t j
p. 265
2.4.4 Lokale Extrapolations-Einschrittverfahren

Fixiere Sequenz(n l ) k+1
l=1 ,n l ∈ N, z.B.(1,2,3,4,5,6,...) ↔ Anzahl Mikroschritte
n l Schritte des ESV mit Startwerty j , Schrittweiteh = t j+1−t j
n
➥ y l l j+1
,l = 1,...,k +1
(ESV = Basisverfahren, Ordnungp)
Numerische
Mathemtik
Polynomextrapolation(∗) aus(n −1
l
,y l j+1 ) ➥ y j+1 vgl. Bem. 2.4.4
Extrapolations-Einschrittverfahren der Ordnungp+k
MATLAB-CODE : Einzelschritt, lokales Extrapolations-ESV, skalare ODE
function y = expesvstep(esvstep,y,t,h,n)
for i=1:length(n)
yt(i) = y;
ht = h/n(i); tt = t;
for j=1:n(i)
yt(i) = esvstep(yt(i),tt,ht);
tt = tt + ht;
end
T = anexpol(yt,1./n,p);
return(T(1));
esvstep(y,t,h) ˆ= ein Schritt
des Basisverfahrens, Schrittweite
h, ausgehend vom Zustand(t,y):
esvstep(y,t,h) := Ψ t,t+h y
n ˆ= Vektor(n l ) k+1
l=1
anexpol ˆ= verallgemeinerte
Version für Extrapolationspolynom
p(t) = α 0 + α p h p + α p+1 h p+1 +
···+α p+k−1 h p+k−1
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2011
2.4
p. 266

Ablauf: Lokales Extrapolations-Einschrittverfahren (n 1 = 1,n 2 = 2,n 3 = 3)
D
Numerische
Mathemtik
H j H j+1 H j+2
Fig. 78
• ˆ=y j
•↔n 1 = 1
•↔n 1 = 2
•↔n 1 = 3
ˆ= Extrapolation
t j−1 t j t j+1
t
Beispiel 2.4.17 (Extrapoliertes Euler-Verfahren).
R. Hiptmair
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2011
2.4
p. 267

AWP für logistische Dgl. (→ Bsp. 1.2.1)
ẏ = 5y(1−y) , y(0) = 0.02 .
10 −2
Numerische
Mathemtik
10 0 macro step h
Endzeit: T = 1 Basis-ESV: explizites Euler-
Verfahen (1.4.2)
Extrapolation: verschiedenek,n l ,l = 1,...,k+1,
uniforme Makroschrittweiteh
Fehler
max
j
|y(t j )−y j | .
10
Algebraische Konvergenz der Ordnungk+1 ✄ −10
10 −3 10 −2 10 −1
error
10 −4
10 −6
10 −8
(1,2)
(1,2,3)
(1,2,4)
(1,4,16)
O(h 2 )
O(h 3 )
O(h 4 )
✸
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Theoretische Analyse ↔ Verifikation der Voraussetzungen von Thm. 2.1.19
Überlegungen für Spezialfallp = 1 ↔ Euler-Verfahren, vgl. Bsp. 2.4.17
Notationen:
t ↦→ y(t) ˆ= exakte Lösung durch(t,y) ∈ Ω
2.4
p. 268

H > 0 ˆ= Schrittweite des Makroschritts
n 1 ,...,n k+1 ˆ= Anzahl von Mikroschritten in[t,t+H]
y N ˆ= Resultat der Anwendung von N Schritten des Basis-Einschrittverfahrens auf [t,t+H] mit
uniformer Schrittweiteh := H/N und Startwerty
ŷ ˆ= durch Extrapolation ausy n1 ,y n2 ,...,y nk+1 gewonnener Näherungswert füry(t+H)
Numerische
Mathemtik
Konsistenzfehler (→ Def. 2.1.11): τ(t,y,H) = y(t+H)−ŷ .
Zu zeigen ist: Konsistenzordnungk +1 ↔ ‖τ(t,y,H)‖ = O(H k+2 )
➀ Lokale Anwendung von Thm. 2.4.11 mitt 0 = t,T = t+H: für hinreichend grossesK ∈ N
K∑
⇒ y N −y(t+H) = e l (t+H)h l +r K (t+H,h)h K+1 , h = H/N ,
wobei ☞
☞
l=1
‖r K (t+H,h)‖ ≤ CH
‖e(t+H)‖ ≤ CH
mitC > 0 unabhängig vontund (hinreichend kleinem)h.
R. Hiptmair
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➁ Damit aus Thm. 2.4.8
‖ŷ−y(t+H)‖ ≤ ‖e k+1 (t+H)‖h 1·····h k+1 +C
k∑
j=1
∥ r j (t+H,h j ) ∥∥ h k+2
j
,
2.4
p. 269

wobeiC > 0 nur von den Verhältnissenn j : n l abhängt.
⇒ ‖ŷ−y(t+H)‖ ≤ CH k+2 ,
Numerische
Mathemtik
mitC > 0 unabhängig vonH.
Bemerkung 2.4.18 (Extrapolationsverfahren als Runge-Kutta-Verafhren).
Basisverfahren: Explizites Euler-Verfahren (1.4.2), Ordnungp = 1
➜ Polynomextrapolation zur Sequenz (1,2,3,4,...,k) liefert explizites (→ Def. 2.1.5)
Runge-Kutta-Verfahren (→ Def. 2.3.5) der Ordnungk mits = k(k −1)/2+1 Stufen.
△
R. Hiptmair
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2011
2.4
p. 270

2.4.5 Ordnungssteuerung
Numerische
Mathemtik
Für Extrapolations-Einschrittverfahren:
k = k(j) einfach zu realisieren
Idee: [(lokale) Ordnungssteuerung]
✗
✖
„Erhöhe lokale Ordnung, bis es sich nicht mehr lohnt(∗)”
✔
✕
(∗) Heuristisches Beurteilungskriterium (basierend auf Aitken-Neville-Extrapolationstableau (2.4.6)):
∥
∥T k,k−1 −T k,k
∥ ∥∥ ≤ TOL·∥ ∥∥Tk,k
∥ ∥∥ für ToleranzTOL > 0 .
Zweitbeste Näherung
beste Näherung
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2.4
p. 271

MATLAB-CODE : Adaptives Euler-Extrapolationsverfahren
function [y,k] = eulexstep(f,y,H,TOL)
kmax = 1000;
T{1} = y + H*f(y);
for i=2:kmax
T{i} = y; h = H/i;
for k=1:i, T{i} = T{i} + h*f(T{i}); end
for l=i-1:-1:1
T{l} = T{l+1} + (T{l+1}-T{l})/(i/l-1);
end
if (norm(T{1}-T{2}) < TOL*norm(T{1}))
y = T{1}; k = i; return;
end
Beachte:
Adaptives
Euler-Extrapolationsverfahren:
(für autonomes AWP)
Makroschritt der LängeH
Argumente:
f
: Funktionshandlef=@(y)
auf rechte Seite
y : Anfangswert zut = 0
TOL : Toleranz
Rückgabewerte:
y : Näherung zut = H
Einfache Erweiterung des Extrapolationstableaus um eine weitere Zeile
Beispiel 2.4.19 (Euler-Extrapolationsverfahren mit Ordnungssteuerung).
k : Verwendete Extrapolationstiefe
Numerische
Mathemtik
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Bewegung eines geladenen Teilchens im Feld eines geraden Drahtes = Linienladung (konservatives
Zentralfeld, Zentrum ( 0
0
)
, PotentialU(x) := −2log‖x‖): → Bsp. 1.2.25
ÿ = − 2y
‖y‖ 2 ⇒
( ˙ y
v)
=
( ) v
− 2y
‖y‖ 2
, y(0) =
( )
−1
, v(0) =
0
( )
0.1
−0.1
.
2.4
p. 272

Anfangswert: y(0) = (−1,0,0.1,−0.1), Endzeitpunkt: T = 4
Numerische
Mathemtik
y 2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
4
3
2
1
0
−1
y (t) 1
y (t) 2
v 1
(t)
v (t) 2
−0.6
−2
−0.8
Exakte Bahn
−1
−1 −0.5 0 0.5 1
y 1
−3
−4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
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Beobachtung:
„Peaks” in der Lösungskomponentev(t) (= zeitlokale Charakteristika)
Ordnungsadaptives Euler-Extrapolationsverfahren (TOL = 0.01), uniforme MakrozeitschrittweiteH =
0.02
2.4
p. 273

0.6
0.4
5
y (t ) (Naeherung)
1 k
y (t ) (Naeherung)
2 k
v 1
(t k
) (Naeherung)
20
Numerische
Mathemtik
v 2
(t k
) (Naeherung)
0.2
y 2
(t)
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
y 1
(t)
Fig. 79
y i
(t)
0
10
−5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0
t
Local extrapolation depth
Fig. 80
✄ Automatische Erhöhung der Ordnung an „kritischen Stellen”
✸
R. Hiptmair
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2.4.6 Extrapolation reversibler Einschrittverfahren
Beispiel 2.4.20 (Extrapolierte implizite Mittelpunktsregel).
2.4
p. 274

Anfangswertproblem aus Bsp. 1.4.9 (logistische Dgl., siehe Bsp. 1.2.1), λ = 10, y 0 = 0.01, aus
[0,1] (T = 1)
Numerische
Mathemtik
Einschrittverfahren: implizite Mittelpunktsregel (1.4.19)
Globale Extrapolation (→ Abschnitt 2.4.3) von y h (T) aus Lösungen erhalten durch uniforme
Schrittweiten h/n i
Beachte: Extrapolation auf der Grundlage des Standard-Tableaus (2.4.5)
Implicit MPR (extr.), logistic ODE, λ = 10.000000, y0 = 0.010000, T = 1.000000
10 −2
|y N
−y(T)|
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
10 0 h
No extrapolation
n=(1,2)
n=(1,2,3)
n=(1,2,3,4)
n=(1,2,3,4,5)
O(h 2 )
O(h 4 )
O(h 6 )
10 −2 10 −1 10 0
Fig. 81
✁ Ordnungserhöhung nur in jedem zweite Extrapolationsschritt
Ordnungserhöhung um jeweils zwei
✸
R. Hiptmair
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2011
2.4
p. 275

Beobachtung aus Bsp. 2.4.20 einfach zu erklären, falls
y h (T) = y(T)+α 1 h 2 +α 2 h 4 +α 6 h 6 +··· .
Numerische
Mathemtik
Beispiel 2.4.21 (Globaleh 2 -Extrapolation für implizite Mittelpunktsregel).
(Fast) wie Bsp. 2.4.20
NEU:
y N aus Extrapolation inh 2
Implicit MPR (h 2 extr.), logistic ODE, λ = 10.0, y0 = 0.01, T = 1.0
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
10 0 h
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|y N
−y(T)|
✁ Ordnungserhöhung um zwei in jedem Extrapolationsschritt
!
No extrapolation
n=(1,2)
n=(1,2,3)
O(h 2 )
O(h 4 )
O(h 6 )
10 −2 10 −1 10 0
Fig. 82
✸
2.4
p. 276

✬
✩
Theorem 2.4.22 (Asymptotische Entwicklung des Diskretisierungsfehlers inh 2 ).
Bezeichne y h (t), t ∈ äquidistantes Zeitgitter mit Schrittweite h > 0 auf [t 0 ,T], die durch ein
reversibles Einschrittverfahren (→ Def. 2.1.27) erzeugte Näherungslösung eines Anfangswertproblemsẏ
= f(t,y),y(t 0 ) = y 0 , mit exakter Lösungt ↦→ y(t).
Dann existieren ein K ∈ N (abhängig von der Glattheit von f) und glatte Funktionen e i :
J(t 0 ,y 0 ) ↦→ R d , i = 1,...,K, mit e i (0) = 0 und (für hinreichend kleine h) gleichmässig
beschränkte Funktionen(T,h) ↦→ r k (T,h),0 ≤ k ≤ K, so dass
✫
y h (T)−y(T) =
k∑
e l (T)h 2l +r k (T,h)h 2k+2 für kleinesh .
l=1
Dabei gilt ‖r k (T,h)‖ = O(T −t 0 ) fürT −t 0 → 0 gleichmässig inh < T .
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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✪
2011
Beweis. Siehe [8, Satz 4.42] ✷
2.4
p. 277

Bemerkung 2.4.23 (DIFEX).
Numerische
Mathemtik
Praktische Extrapolationsverfahren stützen sich auf explizite Verfahren, deren Fehler eine asymptotische
Entwicklung inh 2 besitzt (eine spezielle Trapezregel)
➣ DIFEX-Algorithmus [8, Sect. 4.3.3]
△
2.5 Splittingverfahren [16, Sect. 2.5]
R. Hiptmair
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Autonomes AWP mit additiv zerlegter rechter Seite:
ẏ = f(y)+g(y) , y(0) = y 0 , (2.5.1)
mitf : D ⊂ R d ↦→ R d ,g : D ⊂ R d ↦→ R d “hinreichend glatt”, lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2)
(Kontinuierliche) Evolutionen:
Φ t f ↔ Dgl. ẏ = f(y) ,
Φ t g ↔ Dgl. ẏ = g(y) .
2.5
p. 278

Annahme:
Φ t f ,Φt g
(analytisch) bekannt
Numerische
Mathemtik
Idee: Konstruiere Einschrittverfahren mit diskreten Evolutionen
Lie-Trotter-Splitting: Ψ h = Φ h g ◦Φ h f , (2.5.2)
Strang-Splitting: Ψ h = Φ h /2
f
◦Φ h g ◦Φ h /2
f
. (2.5.3)
(2.5.2) ↔
y 1
Ψ h
Φ h g
y 0
Φ h f
Fig. 83
(2.5.3) ↔
Beispiel 2.5.4 (Konvergenz einfacher Splittingverfahren).
√
ẏ = λy(1−y) + 1−y
} {{ }
2
} {{ }
=:f(y) =:g(y)
Φ h /2
f y 1
Ψ h Φ h g
y 0
, y(0) = 0 .
Φ h /2
f
Fig. 84
R. Hiptmair
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2011
2.5
p. 279

Φ t f y = 1
1+(y −1 −1)e−λt, t > 0,y ∈]0,1] (Logistische Differentialgleichung (2.2.84))
{
Φ t sin(t+arcsin(y)) , fallst+arcsin(y) <
π
gy =
2
,
t > 0,y ∈ [0,1] .
1 , sonst,
Numerische
Mathemtik
Numerisches Experiment:
T = 1, λ = 1, Vergleich von Splittingverfahren
10 −3
(konstante Schrittweite) mit hochgenauer numeri-
|y(T)−y h
(T)|
10 −4
10 −5
10 −6
10 −2 Zeitschrittweite h
Lie−Trotter−Splitting
Strang−Splitting
O(h)
O(h 2 )
10 −2 10 −1
Fig. 85
scher Lösung erhalten durch
f=@(t,x) λ*x*(1-x)+sqrt(1-x^2);
options=odeset(’reltol’,1.0e-10,...
’abstol’,1.0e-12);
[t,yex]=ode45(f,[0,1],y0,options);
✁ Fehlerverhalten zum EndzeitpunktT = 1
✸
R. Hiptmair
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2011
✬
Theorem 2.5.5 (Konsistenzordnung einfacher Splittingverfahren). Die ESV (2.5.2) und (2.5.3)
haben die Konsistenzordnungen (→ Def. 2.1.13) 1 bzw. 2.
✫
✩
✪
2.5
p. 280

Beweis.
Für den Konsistenzfehler (→ Def. 2.1.11) haben wir nach Def. 2.1.13 zu zeigen (wir betrachten
autonome ODEs!)
∥
‖τ(t,y,h)‖ = ∥Φ h y−Ψ h y∥ =
Der Beweis wird hier für das Strang-Splitting geführt.
{
O(h 2 ) fürΨ aus (2.5.2) ,
O(h 3 ) fürΨ aus (2.5.3) .
Numerische
Mathemtik
Übliche Annahme:
f,ghinreichend glatt.
Technik:
Taylorentwicklung
Taylorentwicklung der exakten Evolution nachh, vgl. (2.3.25):
Φ h y =y+ẏ(0)h+ 1 2ÿ(0)h2 +O(h 3 )
=y+h(f(y)+g(y))+ 1 2 h2 (Df(y)+Dg(y))(f(y)+g(y))+O(h 3 ) .
(2.5.6)
R. Hiptmair
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2011
Taylorentwicklung der partiellen EvolutionenΦ h f ,Φh g
nachh, vgl. (2.3.25)
Φ h f y = y+hf(y)+ 1 2 h2 Df(y)f(y)+O(h 3 ) , (2.5.7)
Φ h gy = y+hg(y)+ 1 2 h2 Dg(y)g(y)+O(h 3 ) . (2.5.8)
Sukzessives Einsetzen von Taylorentwicklungen, wobei multiplikative Faktoren h k ein frühzeitiges
Abbrechen der eingesetzen Taylorentwickung ermöglichen, vgl. die Taylorentwicklung der Runge-
2.5
p. 281

Kutta-Inkremente in Bsp. 2.3.24, (2.3.27).
Ψ h y =Φ h /2
f (Φh g(Φ h /2
f y))
➊
=Φ h /2
f (Φh g(y+h/2f(y)+ 1 8 h2 Df(y)f(y)+O(h 3 )))
➋
=Φ h (
/2
f
y+h/2f(y)+
8 1h2 Df(y)f(y)+O(h 3 )+hg(y+h/2f(y)+O(h 2 ))
+
2 1h2 Dg(y+O(h))g(y+O(h))+O(h 3 )
)
(
➌
=Φ h /2
f
y+h/2f(y)+hg(y)+
8 1h2 Df(y)f(y)+ 1 2 h2 Dg(y)f(y)+
1
2
h 2 Dg(y)g(y)+O(h 3 )
)
➍
=y+ h 2 f(y)+hg(y)+ 1 8 h2 Df(y)f(y)+ 1 2 h2 Dg(y)f(y)+ 1 2 h2 Dg(y)g(y)+O(h 3 )+
h/2f(y+ h 2 f(y)+hg(y))+O(h2 ))+ 1 8 h2 Df(y+O(h))f(y+O(h))
➎
=y+ h 2 f(y)+hg(y)+ 1 8 h2 Df(y)f(y)+ 1 2 h2 Dg(y)f(y)+ 1 2 h2 Dg(y)g(y)
+ 1 2 hf(y)+ 1 4 h2 Df(y)f(y)+ 1 2 h2 Df(y)g(y)+ 1 8 h2 Df(y)f(y)+O(h 3 )
=y+h(f(y)+g(y))+ 1 2 h2( Df(y)f(y)+Dg(y)f(y)+Df(y)g(y)+Dg(y)g(y) )
+O(h 3 ) .
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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➊ Wende (2.5.7) aufΦ h /2
f y an.
2.5
p. 282

➋ Benutze (2.5.8) mit y ← y + h/2f(y) + 1 8 h2 Df(y)f(y) + O(h 3 ), um (Φ h g(y + h/2f(y) +
1
8
h 2 Df(y)f(y)+O(h 3 )) zu entwickeln. Vernachlässige TermeO(h 3 ).
Numerische
Mathemtik
➌ Taylorentwicklung (inh) vongundDg umy.
➍ Benutze (2.5.7) mit y ← y + h/2f(y) + hg(y) + 1 8 h2 Df(y)f(y) + 1 2 h2 Dg(y)f(y) +
1
2
h 2 Dg(y)g(y)+O(h 3 ) und vernachlässige Terme inO(h 3 ).
➎ Taylorentwicklung (inh) vonf undDf umy.
Vergleich mit (2.5.6) liefert die Behauptung für das Strang-Splitting.
✷
Bemerkung 2.5.9 ( reversible Strang-Splitting-Einschrittverfahren).
R. Hiptmair
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2011
△
Beispiel 2.5.10 (Splittingverfahren für mechanische Systeme).
Newtonsche Bewegungsgleichung
¨r = a(r)
(
(1.1.10) r
⇐⇒ ẏ :=
v) ˙
=
( ) v
a(r)
=: F(y) .
2.5
p. 283

( ) 0
Splitting: F(y) = +
a(r)
} {{ }
=:f(y)
( v
0)
}{{}
=:g(y)
.
Numerische
Mathemtik
Φ t f
(
r0
v 0
)
=
( )
r 0
v 0 +ta(r 0 )
, Φ t g
(
r0
v 0
)
Lie-Trotter-Splitting (2.5.2): ➢ Symplektisches Eulerverfahren
) )
Ψ h ( r
v
Strang-Splitting (2.5.3):
Ψ h ( r
v
)
=
=
(
Φ h g ◦Φ h f
) ( r
v
(
Φ h /2
g ◦Φ h ) ( )
f ◦Φh /2 r
g
v
=
=
( r+h(v+ha(r))
v+ha(r)
( )
r0 +tv
= 0
v 0
)
(
r+hv+ 1 2 h2 a(r+
2 1 )
hv)
v+ha(r+ 1 2 hv)
.
. (2.5.11)
. (2.5.12)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
= Einschrittformulierung des Störmer-Verlet-Verfahrens (1.4.27), siehe Bem. 1.4.33 !
r k+
1
2
= r k + 1 2 hv k ,
(2.5.12) ←→
v k+1 = v k +ha(r k+
1
2
) ,
r k+1 = r k+
1
2
+ 1 2 hv k+1 .
(2.5.13)
2.5
p. 284

✸
Numerische
Mathemtik
Einwand: Splittingverfahren sind nur in Spezialfällen zu gebrauchen, denn die exakten Evolutionen
Φ f undΦ g werden oft nicht analytisch auswertbar sein.
Idee: Ersetze
Exakte Evolutionen
−→ diskrete Evolutionen
Φ h g , Φh f
−→ Ψ h g , Ψh f
Beispiel 2.5.14 (Inexakte Splittingverfahren). Forsetzung Bsp. 2.5.4
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
AWP von Bsp. 2.5.4, Inexakte Splittingverfahren auf der Grundlage verschiedener inexakter Basisverfahren:
2.5
p. 285

10 −2 Zeitschrittweite h
|y(T)−y h
(T)|
☞
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −2 10 −1
LTS−Eul
SS−Eul
SS−EuEI
LTS−EMP
SS−EMP
LTS-Eul Explizites Eulerverfahren (2.2.1) →
Ψ h h,g ,Ψh h,f
+ Lie-Trotter-Splitting (2.5.2)
SS-Eul Explizites Eulerverfahren (2.2.1) →
Ψ h h,g ,Ψh h,f
+ Strang-Splitting (2.5.3)
SS-EuEI Strang-Splitting (2.5.3): Explizites Eulerverfahren
(2.2.1) ◦ exakte Evolution Φ h g
◦ implizites Eulerverfahren (2.2.1)
LTS-EMP Explizite Mittelpunktsregel (2.3.4) →
SS-EMP
Ψ h h,g ,Ψh h,f
+ Lie-Trotter-Splitting (2.5.2)
Explizite Mittelpunktsregel (2.3.4) →
Ψ h h,g ,Ψh h,f
+ Strang-Splitting (2.5.3)
Ordnung der Splittingverfahren wird durch Konsistenzordnung vonΦ h f ,Φh g begrenzt.
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Ausnahme: SS-EuEI: reversibles Verfahren ➢ Konsistenzordnung≥ 2 nach Thm. 2.1.29
✸
2.6
p. 286

2.6 Schrittweitensteuerung [8, Kap. 5], [19, Sect. 2.8]
Numerische
Mathemtik
Beispiel 2.6.1 (Numerische Integration bei Blow-up).
Skalares autonomes AWP → Bsp. 1.3.11
ẏ = y 2 , y(0) = y 0 > 0 .
y(t) = y 0
1−y 0 t , t < 1/y 0 .
y(t)
100
90
80
70
60
50
y 0
= 1
y 0
= 0.5
y 0
= 2
Die Lösung existiert nur für endliche Zeit und
erleidet dann einen Blow-up, siehe Def. 1.3.1:
lim
t→1/y 0
y(t) = ∞ : J(y 0 ) =]−∞,1/y 0 ]!
40
30
20
10
0
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
t
Fig. 86
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Herausforderung: Wie sollte das Zeitgitter {t 0 < t 1 < ··· < t N−1 < t N } für ein ESV gewählt
werden, wennJ(y 0 ) nicht a priori bekannt ist und nicht klar ist, ob sich ein Blow-up ereignen wird?
2.6
p. 287

Gedankenexperiment: wie wird sich wohl ein Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5) bei Verwendung
uniformer (äquidistanter) Zeitschritte verhalten, wenn es auf das obige AWP angewendet
wird.
Numerische
Mathemtik
100
90
80
y 0
= 1
y 0
= 0.5
y 0
= 2
solution by ode45
y k
70
60
50
40
1 fun = @(t,y) y.^2;
2 [t1,y1] = ode45(fun,[0 2],1);
3 [t2,y2] = ode45(fun,[0 2],0.5);
4 [t3,y3] = ode45(fun,[0 2],2);
R. Hiptmair
30
20
rev 35327,
25. April
2011
10
0
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
t
Fig. 87
MATLAB Warnungsmeldungen:
Warning: Failure at t=9.999694e-01. Unable to meet integration
tolerances without reducing the step size below the smallest
value allowed (1.776357e-15) at time t.
> In ode45 at 371
2.6
p. 288

In simpleblowup at 22
Warning: Failure at t=1.999970e+00. Unable to meet integration
tolerances without reducing the step size below the smallest
value allowed (3.552714e-15) at time t.
> In ode45 at 371
In simpleblowup at 23
Warning: Failure at t=4.999660e-01. Unable to meet integration
tolerances without reducing the step size below the smallest
value allowed (8.881784e-16) at time t.
> In ode45 at 371
In simpleblowup at 24
Numerische
Mathemtik
We stellen fest, dass es ode45 gelingt, die Schrittweite immer weiter zu reduzieren, wenn es sich
dem Pol der Lösung nähert.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
✸
Bemerkung 2.6.2 (Zeitlich ungleichmässiges Verhalten von Lösungen).
2.6
p. 289

Concentration of HBrO 2
Fig. 89
4
3
2
y (t) 1
y (t) 2
v 1
(t)
v 2
(t)
10 −6
Numerische
Mathemtik
10 −5 t
1
10 −7
0
−1
c(t)
10 −8
−2
10 −9
−3
−4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
Fig. 88
Keplerproblem von Bsp. 2.4.19
10 −10
10 −11
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Oregonator-Reaktion von Bsp. 1.2.12
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Häufig:
Lösungen von AWPs zeigen stark ungleichmässiges Verhalten in der Zeit.
2.6
p. 290

Eine Möglichkeit, Einschrittverfahren an das zeitlokale Verhalten der Lösung anzupassen haben wir
bereits kennengelernt:
Numerische
Mathemtik
→ Ordnungssteuerung bei Extrapolationsverfahren, Sect. 2.4.5
Doch im Fall eines Blow-up nützt uns das gar nichts!
△
Grundlegende Fragestellung
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Wie wählt man ein geeignetes ZeitgitterG = {t 0 < t 1 < ··· < t N = T}
für ein gegebenes Einschrittverfahren und Anfangswertproblem?
Was heisst geeignet?
2.6
p. 291

Effizienz
✬
Ziel: N so klein wie möglich
&
Genauigkeit
max ‖y(t k)−y k ‖

Trotzdem scheint zeitlokale Schrittweitensteuerung das einzige praktikable Verfahren zu sein,
Numerische
Mathemtik
☞ weil man nicht während der Rechnung viele Zeitschritte zurückgehen will, was viel Rechenzeit
kosten kann,
☞ weil sie einfach zu implementieren ist und mit wenig zusätzlichem Rechenaufwand auskommt,
☞ weil man prinzipiell keine Methode finden wird, die eine garantierte Genauigkeit liefert.
Idee:
Schätzung des Konsistenzfehlers
Vergleich zweier diskreter EvolutionenΨ t,t+h , ˜Ψ t,t+h verschiedener Ordnung
(→ Def. 2.1.13) für eine aktuelle Zeitschrittweite h:
Falls Ordnung(˜Ψ) > Ordnung(Ψ)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
⇒ Φ t,t+h y(t k )−Ψ t,t+h y(t k )
} {{ }
Konsistenzfehler
≈ EST k := ˜Ψ t,t+h y(t k )−Ψ t,t+h y(t k ) . (2.6.3)
Heuristik für konkretesh
Beispiel 2.6.4 (Qualität der Fehlerschätzung).
2.6
Skalares AWP: ẏ = cos 2 (ay), Lösung y(t) = 1/aarctan(at) auf[−1,1],a = 10
p. 293

Ψ↔Explizites Euler-Verfahren (1.4.2), Ordnungp = 1
˜Ψ↔Explizite Trapezregel (2.3.3), Ordnungp = 2
Numerische
Mathemtik
0.15
0.1
f(y) = cos 2 (10*y)
0.14
0.12
Euler: error
Euler: est. error
TRP: error
TRP: est. error
f(y) = cos 2 (10*y)
0.05
0.1
0
0.08
y,y h
y,y h
−0.05
0.06
−0.1
0.04
−0.15
Expl. Euler solution
Expl. trapezoidal rule
Exact solution
−0.2
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 90
0.02
0
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 91
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Beobachtung: ☞ Grosse Unterschiede zwischen geschätztem und wahrem Fehler möglich
☞ Jedoch: Fehlerschätzung für ˜Ψ durchΨsinnvoll, da “richtig in der Tendenz”
✸
2.6
p. 294

Vergleich
EST k ↔ TOL
EST k ↔ TOL‖y k ‖
➣
Absolute Toleranz
Verwerfen/Akzeptieren des aktuellen Schritts
Relative Toleranz
Numerische
Mathemtik
Führt zu einem sehr einfachen Algorithmus:
EST k < TOL: Ausführen des aktuellen Schritts (Schrittweiteh)
Nächster Schritt mit Schrittweiteαh, mit einemα > 1(∗)
EST k > TOL: Wiederholung des aktuellen Schritts mit Schrittweite< h, z.B. 1 2 h
Begründung für(∗): Wenn die aktuelle Schrittweite bereits einen hinreichend kleinen Einschrittfehler
sicherstellt, dann ist es unter Umständen möglich, auch mit einer etwas grösseren Schrittweite einen
Einschrittfehler zu erhalten, der immer noch genügend klein ist. Dadurch kann die Gesamtzahl der
Zeitschritte reduziert werden, was die Effizienz des Verfahrens erhöht. Das Risiko eines Genauigkeitsverlusts
wird durch die Fehlerschätzung im nächsten Schritt in Grenzen gehalten.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Listing 2.4: Einfache zeitlokale Schrittweitensteuerung für Einschrittverfahren (autonome ODE)
1 f u n c t i o n [t,y] =
odeintadapt(Psilow,Psihigh,T,y0,h0,reltol,abstol,hmin)
2 t = 0; y = y0; h = h0; %
2.6
p. 295

3 while ((t(end) < T) (h > hmin)) %
4 yh = Psihigh(h,y0); % ESV hoher Ordnung
5 yH = Psilow(h,y0); % ESV niedriger Ordnung
6 est = norm(yH-yh); %
Numerische
Mathemtik
7
8 i f (est < max(reltol*norm(y0),abstol)) %
9 y0 = yh; y = [y,y0]; h = 1.1*h; % Schritt akzeptiert
10 h = min(h,T-t(end)); t=[t,t+h]; %
11 else, h = h/2; end % Schritt verworfen
12 end
R. Hiptmair
Kommentare zu Code 2.4:
rev 35327,
25. April
2011
• Argumente vonodeintadapt:
–Psilow,Psihigh: Funktionshandles auf diskrete Evolutionen (für autonome ODE)
unterschiedlicher Ordnungen, Typ@(y,h), Zustandsvektor als erstes Argument, Schrittweite
als zweites,
–T: EndzeitpunktT > 0,
2.6
p. 296

–y0: Anfangszustandy 0 ,
–h0: Schrittweiteh 0 für den ersten Zeitschritt
Numerische
Mathemtik
–reltol,abstol: Relative and absolute Toleranzen, siehe oben,
–hmin: minimale Zeitschrittweite, Verfahren bricht ab, fallsh k < h min , was für das Erkennen
von Blow-ups und Kollaps wichtig ist.
• Zeile 3: Überprüfe, ob der Endzeitpunkt erreicht ist oder das Verfahren steckengeblieben ist
(h k < h min ).
• Zeile 4, 5: Propagiere den aktuellen Zustand mit Hilfe beider Einschrittverfahren.
• Zeile 6: Berechne die Norm des geschätzten Fehlers, siehe (2.6.3).
• Zeile 8: Vergleich, um zu entscheiden, ob der aktuelle Schritt akzeptiert oder verworfen werden
sollte.
• Zeile 9, 10: Schritt akzeptiert: Aktualisiere den Zustand und schlage 1.1 mal die aktuelle
Schrittweite für den nächsten Schritt vor.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
• Zeile 11 Schritt verworfen: Versuche es nochmal mit der halben Zeitschrittweite.
• Rückgabewerte
–t: Zeitgittert 0 < t 1 < t 2 < ... < t N < T , wobeit N < T auf vorzeitigen Abbruch hinweist
(Kollaps, Blow-up),
–y: Folge von Zuständen(y k ) N k=0 .
2.6
p. 297

!
Gemäss unserer Heuristik, siehe (2.6.3), scheint es, dassEST k den Einschrittfehler des Einschrittverfahrens
niedrigerer Ordnung Ψ misst, und dass wir y k+1 = Ψ h ky k , setzen sollten,
wenn der Zeitschritt akzeptiert wird.
Numerische
Mathemtik
Jedoch wäre es ungeschickt, nicht den vermutlich besseren Werty k+1 = ˜Ψ hk y k zu nehmen, zumal
er ohne Zusatzaufwnd verfügbar ist. Jede Implementierung zeitlokaler Schrittweitensteuerung folgt
dieser Idee, also auch Code 2.4, und dieses Vorgehen kann durch steuerungstheoretische Argumente
begründet werden [8, Sect. 5.2], siehe auch die folgende Bem. 2.6.7.
Beispiel 2.6.5 (Effizienzgewinn durch Adaptivität). → Ex. 2.6.4
AWP für ODE ẏ = cos(αy) 2 ,α > 0,
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Analytische Lösungy(t) = arctan(α(t−c))/α füry(0) ∈]−π/2,π/2[
Integrationsintervall[0,2], Anfangswert y(0) = 0
2.6
p. 298

Einfache adaptive Strategie aus Code 2.4 mit der lokalen Fehlerschätzung aus Bsp. 2.6.4.
Numerische
Mathemtik
Nun untersuchen wir die Abhängigkeit des Diskretisierungsfehlers vom Rechenaufwand, der proportional
zu der Anzahl der Zeitschritte ist.
0.05
0.045
Solving d t
y = a cos(y) 2 with a = 40.000000 by simple adaptive timestepping
Error vs. no. of timesteps for d t
y = a cos(y) 2 with a = 40.000000
uniform timestep
adaptive timestep
0.04
10 0
0.035
10 −1
y
0.03
0.025
0.02
0.015
max k
|y(t k
)−y k
|
10 −2
10 −3
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
rtol = 0.400000
0.01
rtol = 0.200000
rtol = 0.100000
rtol = 0.050000
0.005
rtol = 0.025000
rtol = 0.012500
rtol = 0.006250
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
Fig. 92
10 1 no. N of timesteps
10 −4
10 −5
10 1 10 2 10 3
Fig. 93
Lösungen(y k ) k für verschiedenertol
Fehler als Funktion des Rechenaufwandes
2.6
p. 299

☞ Adaptive Zeitschrittweitensteuerung erzielt bei vergleichbarem Rechenaufwand wesentlich
bessere Genauigkeit als das gleiche Einschrittverfahren mit uniformer Zeitschrittweite.
Numerische
Mathemtik
✸
Nachteil von Code 2.4: Pauschale Vergrösserung/Verringerung der Schrittweite in Zeilen 9, 11 “verschwendet”
Information enthalten inEST k : TOL.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Wir wollen mehr ! WennEST k > TOL : Schrittweitenkorrektur t k+1 = ?
WennEST k < TOL : Schrittweitenvorschlag t k+2 = ?
2.6
p. 300

Schrittweitenkorrektur bezieht sich auf verworfenen zu wiederholenden aktuellen Schritt
Schrittweitenvorschlag wird benutzt für den nächsten Schritt
(vgl. Code 2.4)
Numerische
Mathemtik
Falls Ordnung(Ψ) = p, Ordnung(˜Ψ) > p,p ∈ N,
Ziel: Effizienz
Ψ t,t+h y(t k )−Φ t,t+h y(t k ) = ch p+1 +O(h p+2 ) ,
˜Ψ t,t+h h≪1
y(t k )−Φ t,t+h y(t k ) = O(h p+2 ⇒ EST k ≈ ch p+1 ! = TOL .
)
Heuristik!
„Optimale Schrittweite”:
(Schrittweitenvorschlag)
h ∗ = h p+1 √ TOL
EST k
. (2.6.6)
Korrigierte Schrittweite
Schrittweitenvorschlag
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Bemerkung 2.6.7 (Steuerung von ˜Ψ durchΨ). Code 2.4
Bisherige Überlegung: „Schätzung des Fehlers” von ˜Ψ ➣ Steuerung von ˜Ψ
2.6
p. 301

Effizient ?
Genaueres (teureres) Verfahren ˜Ψ wird nur zur Steuerung des ungenaueren Verfahrens
verwendet.
Numerische
Mathemtik
Mit gleichem Aufwand: Integration des AWP mit ˜Ψ gesteuert durchΨ!
So wird es in der Praxis auch gemacht !
Erinnerung an Bsp. 2.6.4:
Euler-Verfahren (Ordnungp = 1) lieferte gute Fehlerschätzung für explizite
Trapezregel (Ordnungp = 2)
Noch eine Heuristik:
EST k > TOL ist ein Hinweis darauf, dass eines der beiden Verfahren Ψ, ˜Ψ Probleme mit der
(lokalen) Approximation der Lösung hat. Eine Verringerung vonh k ist daher angezeigt.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Mathematische Rechtfertigung: Steuerungstheorie → [8, Sect. 5.2]
△
2.6
p. 302

MATLAB-Implementierung:
Ψ,˜Ψ ˆ= diskrete Evolutionen, Konsistenzordnungp/p+1
t 0 ˆ= Anfangszeitpunkt,T ˆ= Endzeitpunkt
y 0 ˆ= Anfangswert (Spaltenvektor)
reltol,abstol ˆ= absolute/relative Toleranzen
h 0 ,h min ˆ= Schrittweite für 1. Schritt/minimale Schrittweite
Numerische
Mathemtik
ESV mit Schrittweitensteuerung
function [t,y] = ssctrl(Ψ,˜Ψ,t0,T,y0,h0,reltol,abstol,hmin)
t = t0; y = y0; h = h0;
while ((t(end) < T) && (h > hmin))
yh = ˜Ψ(t(end),y(:,end),h);
yH = Ψ(t(end),y(:,end),h);
est = norm(yH-yh);
tol = max(reltol*norm(y(:,end)),abstol);
h = h*max(0.5,min(2,(tol/est)^(1/(p+1))));
if (est < tol)
y = [y,yh]; h = min(h,T-t(end)); t = [t,t(end)+h];
end
end
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Beispiel 2.6.8 (Schrittweitensteuerung für explizite Trapezregel/Euler-Verfahren).
2.6
p. 303

Anfangswertproblem für skalare logistische Dgl, siehe Bsp. 1.2.1
ẏ = λy(1−y) , λ = 20 ➣ y(t) =
y 0
y 0 +(1−y 0 )exp(−λt) .
Numerische
Mathemtik
1.4
Logistic ODE, lambda = 20.000000, y 0
= 0.005000
Einschrittverfahren aus Bsp. 2.6.4, Schrittweitenanpassung
gemäss (2.6.6)
➊ Integration mit explizitem Euler-Verfahren
(1.4.2), Fehlerschätzung (2.6.3) mit
expliziter Trapezregel (2.3.3)
y(t)/y k
1.2
1
0.8
0.6
➋ Integration mit expliziter Trapezregel (2.3.3),
Schrittweitensteuerung mit expliziten Euler-
Verfahren gemäss Bem. 2.6.7
0
Absolute/relative Toleranz =0.005,y 0 = 0.1/λ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.4
0.2
t
trapezoidal rule
Euler method
exact solution
Fig. 94
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Trapezregel/Euler: 63/62 Schritte, 12 verworfen
2.6
p. 304

10 0 reltol
Adaptive trapezoidal rule
Adaptive Euler method
600
Adaptive trapezoidal rule
Adaptive Euler method
Numerische
Mathemtik
10 −1
500
error
10 −2
10 −3
No. of timesteps
400
300
200
10 −4
100
10 −5
10 −5 10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 95
0
10 −5 10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0
reltol
Fig. 96
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
In diesem Beispiel liefert die Fortführung der Rechnung mit der Näherung aus dem Verfahren höherer
Ordnung ˜Ψ ganz klar die bessere Genauigkeit.
Beobachtung: Fehler max
j
|y(t j )−y j | ist in diesem Beispiel gut mit ToleranzTOL korreliert.
✸
2.6
p. 305

Beispiel 2.6.9 (“Versagen” adaptive Zeitschrittsteuerung). → Ex. 2.6.5
Numerische
Mathemtik
Gleiche ODE und einfache adaptive Schrittweitensteuerung wie in Bsp. 2.6.5. Ebenfalls gleiche Auswertungen.
Nun: Anfangswert y(0) = −0.0386, vgl. Bsp. 2.6.4.
0.05
0.04
Solving d t
y = a cos(y) 2 with a = 40.000000 by simple adaptive timestepping
Error vs. no. of timesteps for d t
y = a cos(y) 2 with a = 40.000000
uniform timestep
adaptive timestep
10 0 no. N of timesteps
0.03
0.02
10 −1
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
y
0.01
0
−0.01
max k
|y(t k
)−y k
|
−0.02
rtol = 0.400000
−0.03
rtol = 0.200000
rtol = 0.100000
rtol = 0.050000
−0.04
rtol = 0.025000
rtol = 0.012500
rtol = 0.006250
−0.05
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Lösungen(y k ) k für verschiedenertol
t
Fig. 97
10 −2
10 −3
10 1 10 2 10 3
Fig. 98
Fehler als Funktion des Rechenaufwandes
2.6
p. 306

Numerische
Mathemtik
☞ Grösserer Fehler bei adaptiver Schrittweitensteuerung im Vergleich zu uniformer Schrittweite
Erklärung: die Lage der steilen Flanke der Lösung hängt sensitiv vom Anfangswert ab. Daher werden
kleine Einschrittfehler in den ersten Zeitschritten zu grossen Fehlern zur Zeitt ≈ 1 führen. Die lokale
Schrittweitensteuerung hält diese kleinen Einschrittfehler für harmlos und kann daher nichts gegen
die durch sie hervorgerufenen beträchtlichen Diskretisierungsfehler zur späteren Zeiten ausrichten.
Allgemeiner Kontext: Im Falle von schlecht konditionierten Anfangswertproblemen (d.h., die Lösung
hängt sensitiv vom Anfangswert ab, vgl. Sect. 1.3.3.5, “chaotische Systeme”) kann selbst ein winziger
Einschrittfehler, der nur im ersten Schritt passiert, zu einer von der exkaten Lösung völlig abweichenden
diskreten Lösung führen. Für solche Probleme ist allerdings der auf dem Konzept des
Diskretisierungsfehlers aufbauende Genauigkeitsbegriff nicht mehr angemessen, siehe die Diskussion
in Sect. 1.3.3.5.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
✸
2.6
p. 307

Beispiel 2.6.10 (Schrittweitensteuerung und Instabilität).
Anfangswertproblem für skalare logistische Dgl, siehe Bsp. 2.6.8, nunλ = 100
Numerische
Mathemtik
explizites Euler-Verfahren (1.4.2), explizite Trapezregel (2.3.3) mit Schrittweitensteuerung wie
Bsp. 2.6.8
Absolute/relative Toleranz =0.05, Anfangszeitschritt (für adaptive ESV) h = 0.05
3
Logistic ODE, lambda = 100.000000, y 0
= 0.001000, stepsize = 0.050000
1.4
Logistic ODE, lambda = 100.000000, y 0
= 0.001000
2.5
1.2
y(t)/y k
2
1.5
1
0.5
y(t)/y k
1
0.8
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
0
0.6
−0.5
0.4
−1
trapezoidal rule
Euler method
−1.5
exact solution
TR blowup
Euler blorwup
−2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Fig. 99
Trapez/Euler: uniforme Zeitschrittweiteh = 0.05
0.2
trapezoidal rule
Euler method
exact solution
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Fig. 100
Trapez/Euler: 119/114 Schritte, 28/42 verworfen
2.6
p. 308

Schrittweitensteuerung verhindert Instabilität, vgl. Bsp. 1.4.9 !
Beispiel 2.6.11 (Schrittweitensteuerung und Kollaps).
✸
Numerische
Mathemtik
1
d t
y = −1/
Skalares Anfangswerproblem mit Kollaps, vgl.
Bsp. 1.3.11
ẏ = − 1 √ y
, y(0) = 1
⇒ y(t) = (1−3t/2) 2 /3 .
Schrittweitensteuerung wie Bsp. 2.6.8 , absolute/relative
Toleranz =0.005
y(t)/y k
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1 adaptive trapezoidal rule
adaptive Euler method
exact solution
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
t
Fig. 101
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Schrittweitensteuerung ➣ Verfahren “erkennt” Kollaps der Lösung
✸
2.6
p. 309

Beispiel 2.6.12 (Schrittweitensteuerung und Blow-up).
Numerische
Mathemtik
d t
y = y 2 , y 0
= 1.000000
Skalares Anfangswerproblem mit Blow-up, vgl.
Bsp. 1.3.11
100
90
80
70
adaptive trapezoidal rule
adaptive Euler method
exact solution
ẏ = y 2 , y(0) = 1
⇒ y(t) = 1
1−t .
Schrittweitensteuerung wie Bsp. 2.6.8, absolute/relative
Toleranz =0.05
y(t)/y k
60
50
40
30
20
10
R. Hiptmair
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
t
Fig. 102
rev 35327,
25. April
2011
Schrittweitensteuerung ➣ Verfahren “erkennt” Blow-up der Lösung
✸
Bemerkung 2.6.13 (Eingebettete RK-ESV).
2.6
p. 310

Algorithmische Realisierung (ESV):
Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren
Gleiche Inkremente k i , verschiedene Gewichte b i
(→ Def 2.3.5) realisieren RK-EvolutionenΨ h , ˜Ψ h
der Ordnungenpundp+1.
c A
b T :=
b
̂ T
c 1 a 11 ··· a 1s
.
.
c s a s1 ··· a ss .
b 1 ··· b s
̂b 1 ··· ̂b s
Eingebettetes RK-ESV: Butcher-Schema
.
Numerische
Mathemtik
Ψ h y = y+h
s∑
b i k i , ˜Ψ h y = y+h
i=1
s∑ ̂b i k i .
i=1
Motivation: Effizienz (Inkrementek i nur einmal zu berechnen, siehe Def. 2.3.5)
Gebräuchlich: p = 4,p = 7
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
△
Beispiel 2.6.14 (Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren).
→ [17, Sect. II.4]
2.6
p. 311

0
1
3
1
3
1
2
1
3
1 1
6 6
1
8 0 3
8
1
1
2
0 − 3 2 2
y 1
1
6
0 0 2 3 1 6
ŷ 1
1
10
0
3
10
2
5
1
5
Eingebettes RK-Verfahren der Ordnung 3(„4”)
von Merson
0
1
2
1
2
1
2
0
1
2
1 0 0 1
3
4
5
32
7
32 32 13 − 32
1
y 1
1
6
1
3
1
3
1
6
ŷ 1 − 1 7 7 13
2 3 3 6
− 16
3
Eingebettes RK-Verfahren der Ordnung 3(4) von
Zonneveld
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.6
p. 312

0
Numerische
Mathemtik
1
5
3
10
4
5
1
5
3 9
40 40
44
45
− 56
15
8 19372
9 6561 −25360 2187
1
9017
3168
− 355
33
1
35
384
0
500
1113
y 1
35
384
0
500
1113
ŷ 1
5179
57600
0
7571
16695
32
9
64448
6561 −212 729
46732 49
5247 176
−18656
5103
125
192
−6784
2187
125
192
−6784
2187
393
640
−339200
92097
11
84
0
11
84
0
187 1
2100 40
DOPRI5: Eingebettes RK-
Verfahren der Ordnung 4(5)
von Dormand & Prince
(MATLABode45)
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Adaptive Integratoren für Anfangswertprobleme in MATLAB:
options = odeset(’abstol’,atol,’reltol’,rtol,’stats’,’on’);
[t,y] = ode45/ode23(@(t,x) f(t,x),tspan,y0,options);
(f = function handle,tspan ˆ= [t 0 ,T],y0 ˆ= y 0 ,t ˆ=t k ,y ˆ=y k )
2.6
p. 313

Beispiel 2.6.15 (Adaptive RK-ESV zur Teilchenbahnberechnung). → Bsp. 2.4.19
Numerische
Mathemtik
Bewegung eines geladenen Teilchens im Feld eines geraden Drahtes = Linienladung (konservatives
Zentralfeld, Zentrum ( 0
0
)
, PotentialU(x) := −2log‖x‖): → Bsp. 1.2.25
ÿ = − 2y
‖y‖ 2 ⇒
( ˙ y
v)
=
( ) v
− 2y
‖y‖ 2
, y(0) =
Anfangswert: y(0) = (−1,0,0.1,−0.1), Endzeitpunkt: T = 4
( )
−1
, v(0) =
0
( )
0.1
−0.1
.
Adaptiver Integrator:
ode45(@(t,x) satf,[0 4],[-1;0;0.1;-0.1,],options):
➊ options = odeset(’reltol’,0.001,’abstol’,1e-5);
➋ options = odeset(’reltol’,0.01,’abstol’,1e-3);
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.6
p. 314

4
3
abstol = 0.000010, reltol = 0.001000
y 1
(t) (exakt)
y (t) (exakt)
2
v 1
(t) (exakt)
5
abstol = 0.000010, reltol = 0.001000
y (t ) (Naeherung)
1 k
y 2
(t k
) (Naeherung)
v (t ) (Naeherung)
1 k
0.2
Numerische
Mathemtik
2
v 2
(t) (exakt)
v 2
(t k
) (Naeherung)
1
0
−1
−2
−3
−4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
y i
(t)
0
−5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.1
Zeitschrittweite
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.6
p. 315

4
3
abstol = 0.001000, reltol = 0.010000
y 1
(t) (exakt)
y (t) (exakt)
2
v 1
(t) (exakt)
5
abstol = 0.001000, reltol = 0.010000
y (t ) (Naeherung)
1 k
y 2
(t k
) (Naeherung)
v (t ) (Naeherung)
1 k
0.2
Numerische
Mathemtik
2
v 2
(t) (exakt)
v 2
(t k
) (Naeherung)
1
0
−1
−2
−3
−4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
y i
(t)
0
−5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.1
Zeitschrittweite
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.6
p. 316

0.8
0.6
0.8
0.6
Numerische
Mathemtik
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
y 2
−0.2
y 2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
Exakte Bahn
Naeherung
−1
−1 −0.5 0 0.5 1
y 1
−0.8
Exakte Bahn
Naeherung
−1
−1 −0.5 0 0.5 1
y 1
reltol=0.001, abstol=1e-5
reltol=0.01, abstol=1e-3
☞ Qualitativ falsche Lösung bei geringfügig erniedrigter Toleranz !
Beispiel 2.6.16 (Schrittweitensteuerung für Bewegungsgleichungen). → Bsp. 2.4.19
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.6
p. 317

AWP aus Bsp. 2.4.19
ode45 mit verschiedenen absoluten/relativen Toleranzen
Im Gegensatz zu Bsp. 2.6.8:
!
Toleranzen sagen nichts über globalen Fehler
Erklärung: wie in Bsp. 2.6.9 liegt ein schlecht konditioniertes
AWP vor, was den Einfluss von Einschrittfehlern
auf den Diskretisierungsfehler unkalkulierbar
macht.
Fehler |y h
(4)−y(4)|
10 1
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
rtol = atol^(1/2)
rtol=atol^(2/3)
rtol=10*atol
10 −4
10 −6 10 −5 10 −4 10 −3 10 −2 10 −1
10 2 (Absolute) Toleranz
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.6
p. 318

10 0
RK4 äquidistant
ode45 adaptiv
Effizienz von Schrittweitensteuerung:
Vergleich:
Numerische
Mathemtik
Fehler |y h
(4)−y(4)|
10 2 Anzahl f−Auswertungen
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6
• Klassisches Runge-Kutta-Verfahren (2.3.11)
• Eingebettetes Runge-Kutta-Verfahren mit
Schrittweitensteuerung: ode45
Aufwandsmass: ♯f-Auswertungen
Adaptivität zahlt sich aus !
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.6
p. 319

Numerische
Mathemtik
3 Stabilität [8, Kap. 6]
Beispiel 3.0.1 (Ineffizienz expliziter Runge-Kutta-Verfahren). → Bsp. 1.4.9, 1.4.15
Logistische Differentialgleichung ẏ = f(y), f(y) = λy(1 − y) → (2.2.84), λ = 50, Anfangswert
y 0 = 0.1, Zeitintervall[0,1]:
• Integratoren: Implizites Euler-Verfahren (1.4.13), klassisches Runge-Kutta-Verfahren (2.3.11)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
• uniforme Zeitschrittweiteh = 1/N,N ∈ N
• Fehlermass:
err = max k |y k −y(t k )|,k = 1,...,N
3.0
p. 320

1.2
1
10 1
10 0
10 −1
10 −2
timestep h
Numerische
Mathemtik
y
0.8
0.6
0.4
∞−error
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
0.2
y(t)
Implicit Euler
RK4
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 103
(Approximative) Lösungen fürN = 30
10 −7
10 −8
implicit Euler
RK4
blow−up
10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 104
Fehler gegen Schrittweite (doppeltlogarithmisch)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Beobachtung:
RK4 asymptotisch genauer als implizites Euler-Verfahren
RK4 präasymptotisch (fürh > 0.02) unbrauchbar (Instabilität)
✸
3.0
p. 321

Überlegung: Linearisierung um Fixpunkt, siehe Bem. 1.3.19
Numerische
Mathemtik
3.1 Modellproblemanalyse
Überlegung zu Bsp. 3.0.1: In der Umgebung eines Fixpunktes verhalten sich die Lösungen einer
(vorläufig skalaren) ODE wie die ihrer Linearisierung.
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
➣ Relevanz der (um einen Fixpunkt) linearisierten ODE: Numerischer Integrator ist nur dann für die
Lösung der ODE in der Nähe des Fixpunktes geeignet, wenn er sich zumindest für die linearisierte
ODE bewährt.
Lineare autonome skalare ODE sind einfach:
ẏ = λy (bis auf Translation)
3.1
p. 322

In diesem Abschnitt untersuchen wir das Verhalten numerischer Integratoren für solche einfachen
ODEs
Numerische
Mathemtik
Nichts Neues! Erinnerung an Abschnitt 1.4.1: Einsichten in das Verhalten des expliziten
Euler-Verfahrens (1.4.2) durch Modellproblemanalyse, d.h., analytische Untersuchung der
diskreten Evolution für die skalare lineare ODEẏ = λy,λ ∈ C.
Autonomes skalares lineares AWP: ẏ = λy, y(0) = 1, Reλ < 0 auf[0,∞[ (3.1.1)
y(t) = e λt → 0 fürt → ∞ (sog. Asymptotische Stabilität vony = 0) .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Beachte: komplexesλ ∈ C im Modellproblem zugelassen ➢ komplexer ZustandsraumC
(Grund: „Diagonalisierungstechnik” für lineare, autonome AWP, Sect. 1.3.2, vgl.
Bem. 3.1.13)
Frage:
Wann „erbt” Lösung {y k } ∞ k=0 , y k+1 = Ψ h λ y k (Ψh λ
ˆ= diskrete Evolution) aus RK-ESV auf
(unendlichem) äquidistantem Gitter (Maschenweiteh) asymptotische Stabilität ?
3.1
p. 323

Dies ist eine Frage nach Strukturerhaltung: Übereinstimmung von qualitativen Eigenschaften der kontinuierlichen
und diskreten Evolution.
Numerische
Mathemtik
Bemerkung 3.1.2 (Reskalierung des Modellproblems).
Beachte: Anwendung eines linearen Operators auf R ↔ Multiplikation mit reeller Zahl
L(R,R) ∼ = R
✎ Notation: L(R,R) ˆ= Raum linearer Operatoren aufR
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Da AWP (3.1.1) autonom & skalar ➢ Φ h λ ∈ L(R,R)
➢
Anwendung vonΦ h λ
auf Zustandy ∈ C∼Multiplikation
➢
(h,λ) ↦→ Φ h λ
beschreibbar durch FunktionR×C ↦→ C
Welche Funktion ist das?
Φ h λ (y) = eλh y ∀y ∈ R ⇒ Funktion (h,λ) ↦→ e λh .
3.1
p. 324

Φ h λ = Φλh 1 ⇒ Funktion hängt nur von Produktλh ab. (3.1.3)
Numerische
Mathemtik
Auch für die diskrete Evolution eines Runge-Kutta-Einschrittverfahrens giltΨ h λ ∈ L(R,R)
(h,λ) ↦→ Ψ h λ
ebenfalls beschreibbar durch FunktionR×C ↦→ C
Naheliegende Frage:
Gilt die Zeitskalierungsinvarianz (3.1.3) auch fürΨ h λ
, d.h. gilt
Ψ h λ = Ψλh 1 ∀λ ∈ C, h hinreichend klein ?
Die Zeitskalierungsinvarianz (3.1.3) ist für Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5) erfüllt, wie
durch einfaches Nachrechnen bestätigt werden kann! (h undλgehen in die Inkrementgleichung des
RK-ESV für (3.1.1) nur in Form des Produktshλ ein, siehe Beweis zu Thm. 3.1.6.)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Ψ h λ = Ψλh 1 hängt nur vonz := λh ab: S(z) :=
Ψ h λ
Stabilitätsfunktion
interpretiert als Zahl
△
3.1
p. 325

Was sagt uns diese Stabilitätsfunktion über die qualitative Asymptotik der diskreten Lösung ?
Diskrete Lösung: y k = S(z) k y 0 , k ∈ N 0 , z := λh .
Numerische
Mathemtik
➥
|S(z)| < 1 ⇔ lim
k→∞ y k = 0 ∀y 0 ∈ R
⇔ y = 0 asymptotisch stabil (→ Def. 3.2.2) für diskrete Evolution Ψ h λ .
Definition 3.1.4 (Stabilitätsgebiet eines Einschrittverfahrens). [8, Sect. 6.1.2]
Das Stabilitätsgebiet eines ESV für das AWP (3.1.1) auf der Grundlage der diskreten Evolution
Ψ h λ y =: S(z)y,y ∈ C,z := λh,S : D S ⊂ C ↦→ C, ist
S Ψ := {z ∈ D S : |S(z)| < 1} ⊂ C .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
☞
Für von RK-ESV zu AWP (3.1.1) erzeugte Gitterfunktion {y k } k∈N auf äquidistantem Zeitgitter
mit Maschenweiteh > 0 gilt
y 0 ≠ 0: lim
k→∞ y k = 0 ⇔ lim
k→∞ S(hλ)k = 0 ⇔ hλ ∈ S Ψ . (3.1.5)
3.1
p. 326

Numerische
Mathemtik
✬
✩
Theorem 3.1.6 (Stabilitätsfunktion von Runge-Kutta-Verfahren).
Die diskrete Evolution Ψ h λ
zu einem s-stufigen Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5)
mit Butcher-Schema c A bT (siehe (2.3.6)) für die ODE ẏ = λy ist ein Multiplikationsoperator
der Form
✫
Ψ h λ = 1+zbT (I−zA) −1 1
} {{ }
Stabilitätsfunktion S(z)
= det(I−zA+z1bT )
det(I−zA)
, z := λh , 1 = (1,...,1) T ∈ R s .
✪
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Bemerkung 3.1.7 (Interpretation der Stabilitätsfunktion).
Ψ h λ y = S(z)y = (1+λhbT (I−λhA) −1 1)y
Φ h λ = eλh
Diskrete Evolution
(Kontinuierliche) Evolution
➣
S(z) ≈ exp(z): Stabilitätsfunktion = Approximation der Exponentialfunktion (um0).
△
3.1
p. 327

✬
✩
Korollar 3.1.8.
✫
Explizite Runge-Kutta-Verfahren ➤ S(z) ∈ P s ,
Allgemeine Runge-Kutta-Verfahren
➤ S(z) = P(z)
Q(z) ,P,Q ∈ P s.
✪
Numerische
Mathemtik
Beweis. Aus der Determinantenformel von Thm. 3.1.6:
Explizite Runge-Kutta-Verfahren ⇒ A echte untere Dreiecksmatrix ⇒ det(I−zA) = 1
Allgemein istz ↦→ det(I−zM),M ∈ R s,s , ein Polynom vom Grads, wie aus der kombinatorischen
Definition der Determinante folgt.
✷
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Korollar (3.1.8) ➣ Kein RK-ESV kann ẏ = λy bei vorgegebener Schrittweite h für alle λ ∈ R
ohne Fehler lösen, denn die Exponentialfunktion (→ Bem. 3.1.7) lässt sich natürlich durch keine
rationale Funktion modellieren.
Korollar (3.1.8) ➣ Ordnungsschranken für explizite/implizite RK-ESV, siehe Sect. 2.3.2
3.1
p. 328

✬
✩
Lemma 3.1.9 (Rationale Approximation der Exponentialfunktion).
IstS(z) = P(z)
Q(z) ,P,Q ∈ P s,s ∈ N, so gilt
Numerische
Mathemtik
S(z)−exp(z) = O(|z| m ) fürz → 0 ⇒ m ≤ 2s+1 .
✫
✪
Beweis: (→ [8, Lemma 6.4], doch der dortige Beweis ist falsch!)
Indirekte Beweisführung, Annahme S(z)−exp(z) = O(|z| 2s+2 ) fürz → 0:
Ansatz:
P(z) = p 0 +p 1 z +···+p s z s ,
Q(z) = q 0 +q 1 z +···+q s z s , q 0 = 1, da O.B.d.AQ(0) = 1 .
Q(z)exp(z)−P(z) = α 2s+2 z 2s+2 +α 2s+3 z 2s+3 +... (global konvergente Potenzreihe) .
Einsetzen der Exponentialreihe und Multiplikation, dann Koeffizientenvergleich ➢ lineares Gleichungssystem
s∑
j=0
q j
1
(i−j)! = 0 , i = s+1,...,2s+1 .
s∑
j=0
q j
1
(i−j)! −p i = 0 , i = 0,...,s .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.1
p. 329

Dieses hat nur die triviale Lösung, was auf einen Widerspruch zuq 0 = 1 führt.
Beispiel 3.1.10 (Stabilitätsfunktionen einiger RK-ESV).
✷
Numerische
Mathemtik
• Explizites Euler-Verfahren (1.4.2):
0 0
1
➣ S(z) = 1+z .
• Implizites Eulerverfahren (1.4.13):
1 1
1
➣ S(z) = 1
1−z .
R. Hiptmair
• Explizite Trapezregel (2.3.3):
0 0 0
1 1 0
1
2 1 2
➣ S(z) = 1+z + 1 2 z2 .
rev 35327,
24. Juni
2011
• Implizite Mittelpunktsregel (2.2.19): 1
2
1
21 ➣ S(z) = 1+ 1 2 z
1− 1 2 z .
3.1
p. 330

• RK4-Verfahren (2.3.11):
0 0 0 0 0
1
2
1
2
0 0 0
1
2
0 1 2 0 0
1 0 0 1 0
1
6 2 6 2 6 1 6
➣ S(z) = 1+z + 1 2 z2 + 1 6 z3 + 1
24 z4 .
Numerische
Mathemtik
✸
Beispiel 3.1.11 (Verhalten von Stabilitätsfunktionen).
Verhalten von Stabilitätsfunktionen
(für reelles Argumentz):
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Bem. 3.1.7 ➣ wir erwarten, dass sich die Stabilitätsfunktionen in z = 0 an exp(z) “anschmiegen”,
d.h., beiden Funktionen stimmen im Werte und einigen niedrigsten Ableitungen überein. Die
Mindestzahl der übereinstimmenden Ableitungen ist gegeben durch die Konsistenzordnung des Einschrittverfahrens.
3.1
p. 331

60
50
40
30
exp(z)
Explicit Euler
Classical RK4
Implicit Euler
Gauss−coll.−RK−ESV s=1
Gauss−coll.−RK−ESV s=2
Gauss−coll.−RK−ESV s=3
Gauss−coll.−RK−ESV s=4
4
3.5
3
2.5
exp(z)
Explicit Euler
Classical RK4
Implicit Euler
Gauss−coll.−RK−ESV s=1
Gauss−coll.−RK−ESV s=2
Gauss−coll.−RK−ESV s=3
Gauss−coll.−RK−ESV s=4
Numerische
Mathemtik
Re(S(z))
20
Re(S(z))
2
10
1.5
0
1
−10
0.5
−20
−5 0 5
z
Fig. 105
0
−1 −0.5 0 0.5 1
z
Fig. 106
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Beispiele: StabilitätsgebieteS expliziter RK-ESV:
3.1
p. 332

2.5
3
3
2
1.5
2
2
Numerische
Mathemtik
1
1
1
0.5
Im
0
Im
0
Im
0
−0.5
−1
−1
−1
−1.5
−2
−2
−2
−2.5
−3 −2 −1 0 1
Fig.
2
1073
Re
S Ψ : expliziter Euler (2.2.1)
✗
✖
−3
Fig. 108
−3 −2 −1 0 1 2 3
Re
S Ψ : explizite Trapezregel
Mittelpunktsregel
−3
S Ψ :
Das Stabilitätsgebiet expliziter RK-Verfahren ist beschränkt !
Fig. 109
−3 −2 −1 0 1 2 3
Re
RK4-Verfahren (2.3.11)
Kuttas 3/8-Regel (2.3.12)
✔
✕
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.1
p. 333

3
2
*
λ
Stabilitätsbedingte Schrittweitenbeschrän-
Numerische
Mathemtik
kung für explizite RK-ESV angewandt auf
1
λh ∋
(3.1.1):
Im
0
h < sup{t > 0: tλ ∈ S Ψ } . (3.1.12)
−1
−2
Für eine detailliertere Betrachtung siehe [8, Lemma
6.6]
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Re
Bemerkung 3.1.13 (RK-ESV für autonome homogene lineare ODE). siehe Sect. 1.3.2
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Was ist die Diskrete Evolution eines RK-ESV angewandt auf
homogene, autonome, lineare ODE ẏ = Ay, A ∈ C d,d ?
3.1
p. 334

➀ Annahme: A diagonalisierbar ⇔ ∃S ∈ C d,d regulär: S −1 AS = D := diag(λ 1 ,...,λ d )
Numerische
Mathemtik
Folgerung aus Affin-Kovarianz von RK-ESV (→ Bem. 2.3.13):
Ist ̂Ψ die diskrete Evolution zu d dtŷ = Dŷ (entkoppelte skalare lineare ODE !), dann, mitŷ := S−1 y,
Ψ h y (2.3.14)
= ŜΨ h S −1 y = S
⎛
P(hλ 1)
= S⎝ . ..
⎛
̂Ψ h ⎞ ⎛
λ ŷ
⎜ 1 1
⎟
S(hλ 1)
⎝ . ⎠ = S⎝ . ..
̂Ψ h λ ŷ
d
d
⎞ ⎛ ⎛
⎠S −1 ⎝S
Q(hλ 1)
⎝ . ..
P(hλ d )
⎞
⎠ŷ
S(hλ d )
⎞ ⎞
⎠S −1 ⎠
Q(hλ d )
= SP(hD)S −1( SQ(hD)S −1) −1
y = P(hA)Q(hA) −1 y = S(hA)y .
−1
y
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
wobeiS(z) = P(z)/Q(z) ˆ= Stabilitätsfunktion (→ Thm. 3.1.6) des RK-ESV.
➁
Allgemeine MatrixA ∈ C d,d mit Eigenwerten (mit Vielfachheit gezählt)λ 1 ,...,λ d ∈ C
3.1
p. 335

Hilfsmittel:
Schur-Zerlegung
Numerische
Mathemtik
✬
✩
Lemma 3.1.14 (Schur-Zerlegung). Zu jeder Matrix A ∈ C d,d existiert eine unitäre Matrix U ∈
C d,d und eine obere DreiecksmatrixT ∈ C d,d so, dass
A = UTU H .
✫
✪
Aus der Schur-Zerlegung für Matrizen folgt, dass die diagonalisierbaren Matrizen inC d,d dicht liegen
(bzgl. der von der Euklidischen Norm induzierten Matrixnorm): addiere zu T eine DiagonalmatrixD
mit beliebig kleinen Diagonaleinträgen so, dass T + D paarweise verschiedene Diagonaleinträge
hat. Dann ist U(T + D)U H diagonalisierbar, denn auch diese Matrix hat parrweise verschiedene
Eigenwerte.
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
➣ Ist σ(hA) ⊂ D S , dann gibt es also eine Folge diagonalisierbarer Matrizen A n → A, n ∈ N,
σ(hA n ) ⊂ D S , für die offensichtlich infolge der Stetigkeit der Matrixmultiplikation gilt
P(hA n ) → P(hA) , Q(hA n ) → Q(hA) .
3.1
p. 336

Wegen der Stetigkeit der Matrixinversion A ↦→ A −1 auf GL(d) := {M ∈ C d,d : M regulär} folgt
damit
Numerische
Mathemtik
S(hA n ) = P(hA n )Q(hA n ) −1 → P(hA)Q(hA) −1 = S(hA) . (3.1.15)
Ist nunΨ h n die diskrete Evolution zuẏ = A ny, so gilt
Ψ h y = lim
n→∞ Ψh ny = ➀ lim
n→∞ S(hA n)y (3.1.15)
= S(hA) .
Ψ h y =
Stabilitätsfunktion
S(hA)y ∀y ∈ C d . (3.1.16)
△
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
Bemerkung 3.1.17 (Funktionenkalkül für Matrizen).
FürA ∈ R d,d :
3.1
p. 337

Klar ist p(A) =
s∑
c j A j ∑
für Polynomp ∈ P s ,p(z) = s
j=1
Für rationale Funktion
s∑
falls
s∑
j=1
R(z) =
j=1
s∑
j=1
p j z j
q j A j invertierbar.
Istf(z) = ∞ ∑
i=0
q j z j R(A) =
⎛
⎝
s∑
j=1
j=1
q j A j ⎞
⎠−1 ⎛ ⎝
c j z j .
s∑
j=1
a j z j eine Potenzreihe mit Konvergenzradiusρ > 0, so ist
f(A) :=
∞∑
a j A j wohldefiniert für ‖A‖ < ρ .
p j A j ⎞
⎠ , (3.1.18)
i=0
So lassen sich transzendente Funktionen von Matrizen, wie etwa die Matrixexponentialfunktion
(1.3.14) definieren.
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
Für alle oben eingeführten Matrixfunktionen gilt, vgl. 1.3.15,
A = S −1 BS ⇒ f(A) = S −1 f(B)S ∀A,B ∈ C d,d , S ∈ C d,d regulär . (3.1.19)
3.1
p. 338

Für das Spektrum gilt
σ(f(A)) = f(σ(A)) := {f(λ): λ ∈ σ(A)} . (3.1.20)
Numerische
Mathemtik
△
3.2 Vererbung asymptotischer Stabilität
3.2.1 Attraktive Fixpunkte
R. Hiptmair
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2011
Betrachte: Autonomes AWP ẏ = f(y), f ∈ C 1 (D,R d ),D ⊂ R d offen.
Definition 3.2.1 (Fixpunkt).
y ∗ ist Fixpunkt (stationärer Punkt) vonẏ = f(y), falls f(y ∗ ) = 0.
3.2
p. 339

Die Begriffsbildung ist klar:
eine Fixpunkt repräsentiert einen Zustand, der sich während der Evolution
nicht ändert:
y(0) = y ∗ ⇒ y(t) = y ∗ ∀t ∈ R .
Numerische
Mathemtik
Definition 3.2.2 (Asymptotische Stabilität eines Fixpunkts). → [8, Def. 3.19]
Fixpunkty ∗ ∈ D asymptotisch stabil (attraktiv)
:⇔ ∃δ > 0: ‖y 0 −y ∗ ‖ < δ ⇒ R + 0 ⊂ J(y 0) ∧ lim
t→∞ y(t) = y∗ ,
wobeiy(t) Lösung des AWP ẏ = f(y),y(0) = y 0 .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Erinnerung an Def. 1.3.1:
J(y 0 ) ˆ= maximales Existenzintervall der Lösung einer autonomen Differentialgleichung
zum Anfangswerty 0 .
“Asymptotische Stabilität” in Worten: Ein Fixpunktzustand y ∗ ist asymptotisch stabil/attraktiv, wenn
alle Lösungskurven, die hinreiched nahe bei ihm starten gegeny ∗ konvergieren.
3.2
p. 340

Das folgende Beispiel vermittelt eine bildliche Vorstellung:
Numerische
Mathemtik
Beispiel 3.2.3 (Attraktive und repulsive Fixpunkte einer skalaren ODE).
2
d t
y = −y(1−y)(1+y)
Lösungskurven der ODE
ẏ = −y(1−y)(1+y)
y ∗ = 0 ist asymptotisch stabiler (attraktiver) Fixpunkt,
y ∗ = ±1 sind instabile (repulsive) Fixpunkte
(→ Bsp. 1.2.1)
✄
y(t)
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
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−2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
Fig. 110 ✸
3.2
p. 341

✬
✩
Theorem 3.2.4 (Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität).
Fixpunkty ∗ ∈ D ist asymptotisch stabil, falls
Numerische
Mathemtik
σ(Df(y ∗ )) ⊂ C − := {z ∈ C: Rez < 0} .
✫
✪
✎ Notation: σ(A) := {λ : λ ist Eigenwert vonA} ˆ= Spektrum einer Matrix
Hilfsmittel: Matrixexponentialfunktion (1.3.14), Jordan-Normalform vonA ∈ C d,d :
∃S ∈ C d,d regulär: S −1 AS = diag(J 1 ,...,J m ) ,
mit Jordan-Blöcken der Form (λ ∈ σ(A))
⎛ ⎞
λ 1 0 ... ... 0
0 λ 1 0 .
J k =
⎜
... ...
⎟ = λI+N k ∈ C d k,d k , d k ∈ {1,...,d} .
⎝ λ 1⎠ λ
R. Hiptmair
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2011
3.2
p. 342

N k ∈ C d k,d k sind nilpotente Matrizen: N
d k = 0
Numerische
Mathemtik
Wegen (1.3.15) genügt esexp(J) für einen generischen Jordan-BlockJ ∈ C n,n zu betrachten.
Verwende: A,B ∈ R n,n : AB = BA ⇒ exp(A+B) = exp(A)·exp(B) . (3.2.5)
exp(tJ) = exp(tλI+λN k ) = exp(tλI)exp(tN k ) = e λt exp(tN k ) .
Beachte:
exp(tN) ist ein Polynom in t, wenn N nilpotent (Exponentialreihe bricht nach endlich
vielen Gliedern ab). Also finden wir
exp(At) = Sexp(Dt)P(t)S −1 , D = diag(λ 1 ,...,λ d ) ,
mit einem Matrixpolynom P vom Grad < d, λ 1 ,...,λ d ˆ= Eigenwerte von A (mit Vielfachheit gezählt).
‖exp(At)‖ ≤ ‖S‖
∥
∥S −1∥ ∥ ∥‖exp(Dt)‖·‖Matrixpolynom int‖ ,
R. Hiptmair
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wobeiDdie Diagonalmatrix der Eigenwerte vonAist. Wegen
∀λ ∈ R: ∀β > λ: ∀p ∈ P n : ∃C = C(λ,β,p): e λt p(t) ≤ Ce βt ∀t ∈ R .
schliessen wir:
‖exp(At)‖ ≤ Ce βt für jedesβ > max{Reσ(A)}.
Beweis. (von Thm.3.2.4) → [8, Satz 3.30], O.B.d.A. y ∗ = 0
3.2
p. 343

Linearisierung, siehe Bem. 1.3.19:
f(y) = Df(0)y+r(y) , ‖r(y)‖ = o(‖y‖) füry → 0 .
y(t) ˆ= Lösung des AWP zu Anfangswert y 0 , t ∈ J(y 0 ). Variation-der-Konstanten-Formel, siehe
Sect. 1.3.2:
∫ t
y(t) = exp(Df(0)t)y 0 +
0
Mit Hilfe der Jordan-Normalform, siehe oben:
exp(Df(0)(t−τ))r(y(τ))dτ . (3.2.6)
Numerische
Mathemtik
∀β ∈]max{Reλ : λ ∈ σ(Df(0))} ,0[: ∃C = C(β) > 0: ‖exp(Df(0)t)‖ ≤ Ce βt ∀t ∈ R .
} {{ }
0. Dazu gibt esǫ > 0:
‖r(y)‖ ≤ |β|
2C
Annahme: ‖y(t)‖ < ǫ für0 < t < δ. Damit für0 ≤ t < δ aus (3.2.6)
Benutze:
‖y(t)‖ ≤ Ce βt ‖y 0 ‖+ |β|
2
∫ t
e |β|t ‖y(t)‖ ≤ C‖y 0 ‖+ |β|
2
0
e β(t−τ) ‖y(τ)‖ dτ ,
Gronwalls Lemma (Lemma 1.3.29) füru(t) := e |β|t ‖y(t)‖
‖y(t)‖ ≤ C‖y 0 ‖exp(− |β|
‖y‖, wenn‖y‖ < ǫ
R. Hiptmair
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2011
∫ t
e |β|τ ‖y(τ)‖ dτ
0
2 t) ∀0 ≤ t < δ . (3.2.7) 3.2
p. 344

Nun sieht man, dass die Annahme‖y(t)‖ < ǫ erfüllt ist, wenn‖y 0 ‖ <
ǫ
max{C,1} .
Numerische
Mathemtik
Unter dieser Bedingung gilt (3.2.7) für allet ≥ 0 und auch R + 0 ⊂ J(y 0) mit Thm. 1.3.4.
✷
✬
Asymptotische Stabilität eines Fixpunktes y ∗ folgt aus der asymptotischen Stabilität des Fixpunktesy
∗ der umy ∗ linearisierten ODE
✩
ẏ = Df(y ∗ )(y−y ∗ ) . (3.2.8)
✫
✪
Dies bestätigt die die Modellproblemanalyse von Sect. 3.1 motivierende Intuition, dass das Verhalten
von Lösungen einer ODE in einer Umgebung eines Fixpunktes durch das Verhalten der Lösungen
der um den Fixpunkt linearisierten ODE qualitativ richtig beschrieben wird.
R. Hiptmair
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2011
3.2.2 Attraktive Fixpunkte von Einschrittverfahren
3.2
p. 345

Wir betrachten weiterhin ein autonomes AWP ẏ = f(y), f ∈ C 1 (D,R d ),D ⊂ R d offen.
Numerische
Mathemtik
Ferner seiy ∗ ein Fixpunkt (→ Def. 3.2.1): f(y ∗ ) = 0.
Betrachte: (Konsistentes) RK-ESV für autonome ODE ẏ = f(y) (→ Def. 2.3.5)
Hinreichend:
s∑
k i := f(y+h a ij k j ) , i = 1,...,s , Ψ h y := y+h
s∑
i=1
j=1
b i = 1, Lemma 2.3.23
s∑
b i k i . (3.2.9)
i=1
R. Hiptmair
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Annahme: h hinreichend klein für Wohldefiniertheit des ESV füry„nahe bei”y ∗ ,→Lemma. 2.2.7.
Ψ h y ∗ = y ∗ ∀h hinreichend klein . (3.2.10)
3.2
p. 346

Numerische
Mathemtik
Betrachte eine mit Hilfe der AbbildungΠ : D ⊂ R d ↦→ R d rekursiv definierte Folge y k+1 = Π(y k ).
(Man sagt auch, dass Π ein diskretes dynamisches System definiert. Offensichtlich stellen alle Einschrittverfahren
diskrete dynamische Systeme dar.)
Klar:y ∗ ∈ D heisst Fixpunkt des diskreten dynamischen Systems, fallsΠ(y ∗ ) = y ∗ .
Auch klar: Definition der asymptotischen Stabilität eines Fixpunkts eines diskreten dynamischen Systems
analog zu Def. 3.2.2
R. Hiptmair
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24. Juni
2011
✬
✩
Theorem 3.2.12 (Asymptotische Stabilität von Fixpunkten diskreter dynamischer Systeme).
SeiΠ : D ⊂ R d ↦→ R d stetig differenzierbar undΠ(y ∗ ) = y ∗ für einy ∗ ∈ D. Dann gilt
ρ(DΠ(y ∗ )) < 1 ⇒ y ∗ ist asymptotisch stabiler Fixpunkt von y k+1 := Π(y k ) .
✫
✎ Notation: ρ(A) := max{|λ| : λ ∈ σ(A)} ˆ= Spektralradius einer Matrix
✪
3.2
p. 347

✬
Numerische
Mathemtik
✩
Lemma 3.2.13 (Den Spektralradius approximierende Matrixnorm). → [12, Sect. 2.9.3]
Zu jeder Matrix A ∈ C d,d und jedem ǫ > 0 gibt es eine Vektornorm‖·‖ A,ǫ auf R d so, dass für
die induzierte Matrixnorm gilt
ρ(A) ≤ ‖A‖ A,ǫ ≤ ρ(A)+ǫ .
✫
✪
Der Beweis stützt sich auf die Schur-Normalform vonA.
☞ Für diskrete EvolutionΨ h : Untersuche die Jacobi-Matrix D y (Ψ h y) füry = y ∗ !
R. Hiptmair
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Für RK-ESV: D y (Ψ h )(y ∗ ) = S(hDf(y ∗ )) . (3.2.14)
Erinnerung:
im Sinne von Bem. 3.1.17.
S ist die (rationale) Stabilitätsfunktion (→ Thm. 3.1.6) des RK-ESV, in (3.2.14) benutzt
3.2
p. 348

✬
✩
{ f(y ∗ ) = 0 ⇔ Φ h y ∗ = y ∗} ⇒ Ψ h y ∗ = y ∗
Numerische
Mathemtik
⇓
y(h) ≈ (y 0 −y ∗ )exp(Df(y ∗ )h)+y ∗ ↔ Ψ h y ≈ (y 0 −y ∗ )S(hDf(y ∗ ))+y ∗
✫
✪
✬
✩
Theorem 3.2.15 (Vererbung asymptotischer Stabilität).
Ein Fixpunkt y ∗ ∈ D der diskreten Evolution eines RK-ESV mit Stabilitätsgebiet S Ψ ist asymptotisch
stabil (→ Def. 3.2.2), wenn
✫
hσ(Df(y ∗ )) ⊂ S Ψ .
✪
R. Hiptmair
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24. Juni
2011
★
✥
Explizite RK-ESV : Schrittweitenbeschränkung für Vererbung
von Stabilität eines Fixpunktes (→ (3.1.12))
✧
✦
3.2
p. 349

Für welche Verfahren entfällt Schrittweitenbeschränkung ?
Numerische
Mathemtik
Definition 3.2.16 (A-stabiles Einschrittverfahren). → [8, Sect. 6.1.3]
ESV A-stabil :⇔ C − := {z ∈ C: Rez < 0} ⊂ S Ψ (S Ψ = Stabilitätsgebiet,
→ Def. 3.1.4)
Aus Thm. 3.2.15: für A-stabile ESV (mit diskreter EvolutionΨ h )
Autonome Dgl. ẏ = f(y) ,
Fixpunkt f(y ∗ ) = 0
Beispiel 3.2.17 (Einfache A-stabile RK-ESV).
∧
σ(Df(y ∗ )) ⊂ C −
(ˆ= asymp. Stabilität vony ∗ )
⇒
dann
Falls ‖y 0 −y ∗ ‖ < δ,
lim
k→∞
(
Ψ h) k
y0 = y ∗ .
R. Hiptmair
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2011
3.2
p. 350

3
Numerische
Mathemtik
2
Im
1
0
−1
Implizites Eulerverfahren (1.4.13)
Stabilitätsfunktion (→ Thm. 3.1.6)
S(z) = 1
1−z .
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Re
Fig. 111
✁ StabilitätsgebietS Ψ (→ Def. 3.1.4)
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
3.2
p. 351

3
2
implizite Mittelpunktsregel (1.4.19)
Numerische
Mathemtik
Im
1
0
Stabilitätsfunktion (→ Thm. 3.1.6)
S(z) = 1+ 1 2 z
1− 1 2 z .
−1
✁ StabilitätsgebietS Ψ (→ Def. 3.1.4)
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3
Re
Fig. 112
Dies ist das “ideale Stabilitätsgebiet”!
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
✸
3.3 Nichtexpansivität [8, Abschn. 6.3.3]
Betrachte: Autonomes AWP ẏ = f(y), f ∈ C 1 (D,R d ),D ⊂ R d offen.
3.3
p. 352

Wir fixierenM ∈ R d,d s.p.d. ➣ Norm‖y‖ M := (y T My) 1 /2 auf R d .
Numerische
Mathemtik
Definition 3.3.1 (Nichtexpansivität).
Eine Evolution Φ t zu einer autonomen Dgl. bzw. eine diskrete Evolution Ψ h zu einem zugehörigen
Einschrittverfahren heisst nichtexpansiv, falls
∥ ∥
und für allet ∈ J(y)∩J(ỹ)∩R + 0
∥Φ t y−Φ t ỹ∥ ≤ ‖y−ỹ‖ M M ,
∥
∥Ψ h y−Ψ h ∀y,ỹ ∈ D ,
ỹ∥ ≤ ‖y−ỹ‖ M M
und alle „hinreichend kleinen”h > 0.
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Beispiel 3.3.2 (Gradientenfluss ➞ „Kriechvorgänge”).
Gegeben:
C 1 -PotentialV : R d ↦→ R konvex
3.3
p. 353

Erinnerung: Eine AbbildungV : R d ↦→ R heisst konvex, falls
Numerische
Mathemtik
V(ξx+(1−ξ)y) ≤ ξV(x)+(1−ξ)V(y) ∀0 ≤ ξ ≤ 1 . (3.3.3)
Erinnerung: EineC 1 -Funktionϕ : R ↦→ R is genau dann konvex, wennϕ ′ monoton steigt.
Offensichtliche Konsequenz aus (3.3.3): Ist V : R d ↦→ R konvex, so gilt das für jeden “Schnitt”
τ ↦→ V(y+τ(x−y)),x,y ∈ R d .
d
dτ
C 1 -PotentialV : R d ↦→ R konvex
⇕
ϕ monoton steigend fürϕ(τ) := V(y+τ(x−y)) ∀x,y ∈ Rd
⇕
(gradV(x)−gradV(y)) T (x−y) ≥ 0 ∀x,y ∈ R d .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.3
p. 354

Numerische
Mathemtik
40
Gradientenfluss-AWP:
30
20
2
ẏ(t) = −gradV(y(t)) ,
y(0) = y 0 ∈ R d .
(3.3.4)
10
1
0
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
x 2
Fig. 113
−1
0
x 1
Die Evolution zu (3.3.4) ist nichtexpansiv bzgl. der Euklidischen Norm:
∥
χ(t) := ∥Φ t y−Φ t ỹ∥ 2 ⇒ ˙χ(t) = −2(gradV(Φ t y)−gradV(Φ t ỹ)) T (Φ t y−Φ t ỹ)
2 } {{ }
≥0
➣ Nichtexpansivität (→ Def. 3.3.1) mitM = I.
≤ 0 .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
✸
3.3
p. 355

Nichtexpansivität einer Evolution:
äquivalente Charakterisierung
Numerische
Mathemtik
Definition 3.3.5 (Dissipatives Vektorfeld).
f : D ⊂ R d ↦→ R d dissipativ :⇔ M(f(y)−f(ỹ))·(y−ỹ) ≤ 0 ∀y,ỹ ∈ D .
Dies ist eine Verallgemeinerung der Eigenschaft „monoton fallend” von skalarwertigen Funkionen.
✬
Lemma 3.3.6 (Bedingung für Nichtexpansivität einer Evolution).
✫
Rechte Seitef dissipativ
⇔ Nichtexpansivität der Evolution
zur autonomen ODEẏ = f(y)
✩
R. Hiptmair
✪
rev 35327,
24. Juni
2011
✬
Theorem 3.3.7 (Gauss-Kollokations-RK-ESV nichtexpansiv).
Die diskreten Evolutionen zu Gauss-Kollokations-RK-ESV (→ Sect. 2.2.3) erben die Nichtexpansivität
der (exakten) Evolution.
✫
✩
✪
3.3
p. 356

Beweis von Thm. 3.3.7. Betrachte Gauss-Kollokations-ESV mitsKnoten:
Numerische
Mathemtik
y h (t),ŷ h (t) ∈ P s ˆ= Kollokationspolynome zu Anfangswerteny 0 bzw.ỹ 0 , siehe Sect. 2.2.1
Ψ h y 0 = y h (h) , Ψ h ỹ 0 = ỹ h (h) .
d(τ) := ‖y h (τh)−ỹ h (τh)‖ 2 M
ist Polynom inτ vom Grad ≤ 2s .
Nichtexpansivität vonΨ h is äquivalent zu
∥
∥Ψ h y 0 −Ψ h ỹ 0
∥ ∥∥ 2
M = d(1) = d(0)+ ∫ 1
d ′ (τ)dτ
0
} {{ }
Ziel
!
≤0
∫ 1
= ‖y 0 −ỹ 0 ‖ 2 M + d ′ (τ)dτ . (3.3.8)
0
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Gauss-Quadratur (mitsKnoten) ist exakt für Polynome∈ P 2s−1
∫ 1
0
Ableitung aus der Kettenregel:
d ′ (τ)dτ =
s∑
b j d ′ (c j ) . (3.3.9)
j=1
d ′ (τ) = 2hM(y h (τh)−ỹ h (τh))·(ẏ h (τh)− ˙ỹ h (τh)) . (3.3.10)
3.3
p. 357

Aus Kollokationsbedingungen (2.2.1):
ẏ h (c j h) = f(y h (c j h)) , ˙ỹh (c j h) = f(ỹ h (c j h)) , j = 1,...,s .
Numerische
Mathemtik
(3.3.10)
d ′ (c j ) = 2hM(y h (c j h)−ỹ h (c j h))·(f(y h (c j h))−f(ỹ h (c j h))) ≤ 0 , (3.3.11)
daf dissipativ ⇔ Nichtexpansivität vonΦ t , vgl Lemma 3.3.6.
(3.3.8), (3.3.9), (3.3.11) ⇒ Behauptung, da Gewichteb j der Gauss-Quadraturformeln positiv !. ✷
✬
Lemma 3.3.12 (Diskrete Nichtexpansivität ⇒ A-Stabilität).
Nichtexpansivität (→ Def. 3.3.1) erbende RK-ESV (→ Def. 2.3.5) sind A-stabil (→ Def. 3.2.16).
✫
✩
R. Hiptmair
✪
rev 35327,
24. Juni
2011
Beweis. Skalare komplexe Dlg. ↔ reelle Dlg. inD = R 2 : für beliebigesλ = α+iβ ∈ C
(˙u˙v) ( )( (
ẏ = λy y=u+iv α −β u u
⇔ = ↔ ẏ = f(y) mit y := .
β α v)
v)
} {{ }
=:A
3.3
p. 358

Reλ < 0 ⇒ α < 0 ⇒ x T Ax = α‖x‖ 2 ≤ 0 ∀x ∈ R 2
⇒ rechte Seite f(y) = Ay ist dissipativ (→ Def. 3.3.5)
⇒ Evolution nichtexpansiv, siehe Lemma 3.3.6.
Numerische
Mathemtik
(“Vererbung”)
⇒
Diskrete EvolutionΨ h nichtexpansiv
∥
∥Ψ h y∥ = |S(hλ)||y| ≤ ‖y‖ 2 2 = |y| ⇒ |S(z)| ≤ 1 ∀z ∈ C − .
∗
⇒ |S(z)| < 1 ∀z ∈ C − .
⇒ C − ⊂ S Ψ (Stabilitätsgebiet→Def. 3.1.4) . ✷
∗: S(z) is a meromorphic function so that |S(z)| can attain its maximal value on C − only on the
boundary∂C = iR.
✓
✒
Alle Gaus-Kollokations-ESV sind A-stabil
✏
✑
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Bemerkung 3.3.13 (Lösbarkeit der Inkrementgleichungen für Gauss-Kollokations-ESV).
Die Inkrementgleichungen eines Gauss-Kollokations-RK-ESV für eine nichtexpansive
autonome ODE sind für jedesh > 0 eindeutig lösbar →[18, Sect. IV.14].
3.3
p. 359

0.9
0.9
1 1 1
△
Numerische
Mathemtik
Stabilitätsgebiete von Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren:
Im
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0.4
0.4
0.7
0.7
0.4
0.4
0.9
0.7
0.7
0.9
−5
−6 −4 −2 0 2
Fig.
4
1146
Re
1 1 1
1.1
1.1
1.1
1.5
1.5
1.5
1.5
Im
20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
0.7
0.4
0.7
0.4
0.9
0.7
0.4
0.7
0.9
1.1
−20 −10 0 10 20
Re
1.5
1.1
1.1
1.5
1.5
1.5
Fig. 115
Im
50
40
30
20
10
0
−10
−20
−30
−40
0.4
0.4
0.7
0.7
0.4
0.4
0.9
0.7
0.7
0.9
−50
−60 −40 −20 0 20
Fig.
40
116
60
Re
1 1 1
1.1
1.5
0.9
1.1
1.1
1.5
1.5
1.5
1.5
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Implizite Mittelpunktsregel
s = 2 (Ordnung 4)
s = 4 (Ordnung 8)
Vermutung (Beweis später):
Niveaulinien von|S(z)| für Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren
S Ψ = C −
Beispiel 3.3.14 (Gauss-Kollokationsverfahren für logistische Differentialgleichung). → Bsp. 3.0.1,
1.4.21
3.3
p. 360

Logistische Differentialgleichung
ẏ = f(y),
f(y) = λy(1 − y) → (2.2.84), λ = 50, Anfangswerty
0 = 10 −4 , Zeitintervall[0,1].
Kollokations-Einschrittverfahren (→ Abschnitt
2.2) auf äquidistantem Gitter,
h = 1
20 . 0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y
1
0.8
0.6
0.4
t
y(t)
s=1
s=2
s=3
s=4
Fig. 117
✸
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Bemerkung 3.3.15 (A-Stabilität ⇏ Diskrete Nichtexpansivität ).
Gegenbeispiel:
implizite Trapezregel, Einschrittverfahren fürẏ = f(t,y) definiert durch
y 1 = y 0 + 1 2 h(f(t,y 0)+f(t+h,y 1 )) ↔ Butcher-Schema
0 0 0
1 1/2 1/2
1/2 1/2
3.3
p. 361

{
−y
3
füry < 0 ,
angewandt auf skalare autonome ODE ẏ =
−y 2 füry ≥ 0 .
→ Übungsaufgabe
△
Numerische
Mathemtik
Bemerkung 3.3.16 (B-Stabiliät).
Einschrittverfahren, die die Nichtexpansivität der Evolution zu einer ODE erben, heissen auch B-stabil
[18, Sect. IV.12].
△
Ein algebraisches Kriterium für B-Stabilität:
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Definition 3.3.17 (Algebraische Stabilität).
Ein Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5) mit Butcher-Schema c A bT , siehe (2.3.6),
ist algebraisch stabil, falls
(i)b i ≥ 0,i = 1,...,s,
(ii) und die Matrix
ist.
M := diag(b 1 ,...,b s )A−A T diag(b 1 ,...,b s )−bb T positiv semi-definit
3.3
p. 362

✬
Theorem 3.3.18 (Kriterium für B-Stabilität).
Algebraische Stabilität
✫
⇒ B-Stabilität
✩
Numerische
Mathemtik
✪
3.4 Gleichmässige Stabilität
Beispiel 3.4.1 (Gauss-Kollokations-ESV bei stark attraktiven Fixpunkten). → Bsp. 3.5.2
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.4
p. 363

ODE mit stark attraktivem Fixpunkty = 1:
1.4
1.2
Äquidistantes Gitter, h=0.016667
y(t)
Gauss−Koll., s= 1
Gauss−Koll., s= 2
Numerische
Mathemtik
ẏ = λy 2 (1−y) ,
λ = 500 , y(0) = 1
100 .
y
1
0.8
Qualitatives Verhalten von
0.6
Gauss-Kollokations-ESV (→ Abschnitt 2.2)
auf äquidistantem Gitter
✄
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 118
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
➣
Falsche Oszillationen bei Gauss-Kollokations-ESV niedriger Ordnung
Erklärung: Für Gauss-Kollokations-ESV gilt S(z) ≈ ±1 für |z| → ∞, so dass der Fixpunkt der diskreten
Evolution zwar anziehend bleibt, aber die diskrete Lösung (im Gegensatz zur kontinuierlichen)
nur noch langsam (und oszillatorisch für ungeradess) gegen ihn konvergiert.
Weitere Demonstration → Bsp. 3.4.2
3.4
p. 364

✸
Numerische
Mathemtik
Beispiel 3.4.2 (Implizite RK-ESV bei schnellen Transienten). → Bsp. 3.5.5
AWP: ẏ = −λy +βsin(2πt) , λ = 10 6 , β = 10 6 , y(0) = 1 .
RK-ESV, äquidistantes Gitter auf[0,1],h = 1
40 :
Re(S(z))
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
exp(z)
Impliziter Euler
Gauss−Koll.−RK−ESV s=1
Gauss−Koll.−RK−ESV s=2
Gauss−Koll.−RK−ESV s=3
Gauss−Koll.−RK−ESV s=4
y
4
3
2
1
0
y(t)
Impliziter Euler
Kollokations RK−ESV s=1
Kollokations RK−ESV s=2
Kollokations RK−ESV s=3
Kollokations RK−ESV s=4
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
−0.4
−0.6
−1
−0.8
−2
−1
−1000 −800 −600 −400 −200 0
z
Fig. 119
Stabilitätsfunktionen fürRez ≪ 1
−3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 120
Diskrete Evolutionen (Zeitverlauf)
3.4
p. 365

➣ Ungenügende Dämpfung der Anfangsstörung bei Kollokations-RK-ESV !
(Oszillationen für ungeradess ➞ vgl. Stabilitätsfunktionen, lim
Rez→−∞ S(z) = (−1)s )
Numerische
Mathemtik
➣ Implizites Euler-Verfahren (1.4.13): sofortige Relaxation der diskreten Lösung !
Klar, denn
lim S(z) =
Rez→−∞
lim
Rez→−∞
1
1−z
= 0 für implizites Euler-Verfahren.
✸
Sect. 3.1:
StabilitätsfunktionS(z) ←→ exp(z)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Utopie (für RK-ESV): S(−∞) = 0 , S(∞) = ∞
(von keiner rationalen Funktion erfüllbar !)
Bescheidener Wunsch (bei stark attrativen Fixpunkten, schnellen Relaxationen): S(−∞) = 0
3.4
p. 366

Definition 3.4.3 (L-Stabilität).
Numerische
Mathemtik
ESV L-stabil :⇔ {z ∈ C: Rez < 0} ⊂ S Ψ & lim
Rez→−∞ |S(z)| = 0
Kurz: L-stabil :⇔ A-stabil & „S(−∞) = 0”
Wie findet man L-stabile RK-ESV ?
Existenz ist zu fordern
Fallsb T = a T j,·
Thm. 3.1.6 ⇒ S(−∞) = 1−b T A −1 1 . (3.4.4)
(Zeile von A) ∧ A regulär ⇒ S(−∞) = 0 . (3.4.5)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
charakterisiert steif-genaue (engl. stiffly accurate) RK-ESV [8, Lemma 6.32]
3.4
p. 367

Bemerkung 3.4.6 (Invertierbarkeit der Koeffizientenmatrix von RK-ESV).
Numerische
Mathemtik
Für jedes s-stufige Kollokationsverfahren (→ Sect. 2.2.1) mit c s > 0 (.d.h, für jedes Kollokationsverfahren
mit Ausnahme des expliziten Eulerverfahrens (1.4.2)) ist die Koeffizientenmatrix (Butcher-
Matrix) A nichtsingulär
Beweis. Es seix ∈ R s mit Ax = 0
(2.2.3)
⇒
s∑
a ij x j =
j=1
s∑
j=1
mit den Lagrange-PolynomenL i ∈ P s−1 aus (2.2.2).
q :=
s∑
x j L j erfüllt:
j=1
∫ c i
0
∫ c i
x j L j (τ)dτ = 0 , i = 1,...,s ,
c i−1
q(τ)dτ = 0 , i = 1,...,s (c 0 := 0) .
⇒ q ∈ P s−1 hatsNullstellen in[0,c s ] ⇒ q = 0 ⇒ x = 0.
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
✷
△
3.4
p. 368

Butcher-Schema (2.3.6) für konsistente
(→ Lemma 2.3.23), L-stabile RK-ESV,
siehe Def. 3.4.3
✄
c A
b T :=
c 1 a 11 ··· a 1s
.
.
c s−1 a s−1,1 ··· a s−1,s .
1 b 1 ··· b s
b 1 ··· b s
.
Numerische
Mathemtik
Idee: Wählec s = 1 im Kollokations-RK-ESV (2.2.3)
Wählec 1 ,...,c s−1 als Knoten einer Quadraturformel maximaler Ordnung.
(➞ Gauss-Radau-Quadratur, Ordnung2s−1)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.4
p. 369

order of quadrature rule
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
Nodes for Gauss−Radau quadrature rules
size of weight
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
Weights for Gauss−Radau quadrature rules
order = 3
order = 5
order = 7
order = 9
order = 11
order = 13
order = 15
order = 17
order = 19
order = 21
order = 23
Numerische
Mathemtik
3
0.1
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
node position x
Knoten: Radau-Quadraturformeln
Fig. 121
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
node position x
Gewichte: Radau-Quadraturformeln
Fig. 122
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Implizites-stufige L-stabile Radau-ESV, Konvergenzordnung2s−1
(→ Thm. 2.2.51, [8, Sect. 6.3.2])
3.4
p. 370

1 1
1
1 5
3 12 − 12
1
1 3 1
4 4
3 1
4 4
4− √ 6
10
4+ √ 6
10
1
88−7 √ 6
360
296+169 √ 6
1800
16− √ 6
36
16− √ 6
36
296−169 √ 6
1800
88+7 √ 6
360
16+ √ 6
36
16+ √ 6
36
Implizites Euler-ESV Radau-ESV, Ordnung 3 Radau-ESV, Ordnung 5
−2+3 √ 6
225
−2−3 √ 6
225
1
9
1
9
Numerische
Mathemtik
Stabilitätsfunktion s-stufiger Radau-Kollokations-
RK-ESVs:
S(z) = P(z)
Q(z) , P ∈ P s−1, Q ∈ P s .
Re(S(z))
100
90
80
70
60
50
40
30
exp(z)
RADAU, s=2
RADAU, s=3
RADAU, s=4
RADAU, s=5
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Vorsicht: Auch „S(∞) = 0”
20
10
0
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
z
Niveaus der Stabilitätsfunktionen vons-stufigen Radau-Kollokations-RK-ESVs:
3.4
p. 371

1.5
1.5
0.7
0.4
10
20
30
8
6
4
2
0.4
0.9
0.7
1.1
1.5
1
0.4
0.7
15
10
5
0.4
0.9
1
1.1
0.7
1.5
0.4
0.9
1.1
1
0.7
0.4
20
10
0.4
1
1.1
1.5
0.4
0.7
0.9
1
1.1
1.5
0.4
0.7
Numerische
Mathemtik
Im
0
−2
−4
−6
−8
0.4
1
0.7
1.1
0.9
1
1.5
0.4
1.1
0.7
0.9
0.4
Im
0
−5
−10
−15
0.7
0.4
1
1.1
0.9
0.7
1.5
0.4
1.1
1
0.9
0.4
Im
0.1
0
−10
−20
0.4
0.9
1.1
1.5
1
0.4
0.9
0.7
1.5
1.1
1
0.9
0.7
0.4
−10
−2 0 2 4 6 8 10
Re
s = 2
−20
0 5 10 15 20
Re
s = 3
Beispiel 3.4.7 (Radau-ESV bei stark attraktiven Fixpunkten). → Bsp. 3.4.1
−30
0 5 10 15 20 25 30
Re
s = 4
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
3.4
p. 372

AWP für ODE mit stark attraktivem Fixpunkty = 1,
1.4
1.2
Äquidistantes Gitter, h=0.016667
y(t)
RADAU, s= 1
RADAU, s= 2
Numerische
Mathemtik
Bsp. 3.4.1
1
ẏ = λy 2 (1−y) ,
λ = 500 , y(0) = 1
100 .
y
0.8
0.6
Qualitatives Verhalten von Radau-ESV auf äquidistantem
Gitter
✄
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 123
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
➣
Diskrete Evolution strebt schnell dem stabilen Zustand zu
✸
Wie für Gauss-Kollokations-RK-ESV, siehe Thm. 3.3.7:
3.4
p. 373

✬
✩
Theorem 3.4.8 (Radau-ESV nichtexpansiv).
Die diskreten Evolutionen zu Radau-ESV erben die Nichtexpansivität der (exakten) Evolution.
✫
✪
Numerische
Mathemtik
Beweis. Erweiterung des Beweises zu Thm. 3.3.7. Mit den dortigen Notationen und Fehlerdarstellungsformel
für Gauss-Radau-Quadraturformeln
∫ 1
0
d ′ (τ)dτ =
s∑
b j d ′ (c j )−R mit R = c(s)d (2s) (ξ) , 0 ≤ ξ ≤ 1 ,
j=1
wobeic(s) > 0. Formeln (3.3.10) und (3.3.11) bleiben gültig, so dass die Behauptung von Thm. 3.4.8
gezeigt ist, sobaldR ≥ 0 sichergestellt ist:
d(τ) =
2s ∑
j=0
d(τ) ≥ 0 ⇒
δ j τ j ⇒ d (2s) (τ) = (2s)!δ 2s ,
lim d(τ) ≥ 0 ⇒ δ 2s ≥ 0 .
|τ|→∞
Beachte: Auch die Gewichte von Gauss-Radau-Quadraturformeln sind positiv, siehe Fig. 122.
Radau-ESV sind A-stabil (→ Def. 3.2.16)
✷
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.5
p. 374

3.5 Steifheit
Numerische
Mathemtik
Das Folgende ist keine Definition, sondern ein durch die Beobachtungen von Anwendern numerischer
Integratoren motivierter Begriff. Es ist nicht möglich, diesen Begriff in einer strengen mathematischen
Definition zu erfasssen. Dennoch ist er zentral für die Auswahl geeigneter numerischer Integratoren
und Teilnehmer der Vorlesung sollten schliesslich ein “Gerfühl” dafür haben, wann ein Anfangswertproblem
“steif” ist. Dieses wird in diesem Abschnitt anhand von Beispielen geschult.
Aus [25, Sect. 1]:
The usual definition of stiffness applies which states that a differential equation is stiff whenever
the implicit Euler method works (tremendously) better than the explicit Euler method.
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Konzept 3.5.1 (Steifes Anfangswertproblem).
Ein AWP heisst steif (engl. stiff), falls für explizite RK-ESV (→ Def. 2.1.5) Stabilität eine wesentlich
kleinere Schrittweite verlangt als die Genauigkeitsanforderungen.
3.5
p. 375

Beispiel 3.5.2 (Adaptive explizite RK-ESV für steifes Problem). → Sect. 2.6
ẏ(t) = λy 2 (1−y) , λ = 500 , y(0) = 1
100 .
MATLAB-CODE : Adaptives ESV für steifes Problem
fun = @(t,x) 500*x^2*(1-x); tspan = [0 1]; y0 = 0.01;
options = odeset(’reltol’,0.1,’abstol’,0.001,’stats’,’on’);
[t,y] = ode45(fun,tspan,y0,options);
plot(t,y,’r+’);
Numerische
Mathemtik
1.4
1.2
y(t)
ode45
1.5
0.03
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 124
y(t)
1
0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
0.02
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.01
Zeitschrittweite
Fig. 125
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
➣ Schrittweitensteuerung realisiert Schrittweitenbeschränkung ! → Bsp. 2.6.10
(186 successful steps, 55 failed attempts, 1447 function evaluations)
3.5
p. 376

y = 1 stark attraktiver Fixpunkt ➣
Extreme Schrittweitenbeschränkung für
expliziten Integratorode45
Numerische
Mathemtik
Beachte: die Schrittweitensteuerung erkennt Stabilitätsprobleme und reduziert die Schrittweite entsprechend
! → Bsp. 2.6.10
✸
R. Hiptmair
Welche Anfangswertprobleme sind steif ?
rev 35327,
24. Juni
ODE-Modelle für Systeme mit schnell relaxierenden Komponenten
2011
☞
(mit stark unterschiedlichen Zeitkonstanten)
Beispiel 3.5.3 (Steife Probleme in der chemischen Reaktionskinetik). → Sect. 1.2.2
k 2 k
Reaktion: A+B
←− 4
−→ C , A+C
←−
−→ D (3.5.4)
k1 k3
3.5
Stark unterschiedliche Reaktionsgeschwindigkeiten: k 1 ,k 2 ≫ k 3 ,k 4
p. 377

Fallsc A (0) > c B (0) ➢
2. Reaktion kontrolliert Langzeitdynamik
Numerische
Mathemtik
Numerisches Experiment, MATLAB,t 0 = 0,T = 1,k 1 = 10 4 ,k 2 = 10 3 ,k 3 = 10,k 4 = 1
MATLAB-CODE : Explizite Integration steifer chemischer Reaktionsgleichungen
fun = @(t,y) ([-k1*y(1)*y(2) + k2*y(3) - k3*y(1)*y(3) + k4*y(4);
-k1*y(1)*y(2) + k2*y(3);
k1*y(1)*y(2) - k2*y(3) - k3*y(1)*y(3) + k4*y(4);
k3*y(1)*y(3) - k4*y(4)]);
tspan = [0 1];
y0 = [1;1;10;0];
options = odeset(’reltol’,0.1,’abstol’,0.001,’stats’,’on’);
[t,y] = ode45(fun,[0 1],y0,options);
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.5
p. 378

12
10
Chemical reaction: concentrations
c (t) A
c C
(t)
c A,k
, ode45
10
9
Chemical reaction: stepsize
x 10 −5
7
6
Numerische
Mathemtik
8
c C,k
, ode45
8
5
concentrations
6
4
c C
(t)
7
6
4
3
timestep
2
5
2
0
−2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 126
Beispiel 3.5.5 (Steife Schaltkreisgleichungen im Zeitbereich).
4
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1
Fig. 127
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.5
p. 379

Schaltkreisanalyse im Zeitbereich:
Bauelementgleichungen (i ˆ= Strom, u ˆ= Spannung):
R
u(t)
Numerische
Mathemtik
• Widerstand:i(t) = R −1 u(t)
• Kondensator:i(t) = C ˙u(t)
C
Dgl. aus Knotenanalyse:
C ˙u(t) = −R −1 u(t)+I(t) .
I(t)
Konkret:
C = 1pF ,R = 1kΩ,I(t) = sin(2π1Hzt)mA,u(0) = 0V
Skalierte (dimensionslose) Dgl.: ˙u(t) = −10 9 u(t)+10 9 sin(2πt) ⇒ u(t) ≈ sin(2πt) .
ˆ= ODE aus Bsp. 3.4.2
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Im Fall der nichtautonomen Dgl. ẏ = −λy + g(t), λ ≫ 1, sind wird mit einem “zeitlich variierenden”
stark attraktiven Fixpunkt y ∗ (t) = λ −1 g(t) konfrontiert. Auch dieser führt zu Steifheit gemäss
Konzept 3.5.1.
✸
3.5
p. 380

Abschnitt 3.4 ➣ Wir wissen was zu tun ist !
Numerische
Mathemtik
Steife AWP
➤
(Geeignete) implizite RK-ESV (→ Def. 2.1.5) sind zu verwenden !
d.h. L-stabil (→ Def. 3.4.3)
Beispiel 3.5.6 (Attraktiver Grenzzyklus). vgl. Bsp. 1.2.15
2
ẏ = f(y)
( ) 0 −1
f(y) := y+λ(1−‖y‖
1 0
2 )y ,
Autonome Dgl.
auf ZustandsraumD = R 2 \{0}.
Lösungstrajektorien (λ = 10)✄
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
−1.5
Fig. 128
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
3.5
p. 381

☞ Falls‖y 0 ‖ = 1 ⇒‖y(t)‖ = 1 ∀t
☞ “Grenzzyklus auf Einheitskreis”:‖y(t)‖ → 1 fürt → ∞.
Numerische
Mathemtik
In diesem Beispiel liegt kein asymptotisch stabiler Fixpunkt vor, sondern eine asymptotisch stabile
invariante Mannigfaltigkeit, also eine echte Teilmenge M ⊂ D des Zustandsraums, für die gilt
Φ t M ⊂ M für alle zulässigent(“Fixmenge”) und
∃UmgebungU vonM: : y(0) ∈ U ⇒ lim
t→∞ dist(y(t),M) = 0 .
MATLAB-CODE Integration von Evolution mit Grenzzyklus
fun = @(t,y) ([-y(2);y(1)] + lambda*(1-y(1)^2-y(2)^2)*y);
tspan = [0,2*pi]; y0 = [1,0];
opts = odeset(’stats’,’on’,’reltol’,1E-4,’abstol’,1E-4);
[t45,y45] = ode45(fun,tspan,y0,opts);
[t23,y23] = ode23s(fun,tspan,y0,opts);
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.5
p. 382

1.5
ode45 for attractive limit cycle
x 10 −4
8
2
ode23s for attractive limit cycle
0.02
Numerische
Mathemtik
1
7
1
0.015
0.5
6
y i
(t)
0
5
timestep
y i
(t)
0
0.01
timestep
−0.5
4
−1
3
−1.5
0 1 2 3 4 5 6 7 2
y 1,k
y 2,k
Fig. 129
ode45: 3794 Schritte (λ = 1000)
t
−1
0.005
−2
0 1 2 3 4 5 6 7 0
y 1,k
y 2,k
Fig. 130
t
ode23s: 432 Schritte (λ = 1000)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.5
p. 383

1
ode45 for rigid motion
0.2
Numerische
Mathemtik
y i
(t)
0
0.1
y 1,k
−1
0 1 2 3 4 5 6 7 0
t
timestep
ode45 erzielt gute Genauigkeit trotz (relativ)
✁ λ = 0 ˆ= Drehbewegung, siehe Bsp. 1.4.18
grosser Schrittweite.
Nichtsteifes Problem!
y 2,k
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Adaptive MATLAB-Integratoren für steife Probleme: (Schrittweitensteuerung wie in Abschnitt 2.6)
opts = odeset(’abstol’,atol,’reltol’,rtol,’Jacobian’,@J)
[t,y] = ode15s/ode23s(odefun,tspan,y0,opts);
Beispiel 3.5.7 (Adaptives semi-implizites RK-ESV für steifes Problem). → Bsp. 3.5.2, 3.4.1
ẏ(t) = λy 2 (1−y) , λ = 500 , y(0) =
100 1 .
✸
3.5
p. 384

MATLAB-CODE : Semi-Implizites ESV für steifes Problem
lambda = 500; tspan = [0 1]; y0 = 0.01;
fun = @(t,x) lambda*x^2*(1-x);
Jac = @(t,x) lambda*(2*x*(1-x)-x^2);
o = odeset(’reltol’,0.1,’abstol’,0.001,’stats’,’on’,’Jacobian’,Jac);
[t,y] = ode23s(fun,[0 1],y0,o);
Numerische
Mathemtik
Statistik:
20 successful steps 4 failed attempts 70 function
evaluations
1.4
1.2
y(t)
ode23s
2
0.1
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 131
y(t)
1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.05
Zeitschrittweite
Fig. 132
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
➤ Effizientes Verfahren (vgl. Bsp. 3.5.2): Keine Schrittweitenbeschränkung füry ≈ 1
✸
3.6
p. 385

3.6 Linear-implizite Runge-Kutta-Verfahren [8, Sect. 6.4]
Numerische
Mathemtik
Inkrementgleichungen (2.2.3) fürs-stufige implizite RK-ESV
=
Nichtlineares Gleichungssystem der Dimensions·d
Beispiel 3.6.1 (Linearisierung der Inkrementgleichungen).
Anfangswertproblem für logistische Differentialgleichung, siehe Bsp. 1.2.1
ẏ = λy(1−y) , y(0) = 0.1 , λ = 5 .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.6
p. 386

Implizites Euler-Verfahren (1.4.13) mit uniformem
Zeitschritth = 1/n,
n ∈ {5,8,11,17,25,38,57,85,128,192,288,
,432,649,973,1460,2189,3284,4926,7389}.
10 −1
Logistic ODE, y 0
= 0.100000, λ = 5.000000
10 0 h
Numerische
Mathemtik
& näherungsweise Berechnung vony k+1
durch 1 Newton-Schritt mit Startwerty k
error
10 −2
10 −3
Fehlermass
= semi-implizites Euler-Verfahren
err = max
j=1,...,n |y j −y(t j )|
10 −4
10 −5
implicit Euler
semi−implicit Euler
O(h)
10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 133
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.6
p. 387

Logistic ODE, y 0
= 0.100000, λ = 5.000000
Numerische
Mathemtik
10 0 h
Implizite Mittelpunktsregel (1.4.19) mit uniformem
Zeitschritth = 1/n (wie oben)
10 −2
& näherungsweise Berechnung von y k+1
durch 1 Newton-Schritt mit Startwerty k
Fehlermass
err = max
j=1,...,n |y j −y(t j )|
error
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
implicit midpoint rule
semi−implicit m.p.r.
O(h 2 )
10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 134 ✸
?Idee: Implizite RK-ESV mit linearisierten Inkrementgleichungen (2.2.3)
⎛
s∑
k i = f(y 0 )+hDf(y 0 ) ⎝
j=1
a ij k j
⎞
⎠ , i = 1,...,s . (3.6.2)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.6
p. 388

(3.6.2) ˆ= LGS der Dimension s · d: (s ˆ= Anzahl der Stufen, A ∈ R s,s ˆ= Koeffizientenmatrix aus
Butcher-Schema (2.3.6))
mit Kronecker-Produkt:
MATLAB-Kommando
✗
✖
(I s·d −hA⊗Df(y 0 ))
⎛
k ⎞
1
⎝ . ⎠ =
k s
⎛
⎞
1
⎝.
⎠⊗f(y 0 ) ,
1
fürA ∈ R m,n ,B ∈ R k,l
⎛ ⎞
a 11 B ··· a 1n B
A⊗B := ⎝ . . ⎠ ∈ R m·k,n·l .
a m,1 B ··· a m,n B
kron(A,B).
Linearisierung folgenlos bei linearen ODE ➢ Stabilitätsfunktion (→ Def. 3.1.6) unverändert
Beispiel 3.6.3 (Implizite RK-ESV mit linearisierten Inkrementgleichungen).
rev 35327,
✔24. Juni
2011
✕
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
Anfangswertproblem für logistische Differentialgleichung, siehe Bsp. 1.2.1
ẏ = λy(1−y) , y(0) = 0.1 , λ = 5 .
3.6
p. 389

2-stufiges Radau-ESV, Butcher Schema
1 5
3 12 − 12
1
1 3 1
4 4
, (3.6.4)
3 1
4 4
Ordnung 3, siehe Sect. 3.4.
Inkremente aus linearisierten Gleichungen
(3.6.2)
Fehlermass
err = max
j=1,...,n |y j −y(t j )|
error
Logistic ODE, y 0
= 0.100000, λ = 5.000000
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
RADAU (s=2)
10 −12
semi−implicit RADAU
O(h 3 )
O(h 2 )
10 −14
10 −4 10 −3 10 −2 h
10 −1 10 0
Fig. 135
10 0
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Ordnungsverlust durch Linearisierung !
Die einfach Linearisierung (3.6.2) führt bei impliziten RK-ESV zu einem erheblichen Verlust an Genauigkeit
und ist daher keine Option.
✸
3.6
p. 390

Idee: „Rettung” der Ordnung durch bessere Startnäherung für (einen) Newtonschritt ?
Wir betrachten:
diagonal-implizite RK-ESV (DIRK)
⇕
A untere Dreiecksmatrix
(A regulär⇔a jj ≠ 0)
c A
b T :=
c 1 a 11 0 ··· 0
c 2 a 21 a 22 0 0
.
.
.
. ... ... .
. ... ... .
. ... 0
.
c s a s1 ··· a ss
b 1 ··· ··· b s
(3.6.5)
Numerische
Mathemtik
Gestaffeltes (nichtlineares) Gleichungssystem für Inkremente
(autonomer Fall)
Allgemeine Inkrementgleichungen fürs-stufiges DIRK-Verfahren:
k i = f(y 0 +h
i∑
a ij k j ) , y 1 = y 0 +h
j=1
s∑
b i k i .
i. Inkrementgleichung: Umformulierung als Problem der Nullstellensuche von
F(k) := k−f(y 0 +z+ha ii k) = 0 , z = h
i=1
i−1 ∑
j=1
a ij k j .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.6
p. 391

Ein Newton-Schritt mit Startwertk (0)
i
:
DF(k) = I−Df(y 0 +z+a ii k)ha ii .
k (1)
i
= k (0)
i
−(I−Df(y 0 +z+ha ii k)ha ii ) −1·
(
k (0)
i
−f(y 0 +z+ha ii k (0) )
i
)
Numerische
Mathemtik
Vereinfachung, vgl. Bem. 2.3.19: Benutze Jacobi-Matrix an der Stelley 0
Newton-Verfahren:
Allgemeiner Ansatz für Startnäherung:
Ansatz Startnäherung (fürk i ): k (0)
i
=
i−1
i−1 ∑
j=1
∑
(I−ha ii J)k i =f(y 0 +h (a ij +d ij )k j )−hJ
j=1
i−1
d ij
a ii
k j . (3.6.6)
i−1 ∑
j=1
d ij k j , (3.6.7)
J :=Df ( ∑ )
y 0 +h (a ij +d ij )k j . (3.6.8)
j=1
Vereinfachtes Newton-Verfahen („eingefrorene” Jacobi-Matrix)
Wie bei Standard-RK-ESV (→ Def. 2.3.5): y 1 = y 0 +h
s∑
b i k i . (3.6.9)
i=1
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.6
p. 392

Nächster Schritt:
Bestimme Koeffizientena ij ,d ij in (3.6.7) (undb i ), so dass sie Ordnungsbedingungsgleichungen
genügen
(analog zur Konstruktion von Runge-Kutta-Verfahren in Sect. 2.3)
Numerische
Mathemtik
Linear-implizite Runge-Kutta-Verfahren (Rosenbrock-Wanner(ROW)-Methoden)
Beispiel 3.6.10 (Bedingungsgleichungen für Linear-implizite Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung).
Aus der Neumannschen Reihe für Matrizen: fürh > 0 “hinreichend klein”
∞∑
(I−ha ii J) −1 = (ha ii J) k = I+ha ii J+O(h 2 ) . (3.6.11)
k=0
Einsetzen in (3.6.7) + Taylor-Entwicklung vonf umy 0 + rekursives Einsetzen, vgl. Bsp. 2.3.24:
(
k i = I+ha ii J+O(h 2 )) ⎛ ⎞
∑i−1
⎝f(y 0 )+hJ (a ij +d ij )k j +O(h 2 ∑i−1
)−hJ d ij k j
⎠
= f(y 0 )+ha ii Jf(y 0 )+hJf(y 0 ) (i−1 ∑
j=1
j=1
a ij
) +O(h 2 ) .
j=1
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.6
p. 393

(3.6.9)
⇒
y 1 = y 0 +h ( ∑ s )
b i f(y0 )+h 2( s∑
i=1
i=1
∑i−1
b i
j−1
a ij
)Jf(y 0 )+O(h 3 ) .
Dabei wurde benutzt: J = Df(y 0 ). Dann Vergleich mit Taylorentwicklung (2.3.26) ➣ Bedingungsgleichungen
(2.3.29), (2.3.30) (gleich wie für Standard-Rk-ESV !).
✸
Numerische
Mathemtik
Beispiel 3.6.12 (Energieerhaltung bei semi-impliziter Mittelpunktsregel).
3
300 timesteps on [0,50.000000]
Hamiltonsche ODE (1.2.19) für mathematisches
Pendel für 0 ≤ t ≤ T := 50, Anfangswerteα(0)
= π/4,p(0) = 0
Implizite Mittelpunktsregel (1.4.19)/semiimplizite
Mittelpunktsregel (→ Bsp. 3.6.1) auf
uniformem Zeitgitterh = T/300,
Beobachtet: Zeitverhalten der Energien →
Bsp. 1.4.17
p
2
1
0
−1
−2
exact solution
implicit midpoint
semi−implicit m.r.
−3
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
α
Fig. 136
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.6
p. 394

3
Energies for implicit midpoint discrete evolution
4.5
4
Energies for semi−implicit midpoint discrete evolution
Numerische
Mathemtik
2.5
3.5
2
3
energy
1.5
energy
2.5
2
1
1.5
1
0.5
kinetic energy
potential energy
total energy
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
time t
Fig. 137
0.5 kinetic energy
potential energy
total energy
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
time t
Fig. 138
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
✗
✖
Energiedrift bei semi-impliziter Mittelpunktsregel
✔
✕
✸
3.7
p. 395

3.7 Exponentielle Integratoren [24, 28, 25]
Numerische
Mathemtik
Betrachte: Autonomes AWP ẏ = f(y),f : D ⊂ R d ↦→ R d stetig differenzierbar
Idee:
„Absubtrahieren” der Lösung der umy 0 linearisierten ODE
ẏ = Jy+g(y) , g(y) := f(y)−Jy , (3.7.1)
mit J := Df(y 0 )
Variation der Konstanten (→ Sect. 1.3.2) angewandt auf (3.7.1)
∫ h
y(h) = exp(Jh)y 0 +
0
exp(J(h−τ))g(y(τ))dτ . (3.7.2)
Faltungsintegral
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
exp ˆ= Matrixexponentialfunktion, definiert durch, vgl. (1.3.14),
“Matrixexponentialreihe”: exp(M) =
∞∑
k=0
1
k! Mk .
! Auswertung der Matrixexponentialreihe ist kein stabiler numerischer Algorithmus (Auslöschung !)
3.7
p. 396

Alternativen:
Numerische
Mathemtik
☞ Pade-Approximation vont ↦→ e t (nach Skalieren der Matrix, „scaling and squaring”)
☞ Schur-Zerlegung (siehe MATLAB-Kommando schur) M = Q T (D + U)Q mit Diagonalmatrix
D, echter oberer Dreiecksmatrix U, orthogonaler Matrix Q. Anschliessend Auswertung der
abgeschnittenen Matrixexponentialreihe fürD+U & (1.3.15)
MATLAB-Funktionexpm, Algorithmus→[20]
Numerische Quadratur des Faltungsintegrals ➢ Diskretisierung von (3.7.2) ➢ ESV
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Einfachste Wahl:
∫ h
0
exp(J(h−τ))g(y(τ))dτ ≈
∫ h
0
mit
exp(J(h−τ))dτ ·g(y 0 ) = hϕ(Jh)·g(y 0 )
ϕ(z) = exp(z)−1
z
.
3.7
p. 397

exponentielles Euler-Verfahren (auf Zeitgitter{t k },h k := t k+1 −t k )
y k+1 = y k +h k ϕ(h k J)f(y k ) , k = 0,...,N , J := Df(y k ) . (3.7.3)
Numerische
Mathemtik
Bemerkung 3.7.4 (Stabilitätsgebiet des exponentiellen Euler-Verfahrens).
Erinnerung: Analyse des linearen Modellproblems, Sect. 3.1 ➣ StabilitätsgebietS Ψ ⊂ C→
Def. 3.1.4
Beachte: exponentielles Euler-Verfahren ist exakt für AWP zur ODE ẏ = Ay + g mit konstantem
A ∈ R d,d ,g ∈ R d .
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(Ideale !) Stabilitätsfunktion: S(z) = exp(z) ➤ (ideales) StabilitätsgebietS Ψ = C − △
Beispiel 3.7.5 (Exponentielles Euler-Verfahren).
3.7
p. 398

error
Logistic ODE, y 0
= 0.100000, λ = 5.000000
h
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
exponential Euler
10 −6
explicit Euler
O(h)
O(h 2 )
10 −7
10 −4 10 −3 10 −2 10 −1
Fig. 139
10 0
• Anfangswertproblem für
logistische Differentialgleichung,λ = 5,T = 1,
siehe Bsp. 1.2.1
• Exponentielles Euler-Verfahren (3.7.3) mit
uniformen Zeitschrittweitenh
• Fehlermass
err = max
j=1,...,n |y j −y(t j )|
Algebraische Konvergenz der Ordnung 2 !
✸
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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24. Juni
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Beispiel 3.7.6 (Exponentielles Euler-Verfahren für steifes AWP).
3.7
p. 399

• Steifes AWP → Bsp. 3.5.2, 3.4.1, 3.5.7:
1.4
1.2
exponential Euler, h=0.012500
Numerische
Mathemtik
ẏ(t) = λy 2 (1−y) ,
λ = 500 , y(0) = 1
100 .
1
0.8
y
• Exponentielles Euler-Verfahren (3.7.3) mit uniformen
Zeitschrittweitenh = 1 80
Qualitativ richtiges Verhalten
0.6
0.4
0.2
exact solution y(t)
exponential Euler
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 140 ✸
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Verallgemeinerung: Exponentielle Runge-Kutta-Verfahren: mit J := Df(y k )
Semi-implizites Euler-Verfahren
Exponentielles Euler-Verfahren
y k+1 = y k +(I−hJ) −1 hf(y k ) y k+1 = y k +ϕ(hJ)hf(y k )
☞ Ersetze: (I−γhJ) −1 → ϕ(γhJ) in linear-impliziten RK-ESV (3.6.7)
3.7
p. 400

Definition 3.7.7 (Exponentielle Runge-Kutta-Verfahren).
Fürb i ,a ij ,d ij ∈ R,i,j = 1,...,s,s ∈ N, definiert
Numerische
Mathemtik
k i :=ϕ(a ii hJ) ( f(u i )+hJ
i−1
i−1 ∑
j=1
d ij k j
) , i = 1,...,s ,
∑
u i :=y 0 +h (a ij +d ij )k j , i = 1,...,s ,
Ψ h y 0 :=y 0 +h
j=1
s∑
b i k i .
i=1
eins-stufiges exponentielles Runge-Kutta-Einschrittverfahren für die autonome ODEẏ = f(y).
R. Hiptmair
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Dabei istJ := Df(y 0 ).
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Wie in Sect. 2.3: Gewünschte Konsistenzordnung
➢ Bestimmungsgleichungen [24]
➢ Koeffizientenb i ,a ij ,c ij ,d ij
Zusatzbedingung: Exakte Integration von linearen Dgl. ẏ = Ay+g,A ∈ R d,d ,g ∈ R d
3.7
p. 401

Bemerkung 3.7.8. Herausforderung:
effiziente/genaue Berechnung vonexp(c i hJ)
Numerische
Mathemtik
Krylov-Unterraummethoden für grosse, dünnbesetzteJ→[22]
△
3.8 Differentiell-Algebraische Anfangswertprobleme
3.8.1 Grundbegriffe
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Beispiel 3.8.1 (Knotenanalyse eines Schaltkreises). → Bsp. 3.5.5
3.8
p. 402

R 1
C
R 2
Knotengleichungen (Kirchoffsche Regel):
➊: 0 = I D +I R1 −I C ,
➋: 0 = I C −I R2 .
Numerische
Mathemtik
u 0 (t)
Diode
➊
➋
Bauelementgleichungen:
I D =I D (u 1 ) = I 0 (exp(K(u 0 −u 1 ))−1) ,
I C =C(˙u 1 − ˙u 2 ) ,
I R1 =R −1
1 (u 0−u 1 ) ,
I R2 =R −1
2 u 2 .
Vorgegeben:
Zeitabhängige Eingangsspannungu 0 = u 0 (t)
➊ ➣ 0 = I D (u 1 )+R1 −1 0−u 1 )−C(˙u 1 − ˙u 2 ) ,
➋ ➣ 0 = C(˙u 1 − ˙u 2 )−R2 −1 2−u 0 ) .
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( ) C −C
)(˙u1
−C C ˙u2
=
(
I D (u 1 )+R −1
)
1 (u 0−u 1 )
−R −1
2 u 2
Singuläre Matrix ! ➥ (3.8.2) ist Differentiell-Algebraische Gleichung (DAE)
(3.8.2)
3.8
p. 403

Numerische
Mathemtik
Beachte:
( 1 0
1 1
)( C −C
−C C
)( ) 1 1
0 1
=
( ) C 0
0 0
.
Transformation von (3.8.2): y 1 := u 1 −u 2 ,y 2 := u 2
( )( ) ( ) (
C 0 1 −1
)(˙u1 C 0
=
)(ẏ1 I
= D (u 1 )+R −1 )
1 (u 0−u 1 )
0 0 0 1 ˙u2 0 0 ẏ2 I D (u 1 )+R1 −1 (u 0−u 1 )−R2 −1 u 2
(
I
= D (y 1 +y 2 )+R1 −1 )
(u 0−y 1 −y 2 )
I D (y 1 +y 2 )+R1 −1 (u 0 −y 1 −y 2 )−R2 −1 y 2
Algebraische Nebenbedingung
c(y 1 ,y 2 ) := I D (y 1 +y 2 )+R −1
1 (u 0−y 1 −y 2 )−R −1
2 y 2 = 0 .
Beachte: ∀y 1 : y 2 ↦→ c(y 1 ,y 2 ) monoton fallend, lim
y 2 →∞ c(y 1,y 2 ) = −∞,
lim
y 2 →−∞ c(y 1,y 2 ) = ∞
⇒ Nebenbedingung ist auflösbar nachy 2 = u 2 :∃FunktionG : R ↦→ R so, dassy 2 = G(y 1 )
.
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Einsetzen ODE füry 1 !
Cy˙
1 = I D (y 1 +G(y 1 ))+R1 −1 (u 0−y 1 −G(y 1 )) .
3.8
p. 404

➣ Existenz & Eindeutigkeit von Lösungen, siehe Sect. 1.3.1.
Numerische
Mathemtik
✸
Gegeben: Rechte Seitef : D ⊂ R d ↦→ R d ,
singuläre MatrixM ∈ R d,d
☞
Autonomes (lineares) differentiell-algebraisches Anfangswertproblem (DAE):
Mẏ = f(y) , y(0) = y 0 . (3.8.3)
Beachte: (3.8.3) impliziert algebraische Nebenbedingung f(y(t)) ∈ Im(M)
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(Konsistente Anfangswerte erforderlich: f(y 0 ) ∈ Im(M) !)
✎ Notation: Im(M) := {Mx:x ∈ R d } ˆ= Bild der MatrixM
3.8
p. 405

In Bsp. 3.8.1: Transformationen ➣ Reduktion auf spezielle Form:
Numerische
Mathemtik
Erweiterung von Def. 1.1.2 ➣ Lösungsbegriff für (3.8.3)
(Diffizil: Allgemeine Existenz & Eindeutigkeit von Lösungen, siehe [8, Sect. 2.6])
Gegeben: „Rechte Seiten” d : D 1×D 2 ⊂ R p ×R q ↦→ R p ,
c : D 1 ×D 2 ⊂ R p ×R q ↦→ R q (hinreichend glatt),p,q ∈ N,
☞
Anfangswerte u 0 ∈ D 1 ,v 0 ∈ D 2 .
Separiertes differentiell-algebraisches Anfangswertproblem (DAE):
Algebraische Nebenbedingung (engl. constraint)
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˙u = d(u,v) ,
0 = c(u,v)
,
u(0) = u 0 ,
v(0) = v 0
, c(u 0 ,v 0 ) = 0 . (3.8.4)
Konsistente Anfangswerte erforderlich !
3.8
p. 406

Bemerkung 3.8.5 (DAE: Transformation auf separierte Form).
Numerische
Mathemtik
Die Form (3.8.3) einer DAE ist immer in (3.8.4) transformierbar:
Anwendung auf (3.8.3):
rank(M) = r ⇒ ∃T,S ∈ R d,d regulär: TMS =
Mẏ = f(y) ⇒ TMSS −1 ẏ = Tf(y)
z:=S −1 y
⇒
( ) I 0
0 0
, I ∈ R r,r .
( ) I 0
ż = Tf(Sz) .
0 0
Also definieren die erstenr Gleichungen des transformierten Systems die Differentialgleichung, während
die restlichend−r die Rolle der algebraischen Nebenbedingungen spielen.
△
R. Hiptmair
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✬
✩
Annahme 3.8.6. Partielle Ableitung (Jacobi-Matrix)D v c(u,v) der Nebenbedingungen ist regulär
entlang von Lösungskurvent ↦→ (u(t),v(t)) T .
✫
✪
Lokale Auflösbarkeit: v = G(u): (3.8.4) ⇒ ˙u = d(u,G(u)) ˆ= (1.1.13).
3.8
p. 407

Definition 3.8.7 (DAE vom Index 1).
Annahme (3.8.6) erfüllt ➣ DAE-AWP (3.8.4) hat (Differenzierbarkeits)index 1
Numerische
Mathemtik
Bemerkung 3.8.8. Allgemeine Diskussion des Indexbegriffes (Index > 1, Störungsindex, etc.) bei
DAE: [18, Kap. VII]
△
3.8.2 Runge-Kutta-Verfahren für Index-1-DAEs
R. Hiptmair
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Betrachte: differentiell-algebraisches Anfangswertproblem (3.8.4) unter Annahme 3.8.6
3.8
p. 408

Idee:
➀ Betrachte AWPs für Dgl.
➁ Formuliere RK-ESV für
Singuläre Störungstechnik (engl.ǫ-embedding)
➂ Macht Verfahren noch Sinnǫ = 0 ?
˙u = d(u,v)
ǫ˙v = c(u,v) , ǫ > 0.
˙u = d(u,v)
˙v = 1 , ǫ > 0.
ǫc(u,v) Wenn ja→
Numerische
Mathemtik
Beispiel 3.8.9 (Singulär gestörte Schaltkreisgleichungen).
Schaltkreis aus Bsp. 3.8.1 mit parasitärer Kapazi-
R 1
R 2
tät (durchflossen vom StromI p )
Knotengleichungen (Kirchoffsche Regel):
➊: 0 = I D +I R1 +I p −I C ,
➊
C
➋
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➋: 0 = I C −I R2 .
Zusätzliche Bauelementgleichung:
u 0 (t)
Diode
C p
Fig. 141
I p =C p (˙u 0 − ˙u 1 ) .
3.8
p. 409

( ) C+Cp −C
)(˙u1
−C C ˙u2
=
(
I D (u 1 )+R1 −1 )
(u 0−u 1 )+C p˙u 0
−R2 −1 u 2
(3.8.10)
Numerische
Mathemtik
Reguläre Matrix fürC p > 0
3
Constraint manifold
2.5
2
u 2
1.5
1
0.5
0
✁ Richtungsfeld der singulär gestörten Schaltkreisgleichung
füru 0 (t) ≡ 0
(Skalierte Grössen R = 1, C = 1, I 0 = 10 −4 ,
K = 10,C p = 10 −3 )
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−0.5
−1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u 1
Fig. 142
3.8
p. 410

Aus dem Richtungsfeld liest man ab: schnelle Relaxation in Richtung auf die Mannigfaltigkeit beschrieben
durch die algebraische Nebenbedingung der DAE (3.8.2)
Numerische
Mathemtik
u 2 = R 2 (I D (u 1 )+R −1
1 )(u 0−u 1 ) .
☞ Steifheit des singulär gestörten Problems, siehe Bsp. 3.5.6.
Quantitative Analyse: Betrachte den Fallu 0 (t) ≡ 0 ➣ Stationärer Punkt:u 1 = 0,u 2 = 0
Jacobi-Matrix im stationären Punkt
➣
Df(0) = C −1 p
C p → 0 ⇒ λ min (Df(0)) → −∞
( )(
1 1
1 1+ C p
C
−I 0 K −R −1
1
0
0 −R −1
2
)
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✗
✖
DAEs = „∞-steife Anfangswertprobleme”
✔
✕
✸
3.8
p. 411

Formale Rechnung: Singuläre Störungstechnik für Runge-Kutta-Einschrittverfahren mit
Butcher-Schema c A b T
Numerische
Mathemtik
Def. 2.3.5: s-stufiger Runge-Kutta-Schritt fürẏ = f(y), Stufenform, siehe Bem. 2.3.7:
∑
k i = f(y 0 +h s a ij k j )
j=1 k i =f(g i )
∑
y 1 = y 0 +h s ⇔
b i k i
i=1
g i = y 0 +h s ∑
j=1
y 1 = y 0 +h s ∑
i=1
a ij f(g j )
b i f(g i )
, i = 1,...,s .
{ ˙u = d(u,v)
˙v = 1 ǫ c(u,v)
ǫ → 0 ⇒
⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
g u i
= u 0 +h s ∑
⎧
⎪⎨
⎪⎩
j=1
ǫg v i
= ǫv 0 +h s ∑
u 1 = u 0 +h s ∑
i=1
j=1
v 1 = v 0 + 1 ǫ h s ∑
i=1
a ij d(g u j ,gv j )
a ij c(g u j ,gv j ) , i = 1,...,s
b i d(g u i ,gv i )
b i c(g u i ,gv i )
s∑
a ij c(gj u ,gv j ) = 0, i = 1,...,s ⇒ c(gu j ,gv j ) = 0 s
j=1
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3.8
p. 412

Numerische
Mathemtik
➀ Falls Nebenbedingung nachv auflösbar (→ Index 1, Def. 3.8.7)
Dies kann den Schrittv 0 ↦→ v 1 ersetzen.
c(u 1 ,v 1 ) = 0 ⇒ v 1 = G(u 1 ) .
➁
Im allgemeinen Fall, formal, mit A −1 = (ǎ ij ) s i,j=1
⇒ v 1 = v 0 +
s∑ s∑
b i
i=1
1
s∑
ǫ hc(gu i ,gv i ) =
j=1
j=1
ǎ ij (g v j −v 0)
ǎ ij (gj v −v 0) = (1−b T A −1 1) v
} {{ } 0 +
= S(−∞)
Aus Formel (3.4.4) für StabilitätsfunktionS
s∑ ( ∑ s )
b i ǎ ij g
v
j .
j=1
i=1
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Beachte: c(u 1 ,v 1 ) = 0 ist hier nicht garantiert !
Spezialfall:
(3.4.5) für L-Stabilität
Wenn RK-ESV steif-genau, also b T = aT·,s (Zeile von A), vgl. hinreichende Bedingung
3.8
p. 413

⇒ v 1 = g v s ⇒ c(u 1 ,v 1 ) = 0
Numerische
Mathemtik
Bemerkung 3.8.11 (RK-ESV und Elimination der DAE-Nebenbedingungen).
Index-1 DAE (→ Def. 3.8.7) ↔ ODE ˙u = d(u,G(u))
steif-genaues RK-ESV gemäss (3.4.5) für diese ODE:
☞
g u i = u 0+h
⎧
⎪⎨
⎪⎩
s∑
a ij d(gj u ,G(gu j )) , i = 1,...,s , u 1 = gs
u
j=1
g u i = u 0+h
⇕
s∑
a ij d(gj u ,gv j )
j=1
, i = 1,...,s , u 1 = gs u .
0 = c(gi u ,gv i )
Ein “kommutierendes Diagramm”
R. Hiptmair
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Steif-genaues RK-ESV für
˙u = d(u,v)
0 = c(u,v)
= Steif-genaues RK-ESV für ˙u = d(u,G(u))
3.8
p. 414

△
Numerische
Mathemtik
Welche Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Sect. 2.3)
eignen sich für die singuläre Störungstechnik ?
Notwendig (für Lösbarkeit der Imkrementgleichungen, Def. 2.3.5):
implizites Verfahren
DAE „∞-steif” ➣ Notwendig: A-Stabilität→Def. 3.2.16,
Wünschenswert: L-stabilität→Def. 3.4.3
Wiederum: Einsichten durch Modellproblemanalyse, vgl. Sect. 3.1:
Modellproblem:
˙u = vf(u) ,
0 = 1−v
˙u = vf(u) ,
ǫ˙v = 1−v
Singulär gestörte Dgl.
0 < ǫ ≪ 1 .
R. Hiptmair
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Heuristik: ESV tauglich für Modellproblem ↔
ESV tauglich für singulär gestörtes Problem∀ǫ
≈ 0
ESV muss für AWP
liefern !
˙v = ǫ −1 (1−v), v(0) = 1, 0 < ǫ ≪ 1, Folge{v k } ∞ k=0
mit lim
k→∞ v k = 1
3.8
p. 415

Erwünscht: S(−∞) = 0 für Stabilitätsfunktion (→ Thm. 3.1.6)S(z) des ESV.
Numerische
Mathemtik
✬
✩
Theorem 3.8.12 (Konvergenz impliziter RK-ESV für Index-1-DAEs). → [18, Thm. 1.1,
Sect. VI.1]
Es seien d, c hinreichend glatt, das Anfangswertproblem (3.8.4) eindeutig lösbar
und Annahme 3.8.6 erfüllt (→ Index-1-DAE, siehe Def. 3.8.7). Das s-stufige
Runge-Kutte-Einschrittverfahren mit Butcher-Tableau c A bT , siehe (2.3.6), sei steif-genau, d.h.
A ist regulär undb i = a s,i ,i = 1,...,s, und sei konsistent von der Ordnungp.
Dann ist das Verfahren angewandt auf (3.8.4) für hinreichend kleine Zeitschrittweite h wohldefiniert
und es gilt
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‖u k −u(t k )‖ = O(h p ) , ‖v k −v(t k )‖ = O(h p ) ,
auf jedem endlichen Integrationszeitintervall[0,T].
✫
✪
3.8
p. 416

Beweisskizze: Auflösen von (3.8.4) nach der algebraischen Variablenv und Einsetzen ➣ ODE
Anwendung des RK-ESV auf die resultierende ODE liefert genau die gleiche diskrete Evolution fuer
u wie das Verfahren für die DAE (“kommutierendes Diagramm”), vgl. Bem. 3.8.11.
Numerische
Mathemtik
Numerische Integration von Index-1-DAEs mit Radau-ESV → Sect. 3.4
Bemerkung 3.8.13. Radau-ESV auch geeignet für Index-1-DAEs (!) in der Form (3.8.3)Mẏ = f(y)
△
R. Hiptmair
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Bemerkung 3.8.14 (MATLAB-Integratoren für Index-1-DAEs).
3.8
p. 417

MATLAB-CODE : Lösung einer Index-1-DAE
f = @(t,y) [ ... ];
J = @(t,y) [ ... ];
M = @(t,y) [ ... ];
opts = odeset(’Mass’,M,’Jacobian’,J);
[t,y] = ode15s(f,tspan,y0,opts);
MATLAB-Code zur Lösung allgemeiner
DAEs
M(t,y)ẏ = f(t,y) .
Funktionf
Jacobi-MatrixD y f
Matrix(funktion)M(t,y)
Numerische
Mathemtik
Alternativer Integrator: ode23t (gleicher Aufruf)
(Beachte: Alle MATLAB DAE-Integratoren benutzen adaptive Schrittweitensteuerung, vgl. Sect. 2.6)
△
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Beispiel 3.8.15 (Lösung der Schaltkreis-DAEs mit MATLAB).
DAE (3.8.2) mitC = 1,R 2 = 1,R 1 = 1000,K = 10,I 0 = 10 −4
MATLAB-Integratoren ode23t, ode15s, default Toleranzen
3.8
p. 418

1
0.8
ode15s: Circuit DAE
1
0.8
ode23t: Circuit DAE
Numerische
Mathemtik
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
voltages
0
voltages
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
u 0
(t)
−0.6
u 0
(t)
u 1
(t)
u 1
(t)
−0.8
u 2
(t)
−0.8
u 2
(t)
t i
−1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
time t
Fig. 143
t i
−1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
time t
Fig. 144 ✸
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.8.3 DAEs mit höherem Index
Beispiel 3.8.16 (Pendelgleichung in Deskriptorform). → Bsp. 1.2.17
3.8
p. 419

x 2
0
x 1
Mathematisches Pendel (Aufhängung in0)
Zwangskraft (Zug des Stabs) hält Pendelmasse
Numerische
Mathemtik
ZwangskraftF z
auf der Kreisbahn
(
0
1)
F z (x)−mg
⊥ x . (3.8.17)
g
Zwangskraft in Richtung des Stabes:
mg
F z (x) = −λmx . (3.8.18)
Fig. 145
(x = (x 1 ,x 2 ) T ˆ= Position der Masse)
Bewegungsgleichungen in Deskriptorform: (↔ Minimalkoordinaten in Bsp. 1.2.17)
(
0
1)
ẍ = −λx−g , x 2 1 +x2 2 = l2 . (3.8.19)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Lagrange-Multiplikator ➣ Zwangskraft Zwangsbedingung
3.8
p. 420

(3.8.19) ˆ= 2. Ordnung ➣ Umwandlung in separierte DAE (3.8.4) 1. Ordnung:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ẋ 1 p 1
(3.8.19) ➢ m ⎜ ẋ2
⎟
⎝ ṗ1 ⎠ = ⎜ p 2
⎟
⎝ −λx 1
⎠ , x2 1 +x2 2 = l2 . (3.8.20)
ṗ2 −λx 2 −g
(3.8.20) ist DAE vom Index> 1 !
Numerische
Mathemtik
Differenzieren der Zwangsbedingung x 1 p 1 +x 2 p 2 = 0 , (3.8.21)
Nochmaliges Differenzieren (p 2 1 +p2 2 )−λ(x2 1 +x2 2 )−gx 2 = 0 . (3.8.22)
R. Hiptmair
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2011
• (3.8.21), (3.8.22) ˆ= versteckte Nebenbedingungen (von den Anfangswerten zu erfüllen !)
• Erst nach zweimaligem Differenzieren der Nebenbedingung können wir die daraus resultierende
Nebenbedingung (3.8.22) nachλauflösen ➥ (3.8.20) hat Index 3
✸
3.8
p. 421

Bemerkung 3.8.23 (Hamiltonsche Bewegungsgleichungen mit Nebenbedingungen).
Betrachte:
Mechanisches System mit Hamilton-Funktion (→ Def. 1.2.20)H = H(p,q)
(q ∈ R n ˆ= Konfigurationsvariable,p ∈ R n ˆ= Impulsvariable, siehe Sect. 1.2.4)
Numerische
Mathemtik
Zwangsbedingungen für Konfigurationen:
c(q(t)) = 0 ∀t ≥ 0,c : R n ↦→ R m ,m < n
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen mit Zwangsbedingungen
˙q = ∂H
∂p (p,q)
ṗ = − ∂H
∂q (p,q)−Dc(q)T λ
0 = c(q) .
Lagrange-Multiplikatorλ : R ↦→ R m
(3.8.24)
R. Hiptmair
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Fallsm = 1 ➣
c(q) = 0 beschreibtn−1-dimensionale Mannigfaltigkeit im R n
gradc(q) ˆ= Normalenvektor auf diese Mannigfaltigkeit
λgradc(q) ˆ= Zwangskraft orthogonal zur Mannigfaltigkeit, vgl. (3.8.17)
3.8
p. 422

Häufiger Spezialfall:
mitM ˆ= s.p.d. Massenmatrix,U ˆ= Potential,
Numerische
Mathemtik
H(p,q) = 1 2 pT M −1 p+U(q) (3.8.25)
kinetische Energie
potentielle Energie
(3.8.24) in diesem Spezialfall:
˙q = M −1 p , ˙q = −gradU(q)−Dc(q) T λ , c(q) = 0 .
Nun: Differentiation der Zwangsbedingung c(q) = 0 nach der Zeit + Anwenden der Produktregel &
Kettenregel + Einsetzen der Differentialgleichungen aus (3.8.24).
➢ Versteckte Nebenbedingungen ↔ (3.8.21), (3.8.22)
0 =Dc(q) ∂H (p,q) ,
∂p
(3.8.26)
0 =D 2 c(q)( ∂H
∂p (p,q),∂H ∂p (p,q))+Dc(q) ∂2 H
∂p∂q (p,q)∂H ∂p (p,q) (3.8.27)
−Dc(q) ∂2 H
∂ 2 p (p,q)(∂H ∂q (p,q)+Dc(q)T λ) .
R. Hiptmair
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2011
3.8
p. 423

FürH der Form (3.8.25):
∂ 2 H
∂p 2 = M−1 (invertierbare Matrix)
Numerische
Mathemtik
➣ (3.8.27) nach λ auflösbar, wenn Dc(q) T injektiv ⇔ Dc(q) hat vollen Rang (entlang der
Lösungstrajektorie): Zwangsbedingungen unabhängig.
Beispiel 3.8.28 (MATLAB-Integratoren für Pendelgleichung in Deskriptorform).
△
MATLABode15s/ode23t angewandt auf (3.8.20):
R. Hiptmair
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??? Error using ==> funfun/private/daeic12 at 77
This DAE appears to be of index greater than 1.
Error in ==> ode15s at 394
[y,yp,f0,dfdy,nFE,nPD,Jfac] = daeic12(odeFcn,odeArgs,...)
3.8
p. 424

Idee: „Überliste MATLAB”, probiere Nebenbedingung (3.8.22)
⎛ ⎞ ⎛
⎞
1 0 0 0 0
y 3
0 1 0 0 0
Mẏ = f(y): M =
⎜0 0 1 0 0
⎟ , f(y) = y 4
⎜ −y 5 y 1
⎟ .
⎝0 0 0 1 0⎠ ⎝ −y 5 y 2 −g ⎠
0 0 0 0 0 −y 5 (y1 2 +y2 2 )−gy 2+(y3 2 +y2 4 )
l = 1,g = 9.8, Zeitspanne[0,50], Löser:ode15s mit default-Toleranzen
Numerische
Mathemtik
Konsistente Anfangswertex 1 (0) = −x 2 (0) = 1 2√
2,p1 (0) = p 2 (0) = 0 (→λ(0))
0.8
1.5
x 1
0.6
x 2
R. Hiptmair
0.4
1
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0.2
0.5
position
0
−0.2
0
constraint (length)
v \dot x
energy (scaled)
−0.4
−0.6
−0.5
−0.8
−1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
time t
−1
Fig. 146 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
time t
Fig. 147
3.8
p. 425

✸
Numerische
Mathemtik
Beispiel 3.8.29 (Implizites Euler-Verfahren für Pendelgleichung in Deskriptorform).
AWP für Pendel-DAE (3.8.20) wie in Bsp. 3.8.28, EndzeitpunktT = 5
Implizites Eulerverfahren (1-stufiges Radau-ESV)
Formale Anwendung eines Rückwärtsdifferenzenquotienten (→ Bem. 1.4.14) auf die Hamiltonsche
Bewegunggleichung mit Zwangsbedingungen (3.8.24): berechne (q 1 ,p 1 ,λ 1 ) aus (q 0 ,p 0 ,λ 0 ) gemäss
q 1 = q 0 +h ∂H
∂p (p 1,q 1 )
p 1 = p 0 −h ∂H
∂q (p 1,q 1 )−hDc(q 1 ) T λ 1
0 = c(q 1 ) .
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
3.8
p. 426

Konkret für Pendelgleichung in Deskriptorform (3.8.20),q ↔ x,H(p,q) = 1 2 ‖p‖2 +gx 2 :
Numerische
Mathemtik
x 1 = x 0 +hp 1 ,
(
p 1 = p 0 −h λx 1 +
0 = ‖x 1 ‖ 2 2 −l2 .
(
0
g))
,
10 1 timestep h
maximal errors
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4 10 −3 10 −2 10 −1
x 1
x 2
v 1
v 2
λ
O(h)
Fig. 148
✁ Fehler in Lösungskomponenten
(diskrete Maximumnorm) für
100,200,400,1600,3200,6400,12800 implizite
Euler-Schritte
(„Exakte Lösung berechnet mit
impliziter Mittelpunktsregel angewandt auf Minimalkoordinatenform,
siehe Bsp. 1.4.24)
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
3.8
p. 427

Man beobachtet algebraische Konvergenz erster Ordnung in allen Lösungskomponenten !
Numerische
Mathemtik
✸
Sect. 3.8.2:
Singuläre Störungstechnik für Runge-Kutte-Einschrittverfahren
Anwendung auf autonome DAE (Index> 1!)
ẏ = f(y,λ) ,
0 = c(y) .
(3.8.30)
(f : D × R q ↦→ R d , D ⊂ R d , c : D ↦→ R q , Annahme: Konsistente Anfangswerte
y 0 ,λ 0 zur Zeitt = 0)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Zu (3.8.30) gehörendes singulär gestörtes Problem
fürǫ → 0.
ẏ = f(y,λ) ,
ǫ˙λ = c(y) ,
3.8
p. 428

Sect. 3.8.2 ➣ Betrachte steif-genaue RK-ESV
Numerische
Mathemtik
Formale Rechnung: Singuläre Störungstechnik für Runge-Kutta-Einschrittverfahren mit
Butcher-Schema c A b T ,b i = a s,i ,i = 1,...,s :
{ ẏ = f(y,λ)
˙λ = 1 ǫ c(y)
ǫ → 0 ⇒
⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
g i = y 0 +h s ∑
⎧
⎪⎨
⎪⎩
j=1
ǫg λ i
= ǫλ 0 +h s ∑
y 1 := y 0 +h s ∑
j=1
v 1 := v 0 + 1 ǫ h s ∑
a ij f(g j ,g λ j )
a ij c(g j )
, i = 1,...,s
R. Hiptmair
a s,i f(g i ,gi λ) = g rev 35327,
24. Juni
s
2011
i=1
a s,i c(g i ) = gs
λ
i=1
⇒ KoeffizientenmatrixA := (a ij ) s i,j=1 regulär
s∑
a ij c(g j ) = 0, i = 1,...,s ⇒ c(g j ) = 0
j=1
RK-ESV steif-genau
3.8
p. 429

➣ Stufengleichungen (→ Bem. 2.3.7) für steif-genaues RK-ESV für (3.8.30)
⎧
⎪⎨ ∑
g i = y 0 +h s a ij f(g j ,gj λ)
j=1 , i = 1,...,s , y 1 = g s . (3.8.31)
⎪⎩ 0 = c(g i )
Numerische
Mathemtik
Beachte:
(3.8.31) ˆ= implizite Gleichung für Stufen g i ,g λ i
λ 0 wird nicht benötigt!
(s(d+q) Unbekannte)
Bemerkung 3.8.32 (Implementierung steif-genauer RK-ESV für DAE).
Formal: Stufengleichungen eines RK-ESV für allgemeine autonome DAE Mẏ = f(y), M ∈ R d,d
singulär
s∑
Mg i = My 0 +h a ij f(g j ) , i = 1,...,s .
j=1
⇕
⎛
M(g 1 −y 0 )−h s ⎞
∑
a 1j f(g j )
j=1
F(g) = 0 , F(g) =
.
⎜
⎝ ∑
M(g s −y 0 )−h s ⎟
asj f(g j )
⎠
, g =
⎛
g ⎞
1
⎝ . ⎠ . (3.8.33)
g s
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.8
p. 430

(steif-genau !)
y 1 = g s
Numerische
Mathemtik
MATLAB-CODE : steif-genaues RK-ESV für DAE
function y1 = rksadaestep(rhs,M,y0,h,A)
d = length(y0);
s = size(A,1);
F = @(gv) stagefn(gv,y,h,fun,A,M);
[dgv,r,flg] = fsolve(F,zeros(s*d,1));
if (flg

△
Numerische
Mathemtik
Konvergenztheorie für (3.8.31) im Fall von DAEs mit Index 2:
[18, Sect. VII.4]
Fürs-stufig Radau-ESV:
y h (t) konvergiert mit Ordnung2s−1,λ h (t) mit Ordnungs.
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.8
p. 432

4
Strukturerhaltende numerische
Integration
Numerische
Mathemtik
Struktur = essentielle qualitative Eigenschaften einer Evolution (☞ Sect. 1.3.3.5)
• Erste Integrale/Invarianten (→ Def. 1.2.7), z.B. Gesamtenergie, Drehmoment, siehe Sect. 1.2.4
• Anziehende und abstossende Fixpunkte, siehe 3.2
• Nichtexpansivität, siehe 3.3
• NEU: spezielle Abbildungseigenschaften des Flusses zu einer autonomen Dgl.:
☞ Volumenerhaltung, Symplektizität, etc.
R. Hiptmair
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2011
Ziel:
„Vererbung” von Struktur an diskrete EvolutionΨ h
Wichtig für Langzeitintegration zur Berechnung einer „qualitativ richtigen Lösung”
Perspektive:
Rückwärtsanalyse
Numerische Lösung ist exakte Lösung zu einem „strukturell gleichen Problem” mit
4.0
p. 433

Beachte: In diesem Kapitel beschränken wir uns auf autonome Differentialgleichungen.
Numerische
Mathemtik
4.1 Polynomiale Invarianten
Erinnerung an Def. 1.2.7 & (1.2.8): Konzept und Eigenschaften von Invarianten/ersten Integralen
Beispiele: Massenerhaltung → Sect. 1.2.2, Energieerhaltung → Lemma 1.2.23, Längenerhaltung
Bsp. 1.4.18
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Betrachte:
AWP für autonome ODEẏ = f(y) auf ZustandsraumD ⊂ R d
t ↦→ y(t) ˆ= Lösung zum Anfangswerty 0 ∈ D
Erinnerung: erstes IntegralI : D ↦→ R erfülltI(y(t)) = const für jede Lösungy(t) (→ Def. 1.2.7)
4.1
p. 434

(1.2.8): I ist erstes Integral vonẏ = f(y) ⇔ gradI(y)·f(y) = 0 für alley ∈ D.
Numerische
Mathemtik
lineares erstes Integral : I(y) = b T y+c mitb ∈ R d ,c ∈ R
quadratisches erstes Integral : I(y) = 1 2 yT My+b T y+c mitM ∈ R d,d ,b ∈ R d ,c ∈ R
Definition 4.1.1 (Polynomiale Invarianten).
Ein erstes IntegralI(y) ist polynomial vom Gradn,n ∈ N, wenn
∑
I(y) = β α y α , β α ∈ R (Multivariates Polynom) .
α∈N d 0 ,|α|≤n
✎ Multiindexnotation: α = (α 1 ,...,α d ) ∈ N d 0 ,|α| = ∑ i α i,y α := y α 1
1 ·······yα d
d
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
✬
✩
Theorem 4.1.2 (Erhaltung linearer Invarianten).
Alle Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5) erhalten lineare erste Integrale.
✫
✪
4.1
p. 435

Beweis.
(für den autonomen Fall)
Lineare Invariante I(y) = b T y+c,b ∈ R d ,c ∈ R ➣ gradI(y) = b ∀y ∈ D
Numerische
Mathemtik
(1.2.8) ⇒ b·f(y) = 0 ,
s∑
⇒ b·f(y 0 +h a ij k j ) = b·k i = 0 , i = 1,...,s (für Inkremente) ,
j=1
⇒ I(y 1 ) = b·y 1 +c = b·(y
0 +
s∑ )
b i k i +c = b·y0 +c = I(y 0 ) .
i=1
✷
Beispiel 4.1.3 (Präzession einer Magnetnadel).
y : R ↦→ R 3 = Trajektorie der Spitze einer Magnetnadel (im äusseren Feldh, fixiert in0)
➣ Bewegungsgleichung
⎛
y ⎞
2h 3 −y 3 h 2
ẏ = y×h , Kreuzprodukt y×h = ⎝y 3 h 1 −y 1 h 3
⎠ ⊥y
y 1 h 2 −y 2 h 1
Quadratische Invarianten:
Anfangswert:y 0 = ( 1 2√
2,0,1,
1
2
√
2)
T
∥
∥y (m) (t) ∥ = const , m ∈ N 0
R. Hiptmair
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24. Juni
2011
4.1
p. 436

MATLAB-CODE : Berechnung des Präzession einer Magnetnadel
h = [-1;-1;-1]; tspan = [0 10000]; y0 = [0.5*sqrt(2);0;0.5*sqrt(2)];
fun = @(t,x) cross(x,h);
Jac = @(t,x) [0 h(3) -h(2); -h(3) 0 h(1); h(2) -h(1) 0];
options = odeset(’reltol’,0.001,’abstol’,1e-4,’stats’,’on’);
[t45,y45] = ode45(fun,tspan,y0,options);
options = odeset(’reltol’,0.001,’abstol’,1e-4,’stats’,’on’,’Jacobian’,Jac);
[t23,y23] = ode23s(fun,tspan,y0,options);
Numerische
Mathemtik
ode45: 24537 successful steps, 7432 failed attempts, 191815 function evaluations
ode23s: 93447 successful steps, 4632 failed attempts, 289607 function evaluations
1.1
1.05
ode45
oed23s
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
1
1
y 3
0.5
0
y(t)
ode45
ode23s
Laenge |y(t)|
0.95
0.9
−0.5
1
0.5
0
y 1
−0.5
1
0.5
y 2
0
−0.5
Fig. 149
0.85
0.8
0.75
0 2000 4000 6000 8000 10000
t
Fig. 150
4.1
p. 437

➣ Keine Erhaltung von‖y(t)‖ über lange Zeiten (↔ viele Schwingungsperioden des Pendels)
Numerische
Mathemtik
Einschrittverfahren auf äquidistanten Zeitgittern (qualitatives Verhalten):
1.05
1
0.95
1
0.9
0.5
0
y(t)
RK4 method
Gauss−Koll., s=2
RADAU, s=3
|y(t)|
0.85
0.8
0.75
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
−0.5
1
0.5
0
y 3
−0.5
1
0.5
0
−0.5
Fig. 151
0.7
0.65
RK4 method
0.6 Gauss−Koll., s=2
RADAU, s=3
0.55
0 200 400
t
600 800 1000
Fig. 152
4.1
p. 438

1.6
1.4
△
Numerische
Mathemtik
|y(t)xh|
1.2
1
0.8
0.6
✬
0.4 RK4 method
Gauss−Koll., s=2
RADAU, s=3
0.2
0 200 400
t
600 800 1000
Fig. 153
✁ Erhaltung aller quadratischer Invarianten nur
durch das Gauss-Kollokationsverfahren.
Erinnerung an Lemma 1.4.23: Erhalt
quadratischer erster Integrale durch die implizite
Mittelpunktsregel, das einfachste
Gauss-Kollokationsverfahren.
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
✩
Theorem 4.1.4 (Erhaltung quadratischer Invarianten).
Gauss-Kollokations-ESV (→ Sect. 2.2.3) erhalten quadratische erste Integrale.
✫
✪
Beweis. (für autonome ODEẏ = f(y), vgl. Beweis von Thm. 3.3.7)
4.1
p. 439

y h (t) ∈ P s ˆ= Gauss-Kollokationspolynom zum Anfangswerty 0 (t 0 = 0):
Numerische
Mathemtik
ẏ h (c i h) = f(y h (c i h)) , h ˆ= Schrittweite, vgl. (2.2.1) . (4.1.5)
Quadratische Invariante:
I(y) = 1 2 yT My+b T y+c mitM = M T ∈ R d,d ,b ∈ R d ,c ∈ R
d(τ) := I(y h (τh)) ist Polynom vom Grad ≤ 2s .
Das-Punkt Gauss-Quadraturformel exakt für Polynome vom Grad≤ 2s−1 undd ′ ∈ P 2s−1
d(1) = d(0)+
∫ 1
Aus Kollokationsbedingungen (4.1.5) und (1.2.8)
0
d ′ (τ)dτ = d(0)+
s∑
b i d ′ (c i )
i=1
} {{ }
d ′ (τ) = hgradI(y h (τh))·ẏ h (τh) ⇒ d ′ (c i ) = hgradI(y h (c i h))·f(y h (c i h))
} {{ }
=0
Dad(0) = I(y 0 ),d(1) = I(y 1 ) folgt die Behauptung.
Ziel
!
=0
.
= 0 .
✷
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
4.1
p. 440

✬
✩
Lemma 4.1.6 (Erhaltung quadratischer Invarianten durch RK-ESV).
Erfüllen die Koeffizienten eines s-stufigen (konsistenten) Runge-Kutta-Einschrittverfahrens (→
Def. 2.3.5)
Numerische
Mathemtik
b i a ij +b j a ji = b i b j für alle i,j = 1,...,s , (4.1.7)
dann erhält dessen diskrete Evolution quadratische erste Integrale.
✫
✪
Beweis: (für vereinfachte quadratische InvarianteI(y) := 1 2 yT My,M ∈ R d,d ,M = M T )
(1.2.8) ➢ gradI(y) = My ⇒ y T Mf(y) = 0 ∀y ∈ D . (4.1.8)
Ein Schritt des RK-ESV mit Inkrementenk i , vgl. Def. 2.3.5:
s∑
y 1 = y 0 +h b i k i ,
i=1
s∑
y1 T My 1−y0 T My 0 = 2h b i y0 T Mk i +h 2 ∑ s
i=1 i=1 j=1
Benutze Stufenform, vgl. Bem. 2.2.5:
s∑
b i b j k T i Mk j . (4.1.9)
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
4.1
p. 441

g i = y 0 +h s ∑
j=1
a ij f(g j ) ➣ k i = f(g i ),i = 1,...,s, y 0 = g i −h s ∑
j=1
a ij f(g j ).
Numerische
Mathemtik
Einsetzen in (4.1.9), da aus (4.1.8) folgt g i Mf(g i ) = 0:
y T 1 My 1−y T 0 My 0 = 2h
s∑
i=1
b i
⎛
⎝g i −h
⎞
s∑
a ij f(g j ) ⎠
j=1
= −2h 2 ∑ s s∑
b i a ij f(g j ) T Mf(g i )+h 2 ∑ s
i=1
j=1
T
Mf(g i )+h 2 s ∑
i=1
= h 2 s ∑
i=1
i=1
s∑
b i b j f(g i ) T Mf(g j )
j=1
s∑
b i b j f(g i ) T Mf(g j )
j=1
s∑
(−2b i a ij +b i b j )f(g i ) T Mf(g j ) .
j=1
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
M = M T ➣ Indexvertauschung in der Doppelsumme ➣ Behauptung. ✷
4.1
p. 442

✬
✩
Theorem 4.1.10 (Nichterhaltung allgemeiner polynomialer Invarianten).
Fürn ≥ 3 gibt es kein konsistentes Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5) das für alle
autonomen Differentialgleichungenẏ = f(y) alle ihre polynomialen Invarianten (→ Def. 4.1.1)
vom Gradnerhält.
✫
✪
Numerische
Mathemtik
Hilfssatz für den Beweis:
✬
Lemma 4.1.11 (Ableitung der Determinantenfunktion).
Für die Determinantenfunktiondet : R d,d ↦→ R gilt
(Ddet(X))(H) = trace(adj(X)H) , X,H ∈ R d,d .
✫
✩
✪
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
✎ Notation: Spur einer MatrixA = (a ij ) d i,j=1 ∈ Rd,d : trace(A) =
d∑
a jj
j=1
✎ Notation: adjungierte Matrix (adj(X)) ij = (−1) i+j det(ˇX ij ), X ∈ R d,d , 1 ≤ i,j ≤ d, ˇX ij
ˆ= Matrix, die ausXdurch Streichen deri. Zeile undj. Spalte ensteht (Minor).
4.1
p. 443

☞ Bekannt aus der linearen Algebra [10, Lemma 4.3.4]: A·adj(A) = det(A)·I
Numerische
Mathemtik
Beweis. Als Polynom in den Matrixelementen istA ↦→ detA eineC ∞ -Funktion:
detA := ∑
sgn(σ)
σ∈Π d
det(I+ǫH) = ∑
sgn(σ)
σ∈Π d
d∏
a i,σ(i) .
i=1
d∏
(δ i,σ(i) +ǫh i,σ(i) )
i=1
d∏
d∑
= (1+ǫh ii )+O(ǫ 2 ) = 1+ǫ h ii +O(ǫ 2 ) . ,
i=1
i=1
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
für H = (h ij ) d i,j=1 , denn jede Permutation ≠ Id erzeugt ein Produkt der Grösse O(ǫ2 ). Daher für
reguläresX ∈ R d,d :
det(X+ǫH)−det(X) = ǫtrace(det(X)X −1 H)+O(ǫ 2 ) .
} {{ }
adj(X)
Da die regulären Matrizen in R d,d dicht liegen,X ↦→ adjX stetig→
✷
4.1
p. 444

Beweis von Thm. 4.1.10 (Widerspruchsbeweis)
Numerische
Mathemtik
t ↦→ Y(t) löse lineare Matrix-Differentialgleichung Ẏ = AY, A ∈ R d
Mit Lemma 4.1.11 folgt fürI(Y) = detY
D Y I(Y)H = detY·trace(Y −1 H) ⇒ d dt detY(t) = Ytrace(ẎY−1 ) = Ytrace(A) .
(4.1.12)
⇒ ★
Falls trace(A) = 0 ist I(Y) := detY eine polynomiale Invariante vom Grad d der
Matrix-DifferentialgleichungẎ = AY.
✧
✥
✦
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Annahme: RK-ESV erhält Polynomiale Invarianten vom Grad d > 2. Wende das Verfahren an auf
Ẏ = AY,trace(A) = 0,A ∈ R d,d . Nach Bem. 3.1.13, (3.1.16)
Y 1 = S(hA)Y 0 mit StabilitätsfunktionS(z) , h > 0 .
detY 1 = detY 0 ∀Y 0 ⇒ detS(hA) = 1
Wähle spezielle (diagonale !) Matrix mittrace(A) = 0 und Zeitschrittweiteh = 1
A = diag(µ,ν,−(µ+ν),0,...,0) ∈ R d,d , µ,ν ∈ R .
4.1
p. 445

S(A) = diag(S(µ),S(ν),S(−(µ+ν)),0,...,0)
AusdetS(A) = 1 folgt, dassS die FunktionalgleichungS(µ)S(ν)S(−(µ+ν)) = 1 erfüllt.
Numerische
Mathemtik
⇒ S(0) = 1 ⇒ S(−µ) = S(µ) −1 ⇒ S(µ)S(ν) = S(µ+ν) ∀µ,ν ∈ R .
z ↦→ S(z) erfüllt die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, ist stetig in Umgebung von 0 ⇒
S(z) = exp(z).
Andererseits mussS(z) eine rationale Funktion sein, siehe Thm. 3.1.6, ein Widerspruch ✷
4.2 Volumenerhaltung
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Physik: inkompressible Strömung ↔ volumenerhaltender Fluss
Definition 4.2.1 (Volumenerhaltung).
Eine AbbildungΦ : D ⊂ R d ↦→ R d heisst volumenerhaltend
∀V ⊂ D messbar: Vol(Φ(V)) = Vol(V) .
4.2
p. 446

✬
✩
Lemma 4.2.2 (Volumenerhaltende Abbildungen).
Eine stetig differenzierbare Abbildung Φ : D ⊂ R d ↦→ R d ist genau dann volumenerhaltend,
wenn|detDΦ(y)| = 1 für alley ∈ D.
✫
✪
Numerische
Mathemtik
Beweis. Nach dem Transformationssatz für Integrale:
∫ ∫
Vol(Φ(V)) = 1dx =
Φ(V) V
|detDΦ(y)|dy .
✷
✬
Theorem 4.2.3 (Satz von Liouville).
Sei f : D ⊂ R d ↦→ R d stetig differenzierbar. Genau dann wenn divf(y) = 0 für jedesy ∈ D,
ist die zuẏ = f(y) gehörige EvolutionΦ t volumenerhaltend, d.h.
R. Hiptmair
✩rev 35327,
24. Juni
2011
∀V ⊂ D kompakt: ∃δ > 0: Vol(Φ t (V)) = Vol(V) ∀0 ≤ t < δ .
✫
✪
✎ Notation: Divergenz divf(y) = d ∑
j=1
∂f i
∂y i
(y) = traceDf(y), mitf = (f 1 ,...,f d ) T
4.2
p. 447

Beweis. (basierend auf Lemma 4.2.2, vgl. [16, Lemma 9.1])
Numerische
Mathemtik
SeiΦ : ˜Ω ↦→ D der Evolutionsoperator zur autonomen ODEẏ = f(y).
Jacobi-Matrix (Propagationsmatrix)
(1.3.34)
W(t,y) = D y Φ t (y), y ∈ D, erfüllt die Variationsgleichung
Ẇ(t,y) := d dt W(t,y) = Df(Φt y)W(t,y) , t ∈ J(y) , W(0,y) = I . (4.2.4)
Wie im Beweis zu Thm. 4.1.10, aus Lemma 4.1.11, vgl. (4.1.12):
“⇒” aus (4.2.5), dadetW(0,y) = 1
d
dt detW(t,y) =detW(t,y)trace(Ẇ(t,y)W−1 (t,y))
(??)
= detW(t,y)trace(Df(Φ t y))
=detW(t,y)divf(Φ t y) .
(4.2.5)
Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
“⇐”: Wenndivf ≠ 0, dann gibt esδ > 0, V ⊂ D so dass|divf(y)| > δ für alle y ∈ V . Daher, für
y ∈ V ,
d
dt
detW(t,y) ≥ δdetW(t,y) oder
d
dt
detW(t,y) ≤ −δdetW(t,y) .
R.
4.2
p. 448

Lemma 1.3.29
⇒ t ↦→ detW(t,y) wächst/fällt exponentiell. ✷
Numerische
Mathemtik
✗
✖
Inkompressible Strömung
Beispiel 4.2.6 (Strömungsvisualisierung).
↔ divergenzfreie Geschwindigkeitsfelder
✔
✕
Anwendung numerischer ODE-Löser in der Computergraphik:
x 3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−1
−0.5
Divergenzfreies Vektorfeld:
⎛
f(y) =
⎜
⎝
MATLAB-function
−y 2 − y 1
a 2 +y3
2
y 1 − y 2
a 2 +y3
2
2/aarctan(y 3/a)
⎞
⎟
⎠ , y ∈ R3 .
streamline(X,Y,Z,U,V,W,...)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
0
x 1
0.5
1 −1
−0.5
x 2
0
0.5
Fig. 154
1
Stromlinien von f ˆ= Lösungen von AWPe zur
autonomomen ODEẏ = f(y).
4.2
✸
p. 449

Volumenerhaltende numerische ODE-Löser (“Integratoren”) ?
Numerische
Mathemtik
✬
✩
Lemma 4.2.7 (Variationsgleichung und Runge-Kutta-Einschrittverfahren).
Für Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5) kommutiert das folgende Diagramm
Variationsgleichung, siehe Sect. 1.3.3.4.
W:= ∂y
∂y
ẏ = f(y), y(0) = y 0
0 −−−−−→
⏐
RK-ESV↓
ẏ = f(y), y(0) = y 0 ,
Ẇ = Df(y)W, W(0) = I
⏐
⏐
↓RK-ESV
✫
(y k ) N k=1
W k := ∂y k
∂y 0
−−−−−−→ (y k ,W k ) N k=1
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
✪2011
Beweis: (nur für explizites Euler-Verfahren (1.4.2), vgl. [16, Lemma 4.1])
Rekursion des expliziten Euler-Verfahrens fürẏ = f(y)
y k+1 = y k +hf(y k )
d
dy 0
=⇒ dy k+1
dy 0
= dy k
dy 0
+hDf(y k ) dy k
dy 0
.
4.2
p. 450

Explizites Euler-Verfahren für (erweiterte) VariationsgleichungẆ = Df(y)W:
Numerische
Mathemtik
W k+1 = W k +hDf(y k )W k .
dy k
dy 0
undW k erfüllen die gleiche Rekursion.
✷
Der Beweis im allgemeinen Fall stützt sich auf implizites Differenzieren der Runge-Kutta-
Inkrementgleichungen, siehe Def. 2.3.5.
Bemerkung 4.2.8 (Volumenerhaltende Integratoren fürd = 2).
Für RK-ESV im Falld = 2:
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Erhalt quadratischer Invarianten
=⇒ Volumenerhaltung
( )
w11 w
Für d = 2: detW = w 11 w 22 − w 12 w 21 ist quadratische Funktion (W = 12
ˆ=
w 21 w 22
Propagationsmatrix/Wronsk-Matrix, siehe (1.3.33)). Ist die Evolution zu ẏ = f(y) volumenerhaltend,
4.2
p. 451

so gilt detW(t) ≡ 1, also is detW eine quadratische Invariante der Variationsgleichung und wird
vom RK-ESV erhalten.
Numerische
Mathemtik
Nach Lemma 4.2.7 gilt dann
∀h > 0: det
(
D y0 Ψ h) = 1 .
Nach Lemma 4.2.2 ist die diskrete Evolution daher volumenerhaltend.
△
d > 2: (Beweis von) Thm. 4.1.10 ➢ Allgemeine Runge-Kutta-Einschrittverfahren kommen nicht
in Betracht !
(Notwendig: Integratoren mit “eingebauter Zusatzinformation” überf)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Idee: ➊ Additive Zerlegung vonf in wesentlich zweidimensionale Vektorfelder
➋ Splittingverfahren (→ Sect. 2.5) basierend auf RK-ESV, die
quadratische Invarianten erhalten, siehe Sect. 4.1.
4.2
p. 452

Zu ➊: f(y) =
d−1 ∑
i=1
g i,i+1 (y) ,
Zu ➋: y k+1 =(Ψ h d−1 ◦···◦Ψh 1 )y k ,
g i,i+1 (y) = (0 ··· 0 ∗ ∗ 0 ··· 0) T
↑ ↑
i i+1
, divg i,i+1 = 0 .
Numerische
Mathemtik
wobeiΨ h i
ˆ= diskrete Evolution des RK-Basisverfahrens für
ẏ = g i,i+1 (y).
Verallgemeinertes Lie-Trotter-Splitting (2.5.2)
Existenz der Vektorfelderg i,i+1 ?
✬
Theorem 4.2.9 (Zerlegung in divergenzfreie Vektorfelder).
Jedes stetige divergenzfreief : R d ↦→ R d lässt sich darstellen als Summe vond−1 divergenzfreien
Vektorfelderng i,i+1 : R d ↦→ R d der Form
R. Hiptmair
✩
rev 35327,
24. Juni
2011
g i,i+1 (y) = (0 ··· 0 p i (y) q i (y) 0 ··· 0) T , i = 1,...,d−1 ,
↑ ↑
i i+1
mit Funktionenp i ,q i : R d ↦→ R.
✫
✪
4.2
p. 453

⎛ ⎞
f 1 (y)
f 2 (y)
f 3 (y)
f(y) =
f 4 (y)
⎜ .
⎟
⎝f d−1 (y) ⎠
f d (y)
=
⎛ ⎞
p 1 (y)
q 1 (y)
0
0
⎜ ⎟
⎝
0. ⎠
0
+
⎛ ⎞
0
p 2 (y)
q 2 (y)
0
⎜ ⎟
⎝
0. ⎠
0
+
⎛
0
0
p 3 (y)
q 3 (y)
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0.
0
⎞
+···+
⎛ ⎞
0.
0
0
⎜p d−2 (y)
⎟
⎝q d−2 (y) ⎠
0
+
⎛ ⎞
0.
0
0
⎜ 0
⎟
⎝p d−1 (y) ⎠
q d−1 (y)
.
Numerische
Mathemtik
Beweis. (vgl. [16, Theorem 9.3])
Konstruktiv fürf = (f 1 ,...,f d ) T mit beliebigena i ∈ R
p i (y) = f i (y)+r i (y) , q i (y) = −r i+1 (y) ,
∫ y i ( ∂f1
r i (y) = +···+ ∂f )
i−1
(y
∂y 1 ∂y 1 ,...,y i−1 ,τ,y i+1 ,...,y d ) dτ , 2 ≤ i ≤ d−1 ,
i−1
a i
⇒
r 1 (y) ≡ 0 ,
∂p i
= ∂f i
+ ∂f 1
+···+ ∂f i−1
,
∂y i ∂y i ∂y 1 ∂y i−1
∂q i
= − ∂f 1
−···− ∂f i
= − ∂p i
.
∂y i+1 ∂y 1 ∂y i ∂y i
1 ≤ i ≤ d−1 .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
4.2
p. 454

Also sind die Teilfelder alle divergenzfrei. Weiter, wegendivf = 0,
⎛ ⎞
d−1 ∑
∫ y d
⎝ ⎠
i=1
g i,i+1 (y)
d
= q d−1 (y) = −r d (y) = −
∂f 1
+ ··· + ∂f d−1
=
∂y 1 ∂y d−1
a d
∫ y d
∂f d
= f
∂y d (y) .
d
a d
Numerische
Mathemtik
Beachte: Konstruktion derg i,i+1 benötigt (symbolische) Ableitungen derf i .
Bemerkung 4.2.10 (Volumenerhaltendes Splittingverfahren 2. Ordnung).
Einfachstes volumenerhaltendes Splittingverfahren 2. Ordnung:
Basis-RK-ESV:
➥ Ψ h i volumenerhaltend, siehe Bem. 4.2.8 !
Verallgemeinertes Strang-Splitting (2.5.3)
implizite Mittelpunktsregel (1.4.19),Ψ h i ˆ= diskrete Evolutionen zuẏ = g i,i+1 (y)
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Ψ h := Ψ h /2
1
◦Ψ h /2
2
◦···◦Ψ h /2
d−2 ◦Ψh d−1 ◦Ψh /2
d−2 ◦···◦Ψh /2
1
.
symmetrisches Einschrittverfahren→Def. 2.1.27
Thm. 2.1.29
⇒ Konsistenzordnung≥ 2
△
4.3
p. 455

4.3 Verallgemeinerte Reversibilität
Numerische
Mathemtik
Sect. 2.1.5: reversible (symmetrische) diskrete Evolutionen/Einschrittverfahren → Def. 2.1.27
(für autonome ODE)
Ψ −h ◦Ψ h = Id fürh > 0 hinreichend klein
D
Ψ h Ψ −h Fig. 155
Reversibilität
⇕
Symmetrie bzgl. Zeitumkehr
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
t
Erinnerung an Thm. 2.1.29:
Reversible ESV haben gerade Konsistenzordnung
Wir haben bereits reversible Einschrittverfahren kennengelernt: implizite Mittelpunktsregel (1.4.19)
aus Abschnitt 1.4.3, das einfachste Gauss-Kollokationsverfahren, vgl. (2.2.19).
4.3
p. 456

✬
✩
Theorem 4.3.1 (Reversible Runge-Kutta-Einschrittverfahren).
Numerische
Mathemtik
Ein s-stufiges RK-ESV (→ Def. 2.3.5) mit Butcher-Tableau c A bT , siehe (2.3.6), ist reversibel
(symmetrisch,→Def. 2.1.27), falls
a s+1−i,s+1−j +a ij = b j ∀1 ≤ i,j ≤ s .
✫
✪
Beweis (siehe [16, Sect. V.2, Thm. 2.3])
zu zeigen:
y 0
Ψ h
−−→ y 1
Ψ −h
−−−→ y 0 .
Technik: Teste Invarianz der Verfahrensgleichungen bei Vertauschung
Verfahrensgleichungen
y 0 ↔ y 1 , h ↔ −h in den
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
⎧
s∑
k ⎪⎨ i = f(y 0 +h a ij k j ) ,
j=1
s∑
⎪⎩
y 1 = y 0 +h b i k i .
i=1
⇒
⎧
s∑
k ⎪⎨ i = f(y 1 −h a ij k j ) ,
j=1
s∑
⎪⎩
y 0 =y 1 −h b i k i .
i=1
(4.3.2)
4.3
p. 457

⇒
⎧
s∑
k ⎪⎨ i = f(y 0 +h (b j −a ij )k j ) ,
j=1
s∑
⎪⎩
y 1 = y 0 +h b i k i .
i=1
(4.3.3)
Numerische
Mathemtik
2a ij = b j ⇒ Gleichheit nach Vertauschung y 0 ↔ y 1 , h ↔ −h, doch leider liefert das kein
sinnvolles RK-ESV (Ausnahme: implizite Mittelpunktsregel (1.4.19) mits = 1,a 11 =
2 1 ,b 1 = 1)
! Beachte: a s+1−i,s+1−j +a ij = b j ⇒ b s+1−i = b i
➣
Umindiziereni ← s+1−i,j ← s+1−j unter den Annahmeb s+1−i = b i
⎧
s∑
k ⎪⎨ i = f(y 0 +h (b j −a s+1−i,s+1−j )k j ) ,
(4.3.3) ⇒
⎪⎩
y 1 = y 0 +h
j=1
s∑
b i k i .
i=1
= Ausgangs-RK-ESV, fallsb j −a s+1−i,s+1−j = a ij ✷
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
4.3
p. 458

✬
✩
Theorem 4.3.4 (Reversible Gauss-Kollokations-ESV).
✫
Gauss-Kollokations-ESV sind reversibel (→ Def. 2.1.27).
✪
Numerische
Mathemtik
Da Gauss-Kollokationsverfahren zur Klasse der Runge-Kutta-Einschrittverfahren gehören, genügt es,
die Voraussetzungen von Thm. 4.3.1 zu verifizieren. Dazu verwende die expliziten Formeln (2.2.3) für
die Runge-Kutte-Koeffizientena ij undb i ,1 ≤ i,j ≤ s.
a ij =
∫ ci
0
L j (τ)dτ , b i =
∫ 1
0
L i (τ)dτ ,
wobei die c i die auf [0,1] normalisierten Kollokationspunkte (= Gausspunkte) sind, und die L j die
dazugehörigen Lagrange-Polynome, siehe (2.2.2).
Lage der Gaussknoten für die s-Punkt Gaussquadraturformel auf [0,1] is symmetrisch um 1 2 , siehe
Fig. 59:
c i = c s+1−s ⇒ L i (τ) = L s+1−i (1−τ) , 1 ≤ i ≤ s . (4.3.5)
a s+1−i,s+1−j +a ij =
∫ cs+1−i
0
=−
∫ 1−cs+1−i
1
L s+1−j (τ)dτ +
∫ c i
0
L j (τ)dτ
L s+1−j (1−τ)dτ +
∫ c i
L j (τ)dτ
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
4.3
p. 459

Numerische
Mathemtik
Nachtrag zu Sect. 3.3:
✬
✩
Theorem 4.3.6 (Stabilitätsgebiet und Reversibilität).
Für reversible und A-stabile (→ Def. 3.2.16) Runge-Kutta-Einschrittverfahren giltS Ψ = C − .
✫
✪
Neues Konzept:
R-Reversibilität = “verallgemeinerte Zeitumkehrsymmetrie”
Beispiel 4.3.7 (Reversibilität bei mechanischen Systemen).
Hamiltonsche Differentialgleichung (→ Def. 1.2.20) mit Hamilton-Funktion
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
H :
{ R n ×R n ↦→ R
(p,q) ↦→ 1 2 pT M −1 p+U(q) ,
⇒ H(p,q) = H(−p,q) ,
mit s.p.d. MassenmatrixM ∈ R d,d .
ṗ(t) = − ∂H
∂H
(p(t),q(t)) = −gradU(q) ,˙q(t) =
∂q ∂p (p(t),q(t)) = M−1 p . (4.3.8)
4.3
p. 460

Kommutierendes Diagramm
Umkehr der Geschwindigkeiten:
p
R
p ← −p
(p 0 ,q 0 )
⏐
↓
(−p 0 ,q 0 )
Φ t
(Zeitumkehrsymmetrie)
Evolution (4.3.8)
−−−−−−−−−→
von0bisT
Evolution (4.3.8)
←−−−−−−−−−
vonT bis 0
(p(T),q(T))
⏐
↓
Umkehr der Geschwindigkeiten:
(−p(T),q(T))
p ← −p
Φ t Geschwindigkeiten
⇔ EvolutionΦ t zu (1.2.21) erfüllt
R
R◦Φ t = Φ −t ◦R (4.3.9)
mit Abbildung
q
( ( ) p −p
R = .
q)
q
(4.3.10)
(4.3.9) ˆ= „Rückwärtsevolution” nach Umkehr der
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
✸
Abstraktion:
Betrachte autonome AWPe ẏ = f(y), y(0) = y 0 ,
f : D ↦→ R d lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2)
4.3
p. 461

Annahme: Für alley 0 ∈ D existiert die Lösung für alle Zeiten, vgl. Def. 1.3.1
Numerische
Mathemtik
Definition 4.3.11 (R-reversible Abbildung).
Es sei
R : D ↦→ D ⊂ R d eine bijektive lineare Abbildung.
Eine weitere bijektive AbbildungΦ : D ↦→ D heisstR-reversibel, falls
R◦Φ = Φ −1 ◦R .
✬
Lemma 4.3.12 (R-reversible Evolutionen).
Die EvolutionΦ t zuẏ = f(y) istR-reversibel für allet ∈ R, falls
f ◦R = −R◦f aufD . (4.3.13)
✫
✩
✪
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Beweis. (siehe [16, Sect. V.1]) Zu zeigen ist, wegenΦ t ◦Φ −t = Id (Gruppeneigenschaft (1.3.8))
R◦Φ t = (Φ t ) −1 ◦R = Φ −t ◦R . (4.3.14)
4.3
p. 462

Idee:
beide Seiten von (4.3.14) sind Lösungen des gleichen Anfangswertproblems, mity ∈ D
d
dt ((R◦Φt )(y)) = Rf(Φ t (y)) = −f((R◦Φ t )(y)) , (4.3.15)
d
dt ((Φ−t ◦R)(y)) = −f((Φ −t ◦R)(y)) . (4.3.16)
t ↦→ (R◦Φ t )(y) undt ↦→ (Φ −t ◦R)(y) sind beides Lösungen des Anfangswertproblems
Numerische
Mathemtik
ż = −f(z) , z(0) = Ry .
Daher folgt (4.3.14) aus dem Eindeutigkeitssatz Thm. 1.3.4.
✷
Beispiel 4.3.17 (Fortsetzung: Reversibilität bei mechanischen Systemen). Bsp. 4.3.7
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Für Hamiltonsche Evolution (4.3.8) mity = (p,q) T ,d = 2n,Raus (4.3.10)
( ) ( ) ( )
−gradU(Rq (y)) −gradU(q) −gradU(q)
(f ◦R)(y) =
M −1 =
R p (y) −M −1 = −R
p M −1 p
ˆ= Voraussetzung von Lemma 4.3.12.
= −R(f(y)) .
4.3
p. 463

Alternative Perspektive: Hamiltonsche Dgl. (1.2.24) ẏ = J −1 gradH(y),J=
( ) 0 I
:
−I 0
Numerische
Mathemtik
H(Ry) = H(y) ⇒ RgradH(Ry) = gradH(y) . (4.3.18)
FürRaus (4.3.9): J◦R = −R◦J, R 2 = Id
(4.3.18)
⇒ −R(J −1 gradH(y)) = J −1 R(gradH(y)) = J −1 RRgradH(Ry) = J −1 gradH(Ry) .
ˆ= (4.3.13) fürf(y) = J −1 gradH(y).
✸
✬
Theorem 4.3.19 (R-reversible Runge-Kutta-Evolutionen).
Die rechte Seitef der autonomen ODEẏ = f(y) erfülle (4.3.13).
Dann ist die von einem Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5) erzeugte
diskrete Evolution genau dann R-reversibel, wenn das RK-ESV reversibel/symmetrisch
(→ Def. 2.1.27) ist.
✫
✩
✪
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.3
p. 464

Beweis. (siehe [16, Sect. V.1, Thm. 1.5])
➀ Mit Notationen von Lemma 4.3.12 undΨ h als diskrete Evolution des RK-ESV zur ODEẏ = f(y)
wird gezeigt (vgl. Beweis der Affin-Kovarianz von RK-ESV, Bem. 2.3.13)
Numerische
Mathemtik
f ◦R = −R◦f ⇒ R◦Ψ h = Ψ −h ◦R . (4.3.20)
Gemäss Def. 2.3.5, wegen Linearität vonR
⎧
s∑
⎪⎨
k i = f(y+h
⎪⎩
Ψ h y = y+h
j=1
s∑
b i k i ,
i=1
a ij k j ) ,
(4.3.13)
=⇒
Transformierte Inkremente ˜k i := −Rk i erfüllen
⎧
⎪⎨
Rk i = −f(Ry+h
⎪⎩
RΨ h y = Ry+h
s∑
a ij Rk j ) ,
j=1
s∑
b i Rk i .
i=1
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
s∑
˜k i = f(Ry−h a ij˜k j ) , i = 1,...,s .
j=1
˜k i ˆ= Inkremente des RK-ESV zur Schrittweite−h, AnfangswertRy ↔Ψ −h Ry
RΨ h y = Ry−h
s∑
b i˜k i = Ψ −h Ry ⇒ (4.3.20) .
i=1
4.3
p. 465

➁ direkte Verifikation von Def. 4.3.11
RK-ESV reversibel/symmetrisch
⇕
(4.3.20)
⇒ R◦Ψ h = Ψ −h ◦R = (Ψ h ) −1 ◦R . ✷
Ψ −h = (Ψ h ) −1
Numerische
Mathemtik
4.4 Symplektizität
4.4.1 Symplektische Evolutionen Hamiltonscher Differentialgleichungen
Erinnerung (Sect. 1.2.4): Hamiltonsche Differentialgleichung → Def. 1.2.20
ṗ(t) = − ∂H ∂H
(p(t),q(t)) , ˙q(t) =
∂q ∂p (p(t),q(t)) ,
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
(1.2.21)
4.4
p. 466

mit (glatter) Hamilton-FunktionH : R n ×M ↦→ R, KonfigurationsraumM ⊂ R n .
y = ( p)
q
=⇒ (1.2.21) ⇔ ẏ = J −1·gradH(y) ( ) 0 In
, J = ∈ R
−I n 0
2n,2n . (1.2.24)
Lemma 1.2.23 (Energieerhaltung): H ist Invariante von (1.2.21)
Numerische
Mathemtik
Beispiel 4.4.1 (Energieerhaltung bei numerischer Integration). ↔ Bsp. 1.4.24
Mathematisches Pendel Bsp. 1.2.17, AWP für (1.2.19) auf[0,1000],p(0) = 0,q(0) = 7π/6.
Vergleich von klassischem Runge-Kutta-Verfahren (2.3.11) (Ordnung 4) mit 1-stufigem
Gauss-Kollokations-ESV (implizite Mittelpunktsregel 2.2.19), äquidistantes Gitter,h = 1 2 :
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
4.4
p. 467

q
9
8
7
6
5
4
(p(t),q(t))
RK4 Methode
Impl. Mittelpunktsregel
3
−2 −1.5 −1 −0.5 0
p
0.5 1 1.5 2
Fig. 156
Trajektorien „exakter” /diskreter Evolutionen
Gesamtenergie
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
RK4−Methode
Impl. Mittelpunktsregel
0.55
0 200 400
t
600 800 1000
Fig. 157
Energieerhaltung diskreter Evolutionen
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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2011
➣ Keine Energiedrift bei impliziter Mittelpunktsregel
✸
4.4
p. 468

?
Eine rätselhafte Beobachtung:
★
Besonderheit mancher(∗) numerischer Integratoren:
✧
Approximative Langzeit-Energieerhaltung (keine Energiedrift)
(∗) Implizite Mittelpunktsregel (1.4.19)→Bsp. 4.4.1, 1.4.24,
Störmer-Verlet-Verfahren (2.5.13)→Bsp. 1.4.32
✥
✦
Numerische
Mathemtik
Bemerkung 4.4.2 (Volumenerhaltung bei zweidimensionalen Hamiltonschen ODEs).
Für EvolutionΦ t : R n ×M ↦→ R n ×M zu einer Hamiltonschen Differentialgleichung gilt:
n = 1 ➣
div y J −1 gradH(y)
} {{ }
rotH(y)
= 0
Thm. 4.2.3
➣
Φ t volumenerhaltend (flächenerhaltend).
Beispiel 4.4.3 (Flächenerhaltung bei Evolution für Pendelgleichung). → Bsp. 1.2.17
△
R. Hiptmair
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p↔Winkelgeschwindigkeit,
ṗ = −sinq ,
˙q = p
q ↔ Winkelvariableα
Hamilton-FunktionH(p,q) = 1 2 p2 −cosq (Gesamtenergie) (4.4.4)
4.4
p. 469

11
10
9
t=0
t=0.5
t=1
t=2
t=3
t=5
Numerische
Mathemtik
Volumenerhaltung im Zustandsraum (Phasenraum):
Evolution eines quadratischen Volumens
✄
q = α
8
7
6
5
4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
p
Fig. 158
R. Hiptmair
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25. April
2011
4.4
p. 470

11
10
9
t=0
t=0.5
t=1
t=2
t=3
t=5
11
10
9
t=0
t=0.5
t=1
t=2
t=3
t=5
Numerische
Mathemtik
8
8
q
q
7
7
6
6
5
5
4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
p
4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
p
Evolution eines quadratischen Volumens
(Explizites Eulerverfahren)
Evolution eines quadratischen Volumens
(Implizite Mittelpunktsregel)
R. Hiptmair
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Bem. 4.2.8: Fürd = 2 ist die implizite Mittelpunktsregel volumenerhaltend (wie alle
Gauss-Kollokationsverfahren nach Lemma 4.1.6)
✸
4.4
p. 471

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen: Symplektische Evolutionen (≠ Volumenerhaltung)
Numerische
Mathemtik
Push-Forward: Wirkung einer (glatten) Abbildung
auf infinitesimale Strecke = Vektor
FürC 1 -AbbildungΦ : D ⊂ R d ↦→ R d :
(Φ ∗ v)(y) = DΦ(y)v y ∈ D, v ∈ R d .
✁ Transport eines Vektors im „Strömungsfeld”
t ↦→ Φ t zuẏ = f(y)
Fig. 159
R. Hiptmair
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Definition 4.4.5 (Symplektisches Produkt).
ω(v,w) := v T Jw , v,w ∈ R 2n mit J =
( ) 0 In
−I n 0
.
4.4
p. 472

Bemerkung 4.4.6 (Konstante 2-Formen).
Numerische
Mathemtik
Symplektisches Produkt ˆ= Prototyp einer nichtdegenerierten, alternierenden Bilinearform:
Definition 4.4.7 (Alternierende, nichtdegenerierte Bilinearform).
Eine Bilinearformβ : R d ×R d ↦→ R heisst
• alternierend :⇔ β(x,y) = −β(y,x) ∀x,y ∈ R d ,
• nichtdegeneriert :⇔ β(x,y) = 0 ∀y ∈ R d ⇒ x = 0
β : R d ×R d ↦→ R alternierende Bilinearform ⇒ ∃L ∈ Rd,d : L T = −L
β(x,y) = x T Ly ∀x,y ∈ R d
R. Hiptmair
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2011
✬
Lemma 4.4.8 (Normalform schiefsymmetrischer Matrizen).
Zu jedem regulärenL ∈ R 2n,2n mitL T = −L gibt es ein reguläresU ∈ R d,d , so dass
( )
U T 0 In
LU = J =
(Kongruenztransformation).
−I n 0
✫
✩
✪
4.4
p. 473

Beweis. L = −L T
⇒ unitär diagonalisierbar (normale Matrix !), rein imaginäre Eigenwerte, die
in konjugiert komplexen Paaren zu konjugiert komplexen Eigenvektoren auftreten:
)
∃Q ∈ C 2n : Q −1 = Q H und
Q H LQ = i
mitD = diag(µ 1 ,...,µ n ) ∈ R n ,µ i > 0. Dann setze
U = √ 1
(
D
Q
− 1/2
D − )
1/2
2 −iD −1/2 iD − 1/2
( D 0
0 −D
,
. ✷
Numerische
Mathemtik
Beachte: Die MatrixUist reell !
Es gibt eine reelle Koordinatentransformation, dieβ inω (→ Def. 4.4.5) überführt.
Bemerkung 4.4.9 (Symplektisches Flussintegral).
△
R. Hiptmair
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2011
4.4
p. 474

Numerische
Mathemtik
y
✁ ω(x,y) ˆ= Fluss “durch” orientiertes Parallelogramm,
aufgespannt von{p,p+x,p+y,p+
x+y} (gewichtete Fläche)
p
x
Fig. 160
R. Hiptmair
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2011
“Riemann-Summation”
✄
➣ Fluss durch beschränkte orientierte differenzierbare
Fläche (= Mannigfaltigkeit der Dimension
2)
Fig. 161
4.4
p. 475

Istψ : U ↦→ R d eine Parametrisierung (Karte) der 2-MannigfaltigkeitΣ, so gilt, vgl. Push-Forward,
∫ ∫ ( ) dψ T ( ) dψ
Fluss = ω = J du . (4.4.10)
du 1 du 2
Σ
U
Numerische
Mathemtik
△
✬
Theorem 4.4.11 (Symplektischer Fluss Hamiltonscher Systeme).
Sei Φ t die Evolution zu einer Hamiltonschen Differentialgleichung (1.2.21) mit C 2 -Hamilton-
FunktionH : R n ×M ↦→ R. Dann gilt
✩
R. Hiptmair
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2011
∀y ∈ D: ∃δ > 0: ω ( (Φ t ∗v)(y),(Φ t ∗w)(y) ) = ω(v,w) ∀v,w ∈ R 2n , 0 ≤ t < δ .
✫
✪
4.4
p. 476

Numerische
Mathemtik
✁ Veranschaulichung Push-Forward von
zwei Vektoren und alternierende (Flächen)Bilinearform.
Fig. 162
Beweis.
(→ Beweis von [16, Thm. 2.4, Ch. VI])
Φ t ˆ= Evolutionsoperator zur Hamiltonschen ODE
ẏ = J −1 gradH(y)
R. Hiptmair
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Behauptung ⇐⇒ (Φ t ∗(v)y) T J(Φ t ∗(w)y) = v T Jw ∀v,w ∈ R d , ∀y ∈ D ,
( ) d T ( ) d
⇐⇒
dy Φt (y) J
dy Φt (y) = J ∀y ∈ D .
PropagationsmatrixW(t;y) := d
dy Φt y löst Variationsgleichung (1.3.34)
Ẇ(t;y) = D(J −1 gradH(y))W(t;y) = J −1 ∇ 2 H(y)W(t;y) , y ∈ D .
4.4
p. 477

✎ Notation: ∇ 2 H ˆ= (symmetrische) Hesse-Matrix der Hamilton-FunktionH.
Numerische
Mathemtik
Mit Produktregel, daJ T = −J,J −T = −J −1 = J:
d
dt
(
W(t;y) T )
JW(t;y)
= Ẇ(t;y)T JW(t;y)+W(t;y) T JẆ(t;y)
= W(t;y) T ∇ 2 H(y)J −T J
} {{ }
=−I
DaW(0;y) = I ⇒ W(t;y) T JW(t;y) = J ∀t
W(t;y)+W(t;y) T JJ
} {{ −1
}
∇ 2 H(y)W(t;y) = 0 .
=I
✷
Definition 4.4.12 (Symplektische Abbildung).
EineC 1 -AbbildungΦ : D ⊂ R 2n ↦→ R 2n heisst symplektisch, falls
R. Hiptmair
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2011
DΦ(y) T JDΦ(y) = J ⇔ ω ( )
DΦ(y)v,DΦ(y)w
= ω(v,w) ∀v,w ∈ R
2n , ∀y ∈ D .
} {{ } } {{ }
(Φ ∗ v)(y) (Φ ∗ w)(y)
★
✧
Thm. 4.4.11: Die Evolution zu einer Hamiltonschen Differentialgleichung
ist symplektisch zu jedem Zeitpunkt.
✥
✦
4.4
p. 478

Das Konzept der Symplektizität ist eng verbunden mit der differentialgeometrischen Betrachtung Hamiltonscher
Evolutionen, siehe [2, Part III].
Numerische
Mathemtik
✬
✩
Korollar 4.4.13 (Komposition symplektischer Abbildungen).
Die Komposition symplektischer Abbildungen ist symplektisch.
✫
✪
Bemerkung 4.4.14 (Vektorräume von Vektorfeldern und Eigenschaften von Evolutionen).
Def. 1.3.7: Vektorfeldf : D ⊂ R d ↦→ R d ➣ EvolutionΦ t zur ODEẏ = f(y)
R. Hiptmair
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2011
(1.2.8): gradI ·f = 0 ⇔ Φ t “I-isoflächenerhaltend” für allet
Thm. 4.2.3: divf = 0 ⇔ Φ t volumenerhaltend (→ Def. 4.2.1)∀t
Lemma 4.3.12: f ◦R = −R◦f ⇔ Φ t R-reversibel (→ Def. 4.3.11)∀t
Thm. 4.4.11: f = J −1 gradH ⇒ Φ t symplektisch (→ Def. 4.4.12)∀t
✗
✖
VektorraumV von VektorfeldernD ↦→ R d
Gruppe G von Diffeomorphismen
✔
✕
4.4
p. 479

Einschrittverfahren fürẏ = f(y) strukturerhaltend
(mit diskreter EvolutionΨ h )
:⇔ f ∈ V ⇒ Ψ h ∈ G
Numerische
Mathemtik
△
✬
✩
Theorem 4.4.15 (Symplektische Evolutionen und Hamiltonsche Differentialgleichungen).
Sei Φ t der Evolutionsoperator zu einer autonomen ODE ẏ = f(y), f : D ⊂ R 2n ↦→ R 2n stetig
differenzierbar, ZustandsraumD sternförmig. Dann gilt
Φ t symplektisch (→ Def. 4.4.12)∀t ⇔ ∃H : D ↦→ R: f(y) = J −1 gradH(y) .
✫
✪
R. Hiptmair
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Definition 4.4.16 (Sternförmiges Gebiet).
D ⊂ R d heisst sternförmig, wenn esz ∈ D gibt, so dass
für alle Punktex ∈ D.
{tz+(1−t)x, 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ D
4.4
p. 480

Numerische
Mathemtik
Hilfsmittel beim Beweis:
✬
✩
Lemma 4.4.17 (Integrabilitätslemma).
Es seiD ⊂ R d sternförmig undf : D ↦→ R d stetig differenzierbar. Dann gilt
Df = Df T ⇔ ∃F : D ↦→ R: f(y) = gradF(y) ∀y ∈ D .
✫
✪
Beweis. O.B.d.A: D sternförmig bzgl.0 ⇒ Wohldefiniert ist die Funktion
⇒ gradF(y) = DF(y) T =
Vorsicht:
0
0
strikte Unterscheidung von Zeilen- und Spaltenvektoren wichtig; Gradient ist ein Spaltenvektor!
F(y) :=
∫ 1
∫ 1
0
f(τy)·ydτ y ∈ D .
τDf(τy) T ·y+f(τy)dτ =
∫ 1
d
dτ
(f(τy)τ)(τ)dτ = f(y) .
✷
R. Hiptmair
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2011
4.4
p. 481

Beweis (von Thm. 4.4.15)
Numerische
Mathemtik
“⇐”: Siehe Thm. 4.4.11
“⇒”: PropagationsmatrixW(t;y) := ( d
dy Φt )(y) löst Variationsgleichung (1.3.34)
Ẇ(t;y) = Df(Φ t y)W(t;y) , W(0;y) = I , y ∈ D , t ∈ J(y) .
t fixiert, hinreichend klein: y ↦→ Φ t y ist symplektische Abbildung (→ Def. 4.4.12)
W(t;y) T JW(t;y) = J =⇒ t frei d (
W(t;y) T )
JW(t;y) = 0 .
dt
Mit Produktregel:
0 = d dt
(
W(t;y) T )
JW(t;y)
= Ẇ(t;y)T JW(t;y)+W(t;y) T JẆ(t;y)
R. Hiptmair
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2011
= (Df(Φ t y)) T JW(t;y)+W(t;y) T J(Df(Φ t y)) ∀y ∈ D, |t| klein.
Setzet = 0, benutzeJ −T = −J −1 = J
⇒ JDf(y) = (JDf(y)) T ∀y ∈ D
Wegen JDf(y) = D(Jf)(y) Anwendung der Integrabilitätslemmas 4.4.17. ✷
4.4
p. 482

4.4.2 Symplektische Integratoren
Numerische
Mathemtik
Warum interessiert Numeriker diese „exotische” Eigenschaft „Symplektizität” ?
Thm. 4.4.15:
f = J −1 gradH
(“Bewegungsgleichung”)
⇔ Φ t symplektisch (→ Def. 4.4.12)∀t
Intuition: diskrete EvolutionΨ h symplektisch ↔ “Diskrete Bewegungsgleichung
Symplektizität kann von diskreten Evolutionen geerbt werden !
R. Hiptmair
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Definition 4.4.18 (Symplektisches Einschrittverfahren).
Ein Einschrittverfahren (→ Def. 2.1.2) heisst symplektisch, wenn es, angewendet auf eine
Hamitonsche Differentialgleichung (→ Def. 1.2.20) ẏ = J −1 gradH(y) eine konsistente
diskrete EvolutionΨ h erzeugt, so dassΨ h : K ⊂ D ↦→ R d für jedes KompaktumK ⊂ D und
festes hinreichend kleinesh > 0 eine symplektische Abbildung (→ Def. 4.4.12) ist.
4.4
p. 483

Bemerkung 4.4.19 (Einfache symplektische Integratoren).
Die diskreten EvolutionenΨ h : D ⊂ R 2n ↦→ R 2n zur Hamiltonsche ODE (1.2.21)
(ẏ = J −1 gradH(y),H : D ⊂ R d ↦→ R) erzeugt durch
Numerische
Mathemtik
implizite Mittelpunkteregel (1.4.19)
symplektisches Eulerverfahren (2.5.11)
Störmer-Verlet-Verfahren (2.5.13) (→ Bem. 1.4.33, Bsp. 2.5.10) für separierte Hamilton-Funktion
der Form H(y) = T(p)+U(q),y = ( p
q
)
,
sind symplektisch (für hinreichend kleine Schrittweiteh ∈ R).
Nachweise der Symplektizität:
R. Hiptmair
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2011
für implizite Mittelpunkteregel (1.4.19):
Ψ h y 0 := y 1 = y 0 +hJ −1 gradH( 1 2 (y 0 +y 1 )) . (4.4.20)
Implizites Differenzieren (Annahme:H “hinreichend glatt”):
DΨ h (y 0 ) = I+hJ −1 ∇ 2 H( 1 2 (y 0 +y 1 )) 1 2 (I+DΦh (y 0 )) ,
⇒ DΨ h (
(y 0 ) = I− 1 2 hJ−1 ∇ 2 ) −1 (
H(...) I+ 1 2 hJ−1 ∇ 2 )
H(...)
.
4.4
p. 484

Verwende nun
M = M T ⇒ (I−JM) T (I+JM) −T J(I+VJM) −1 (I−JM) = J . (4.4.21)
Numerische
Mathemtik
Störmer-Verlet-Verfahren (2.5.13) fürH(p,q) = T(p)+U(q):
⎧
⎪⎨ p 1/2 = p 0 −
2 1hgradU(q 0) ,
q 1 = q 0 +hgradT(p 1/2 ) ,
⎪⎩
p 1 = p 1/2 − 1 2 hgradU(q 1) .
(4.4.22)
Strang-Splittingverfahren (Bem. 1.4.33): diskrete EvolutionΨ h zu (4.4.22) erfüllt
wobeiΦ t T ,Φt U
Ψ h = Φ h /2
U ◦Φh T ◦Φh /2
U ,
R. Hiptmair
exakte Evolutionsoperatoren zu Hamiltonschen ODE
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{ṗ 2011
= 0 ,
→ Hamilton-FunktionH(p,q) = T(p) ,
˙q = gradT(p)
→ Hamilton-FunktionH(p,q) = U(q) .
4.4
implizte Mittelpunktsregel/Störmer-Verlet-Verfahren = symplektische Integratoren
△
Φ t T ↔
Φ t U ↔ {ṗ = −gradU(q) ,
˙q = 0 .
Korollar 4.4.13 ⇒ Ψ h is symplektische Abbildung (→ Def. 4.4.12).
Terminologie:
p. 485

✬
✩
Theorem 4.4.23 (Symplektische Runge-Kutta-Einschrittverfahren).
Alle Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5), die quadratische Invarianten erhalten, sind
symplektisch.
✫
✪
Numerische
Mathemtik
Beweis. Φ t ˆ= Evolutionsoperator zu Hamiltonschen Dgl. ẏ = f(y) := J −1 gradH(y) ist eine
symplektische Abbildung für (alle zulässigen)t
Def. 4.4.12
⇒ I(Y) := Y T JY ist quadratisches erstes Integral der Variationsgleichung
Ẇ(t;y) = Df(Φ t y)W(t;y) .
Ψ h ˆ= diskrete Evolution des EK-ESV fürẏ = f(y)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
̂Ψ h ˆ= diskrete Evolution des EK-ESV für
{ ẏ = f(y) ,
Ẇ = Df(y)W :
Lemma 4.2.7
⇒
dΨ h
dy (y 0) = W 1 =
(
( ))
̂Ψ h y0
I
W
( y1
W 1
) = ̂Ψ h ( y0
I
)
.
.
4.4
p. 486

Nach Voraussetzung erhält ̂Ψ h quadratische erste Integrale,
( )
dΨ
h T ( )
dΨ
h
J
dy (y 0)
dy (y 0)
= W T 1 JW 1 = J ∀y 0 ∈ D . ✷
Numerische
Mathemtik
✗
✖
Thm. 4.1.4 ⇒ Alle Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren sind symplektisch.
Beispiel 4.4.24 (Symplektisches Euler-Verfahren). siehe Bsp. 2.5.10
✔
✕
Annahme: Separierte Hamilton-Funktion der Form H(p,q) = T(p)+U(q),T,U : D ⊂ R n ↦→
R glatt
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
H(p,q) = T(p)+U(q) ↔ Splitting der rechten Seite von (1.2.21), vgl. Bsp. 2.5.10
f(y) = J −1 gradH(y) =
( ) −gradU(q)
0
+
( )
0
gradT(p)
=: f 1 (y)+f 2 (y) (4.4.25)
➣ Lie-Trotter-Splitting-Einschrittverfahren (2.5.2)
p k+1 = p k −hgradU(q k )
q k+1 = q k +hgradT(p k+1 ),
bzw.
p k+1 = p k −hgradU(q k+1 )
q k+1 = q k +hgradT(p k ) .
(4.4.26)
4.4
p. 487

(4.4.26) = explizite symplektische diskrete Evolutionen (Thm. 2.5.5: Konsistenzordnung 1)
Numerische
Mathemtik
Beachte: In (4.4.26) (links): Inkrement benutztq k ,p k+1
In (4.4.26) (rechts): Inkrement benutztq k+1 ,p k
☞ Verallgemeinerung von (4.4.26) auf ẏ = J −1 gradH(y) in der Form,y := ( p
q
)
,
ṗ(t) = − ∂H ∂H
(p(t),q(t)) , ˙q(t) = (p(t),q(t)) : (1.2.21)
∂q ∂p
y k+1 = y k +hJ −1 gradH(p k ,q k+1 ) bzw. y k+1 = y k +hJ −1 gradH(p k+1 ,q k ) .
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Für allgemeine Hamilton-FunktionH = H(p,q) :
Symplektische Euler-Verfahren
p k+1 = p k −h ∂H
∂q (p k+1,q k )
q k+1 = q k +h ∂H
∂p H(p k+1,q k ),
bzw.
p k+1 = p k −h ∂H
∂q (p k,q k+1 )
q k+1 = q k +h ∂H
∂p H(p k,q k+1 ) .
☞ kein Splittingverfahren mehr, trotzdem symplektisch [16, Thm. 3.3] !
(4.4.27)
✸
4.4
p. 488

Bemerkung 4.4.28 (Partitionierte Runge-Kutta-Einschrittverfahren).
Mit lokal Lipschitz-stetigenf u : D u ×D v ↦→ R n ,f v : D u ×D v ↦→ R n ,D u ,D v ⊂ R n
Numerische
Mathemtik
ODE:
“Symplektisches Euler-Verfahren” (4.4.27) für (4.4.29):
˙u = f u (u,v) ,
˙v = f v (u,v) .
(4.4.29)
Ansatz:
⎧
⎪⎨
u 1 = u 0 +hf u (u 1 ,v 0 ) ,
v 1 = v 0 +hf v (u 1 ,v 0 ) .
➣ Konsistenzordnung 1. (4.4.30)
s-stufige partitionierte Runge-Kutta-Einschrittverfahren (für autonome ODE)
k u i
= f u (u 0 +h s ∑
j=1
a u ij ku j ,v 0+h s ∑
j=1
a v ij kv j ) ,
⎪⎩ k v ∑
i
= f v (u 0 +h s a u ij ku j ,v ∑
0+h s i = 1,...,s ,
a v ij kv j ) j=1 j=1
⎧
⎪⎨ u 1 = u 0 + s (4.4.31)
∑
b u i ku i ,
i=1
∑
⎪⎩ v 1 = v 0 + s b v i kv i .
i=1
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.4
p. 489

in Stufenform, vgl. Bem. 2.3.7:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Darstellung:
g u i
= u 0 +h s ∑
j=1
g v i
= v 0 +h s ∑
j=1
a u ij f u(g u j ,gv j ) ,
Zwei Butcher-Tableaus:
a v ij f v(g u j ,gv j ) , ,
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u 1 = u 0 + s ∑
i=1
v 1 = v 0 + s ∑
i=1
b u i f u(g u i ,gv i ) ,
b v i f v(g u i ,gv i ) . (4.4.32)
c u A u
b u,T & cv A v
b v,T
Numerische
Mathemtik
Symplektisches Euler-Verfahren
Störmer-Verlet-Verfahren
0 0
1
& 1 1 1
1/2 1/2 0
1/2 1/2 0
1/2 1/2
&
0 0 0
1 1/2 1/2
1/2 1/2
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
In Analogie zur Theorie der konventionellen RK-ESV aus Def. 2.3.5:
• Bedingungsgleichungen an Koeffizienten für gewünschte Konsistenzordnungen, vgl. Sect. 2.3.2
[16, Sect. II.2]
4.4
p. 490

• Algebraische Bedingungen für Erhaltung quadratischer Invarianten [16, Sect. IV.2.2], vgl.
Lemma 4.1.6, und Symmetrie, vgl. Thm. 4.3.1 [16, Sect. V.2.2],
Numerische
Mathemtik
• Koeffizientenbedingungen für Symplektizität, vgl. Thm. 4.4.23 [16, Sect. VI.4].
△
Beispiel 4.4.33 (Symplektisches Euler-Verfahren für Pendelgleichung).
AWP für Pendelgleichung wie in Bsp. 4.4.3.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.4
p. 491

11
10
9
t=0
t=0.5
t=1
t=2
t=3
t=5
11
10
9
t=0
t=0.5
t=1
t=2
t=3
t=5
Numerische
Mathemtik
8
8
q
q
7
7
6
6
5
5
4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Evolution eines quadratischen Volumens
(Verfahren (4.4.27), links)
p
Fig. 164
4
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Evolution eines quadratischen Volumens
(Verfahren (4.4.27), rechts)
p
Fig. 165
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.4
p. 492

1.5
Numerische
Mathemtik
Energieerhaltung des symplektischen partitionierten
Eulerverfahrens (4.4.27) (links) (p(0) =
Gesamtenergie
1
0.5
0,q(0) = 7π 6 ) 0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
t
Fig. 166
Beispiel 4.4.34 (Langzeit-Energieerhaltung bei symplektischer Integration). → Bsp. 4.4.1, 4.4.33,
1.4.32
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Hamiltonsche Differentialgleichung (4.4.4) für mathematisches Pendel → 1.2.17 (p ↔ Winkelgeschwindigkeit,
q ↔ Winkelvariableα)
ṗ = −sinq ,
˙q = p
Hamilton-FunktionH(p,q) = 1 2 p2 −cosq (Gesamtenergie) (4.4.4)
Anfangswerte: p(0) = 0,q(0) = 7/6π, EndzeitpunktT = 5000
4.4
p. 493

Symplektische ESV:
Symplektisches partitioniertes Euler-Verfahren (4.4.27) (links)
Störmer-Verlet-Verfahren (4.4.22), siehe Bem. 4.4.19
Implizite Mittelpunktsregel (4.4.20), siehe Bem. 4.4.19
2-stufiges Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren, siehe Sect. 2.2.1
(uniforme Zeitschrittweiteh > 0)
Numerische
Mathemtik
10 0 h
Stärke der Energieschwankungen
10 −1
E var (h) = max |E h (ih)−E exact | .
i=0,...,T/h
energy variation
10 −2
10 −3
Sympl. Euler E var (h) = O(h) ,
Störmer-Verlet E var (h) = O(h 2 R. Hiptmair
10 −4
) ,
rev 35327,
Implizite MPR E var (h) = O(h 2 25. April
10
) ,
−5
2011
Gauss-Koll (s = 2) E var (h) = O(h 4 ) .
10 −6 Gauss coll.(s=2)
implicit midpoint
Vermutung: E var (h) = O(h p Stoermer−Verlet
sympl. Euler
)
10 −7
O(h 4 )
O(h
(p ˆ= 2 )
O(h)
Konvergenzordnung des ESV)
10 −8
10 −2 10 −1 10
Fig. 167 0
✸
Beispiel 4.4.35 (Federpendel).
4.4
Reibungsfreies Federpendel: Hamilton-Funktion H(p,q) =
2 1‖p‖2 +
2 1(‖q‖−1)2 +q 2
p. 494

(q ˆ= Position, p ˆ= Impuls)
ṗ = −(‖q‖−1) q
( )
0
‖q‖ − 1
, ˙q = p . (4.4.36)
Numerische
Mathemtik
00000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111
0
−0.5
−1
Spring pendulum trajectory
−1.5
q 2
−2
Trajektorien bei Langzeitevolution
(Chaotisches mechanisches System)
Fig. 168
✄
−2.5
−3
−3.5
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
q 1
Fig. 169
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
ESV: Störmer-Verlet-Verfahren (4.4.22) (Konsistenzordnung 2), siehe Bem. 4.4.19,
Explizite Trapezregel (2.3.3) (Konsistenzordnung 2).
4.4
p. 495

1
0.5
Stoermer−Verlet, h = 0.200000
1
0.5
Explicit trapezoidal rule, h = 0.200000
Numerische
Mathemtik
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
q 2
q 2
−1.5
−1.5
−2
−2
−2.5
−2.5
−3
0 < t < 50
1000 < t < 1050
−3.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
q 1
Fig. 170
Animation
✄
Störmer-Verlet ESV
−3
0 < t < 50
1000 < t < 1050
−3.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
q 1
Fig. 171
Explizite Trapezregel
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Symplektischer Integrator: Positionen im “zulässigen Bereich” auch bei Langzeitintegration
Explizite Trapezregel: Trajektorien verlassen bei Langzeitintegration den “zulässigen Bereich” (Energiedrift
!)
4.4
p. 496

✸
Numerische
Mathemtik
Beispiel 4.4.37 (Molekulardynamik). → [8, Sect. 1.2]
Zustandsraum fürn ∈ N Atome ind ∈ N Dimensionen: D = R 2dn
(Positionenq = [q 1 ;...;q n ] T ∈ R dn , Impulsep = [p 1 ,...,p n ] T ∈ R dn )
Gesamtenergie (Hamilton-Funktion):
H(p,q) = 1 2 ‖p‖2 2 +V(q) .
3
2.5
2
Lenard−Jones potential
equilibrium distance
Lenard-Jones-Potential:
n∑ ∑
V(q) =
j=1 i≠j
∥
V( ∥q i −q j∥ ∥ ∥2 ) ,
✄
H(q)
1.5
1
0.5
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
V(ξ) = ξ −12 −ξ −6 . (4.4.38)
0
−0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|q|
Fig. 172
4.4
p. 497

➥ Hamiltonsche Differentialgleichung (→ Def. 1.2.20):
ṗ j = − ∑ V ′ ∥
( ∥q j −q i∥ ∥ q j −q
∥2 ) ∥
i
∥q
i≠j j −q i∥ ∥
, ˙q j = p j , j = 1,...,n .
2
Numerische
Mathemtik
Störmer-Verlet-Verfahren (4.4.22):
q h (t+ 1 2 h) = q h(t)+ h 2 p h(t) ,
p j h (t+h) = pj h (t)−h∑ V ′ ∥
( ∥q j ∥
h (t+ 1 2 h)−qi h (t+ 2 1h) ∥∥2 q j
)
h (t+ 1 2 h)−qi h (t+ 1 2 h)
∥
i≠j ∥q j ∥
h (t+ 1 2 h)−qi h (t+ 1 2 h) ∥∥2
,
q h (t+h) = q h (t+ 1 2 h)+ h 2 p h(t+h) .
Simulation mit d = 2, n = 3, q 1 (0) = 1 2
EndzeitpunktT = 100
√
2
( −1)
, q 2 (0) = 1 2√
2
( 11
)
, q 3 (0) = 1 2
√
2
( −1
1
)
, p(0) = 0,
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.4
p. 498

100
Trajektorien der Atome, Verlet, 10000 timesteps
0.6
0.4
Energieanteile, Verlet, 10000 timesteps
kinetische Energie
potentielle Energie
Gesamtenergie
Numerische
Mathemtik
80
0.2
60
0
t
E
40
−0.2
20
−0.4
0
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 −2
0
2
−0.6
x −0.8
2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x 1 t
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.4
p. 499

100
Trajektorien der Atome, Verlet, 2000 timesteps
0.6
0.4
Energieanteile, Verlet, 2000 timesteps
kinetische Energie
potentielle Energie
Gesamtenergie
Numerische
Mathemtik
80
0.2
60
0
t
E
40
−0.2
20
−0.4
0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −2
0
2
−0.6
x −0.8
2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x 1 t
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Beobachtungen:
Völlig unterschiedliche Trajektorien bei Langzeitsimulation mit unterschiedlichen Zeitschrittweitenh.
Qualitativ richtige Trajektorien in jedem Fall.
4.4
p. 500

Energie
10 3 Verlet auf [0,10]: Schwankung der Gesamtenergie
10 2
10 1
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
Variation
Drift
Abstand
T = 10,d = 2,n = 3,q 1 (0) =
2
1 √ ( 2 −1
1
2√
2
( 11
) ,q 3 (0) = 1 2
Variation =
N−1 ∑
i=1
√
2
( −1
1
) ,p(0) = 0.
−1)
,q 2 (0) =
|E tot ((i+1)h)−E tot (ih)| ,
Drift = |E tot (T)−E tot (0)| ,
∥
Abstand = max{ ∥q j ∥
h (T) ∥∥2
, j = 1,2,3} .
Numerische
Mathemtik
10 −4
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Anzahl(Zeitschritte)
Fig. 173
Beispiel 4.4.39 (Vielteilchen-Molekulardynamik). → [26, Sect. 4.5.1]
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.4
p. 501

2D konservatives Vielteilchensystem mit
Lennard-Jones-Potential→ Bsp. 4.4.37
9
8
Initial position of atoms, 0K
Numerische
Mathemtik
(Anfangsimpulse= 0↔0K)
Anfangspositionen
✄
7
6
5
Beobachtet für explizite Trapezregel (2.3.3),
Störmer-Verlet (4.4.22)
q 2
4
3
Approximation der GesamtenergieH(p,q)
Mittlere kinetische Energie (“Temperatur”)
Animation
✄
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
q 1
Fig. 174
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.4
p. 502

−906
−908
Stoermer−Verlet: 10 x 10 Lenard−Jones atoms
h = 0.010000
h = 0.005000
h = 0.002500
h = 0.001250
−500
Trapezoidal rule, 10 x 10 Lenard−Jones atoms
h = 0.010000
h = 0.005000
h = 0.002500
h = 0.001250
Numerische
Mathemtik
−910
−600
−912
total energy
−914
−916
−918
total energy
−700
−800
−920
−900
−922
−1000
−924
−926
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t
Fig. 175
−1100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t
Fig. 176
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.4
p. 503

1.4
1.2
Stoermer−Verlet: 10 x 10 Lenard−Jones atoms
3
2.5
Trapezoidal rule, 10 x 10 Lenard−Jones atoms
h = 0.010000
h = 0.005000
h = 0.002500
h = 0.001250
Numerische
Mathemtik
1
2
temperature
0.8
0.6
temperature
1.5
1
0.4
0.2
h = 0.010000
h = 0.005000
h = 0.002500
h = 0.001250
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t
Fig. 177
0.5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t
Fig. 178
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Symplektischer Integrator: Qualitativ korrektes Verhalten der Temperatur
✸
Beispiel 4.4.40 (Projektion auf Energiemannigfaltigkeit). → Bsp. 4.4.35
4.4
p. 504

Idee: Korrektur der Energiedrift (bei nichtsymplektischen Integratoren) durch Projektion auf Energiemannigfaltigkeit
Numerische
Mathemtik
{(p,q) ∈ R n ×R n : H(p,q) = H(p 0 ,q 0 )} . (4.4.41)
Konkret: Orthogonalprojektion (p,q) ↦→ P(p,q) := (p ∗ ,q ∗ ): mit y = ( p
q
)
, bestime λ ∈ R, y ∗ =
( p
∗
q ∗ ) ∈ R
2n so, dass
H(y ∗ ) = H 0 , y ∗ = y+λgradH(y ∗ ) . (4.4.42)
Projiziertes ESV Ψ h : Orthogonalprojektion nach jedem Schritt: y k+1 = PΨ h y k
Beachte: (4.4.42) nichtlineares Gleichungssystem der Dimension2n+1, teuer ! R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.4
p. 505

5
Stoermer−Verlet
Explicit TR
Projected TR
spring pendulum integration, h=0.200000
1
0.5
Projected explicit trapezoidal rule, h = 0.200000
Numerische
Mathemtik
4
0
3
−0.5
total energy
2
1
q 2
−1
−1.5
−2
−2.5
0
−1
0 200 400 600 800 1000 1200
t
Fig. 179
−3
0 < t < 50
1000 < t < 1050
−3.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
q 1
Fig. 180
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Warnung: Projektion kein Allheilmittel, siehe [16, Ch. IV, Ex. 4.3]
✸
4.4
p. 506

4.4.3 Rückwärtsanalyse
Numerische
Mathemtik
Sect. 1.3.3.5: Berechnung individueller Trajektorien sinnlos für schlecht konditionierte/chaotische
Evolutionen.
Ziel:
Berechnung typischer/wahrscheinlicher Trajektorien
Bemerkung 4.4.43 (Rückwärtsanalyse (engl. backward error analysis): Philosophische Grundlage).
“Naturgesetze” (engl. first principles) Parameter/Datenp 1 ,...,p m (unsicher !)
Mathematisches Modelly = M(p 1 ,...,p m )
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Diskretisiertes Modely h = M h (p 1 ,...,p m )
✬
✩
Ziel:
Genaue, mit den Naturgesetzen verträgliche Lösungy h
✫
∃˜p i : ‖p i − ˜p i ‖ ≪ 1: y h = M(˜p 1 ,...,˜p m )
✪
△
4.4
p. 507

Konkrete Anwendung dieser Philosophie auf numerische Integratoren (Einschrittverfahren), siehe [26,
Sect. 5.1]:
Numerische
Mathemtik
Ψ h ˆ= diskrete Evolution eines ESV für ẏ = f(y) ➣ y k+1 = Ψ h (y k )
Findeh-abhängiges Vektorfeld˜f h :↦→ R d so, dass
Wunsch:
˙ỹ =˜f h (ỹ) , ỹ(0) = y 0 ⇒ y k = ỹ(hk) . (4.4.44)
Modifizierte Differentialgleichung
˜f h ,f gehören zur gleichen Klasse von Vektorfeldern, vgl. Bem. 4.4.14
Kleine Störung: ˜f h ≈ f für “kleine” Schrittweitenh > 0
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Ψ h strukturerhaltend & “qualitativ genau”:
(y k ) akzeptabel
Rückwärtsanalyse von auf der Grundlage modifizierter Differentialgleichung
erfordert uniforme Zeitschrittweite
4.4
p. 508

Beispiel 4.4.45 (Modifizierte Gleichung für RK-ESV und lineare ODE).
lineare ODE (→ Sect. 1.3.2):
ẏ = Ay,A ∈ R d,d
Numerische
Mathemtik
Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5) mit StabilitätsfunktionS(z)
Modifizierte ODE: ˜f h (y) = Ãy , Ã = 1 h
log(S(hA)) , (4.4.46)
für “hinreichend kleines”h > 0.
Hier:log ˆ= “Matrixlogarithmus”:
log(X) = ∞ ∑
k=1
(−1) k−1
k
(X−I) k für‖X−I‖ < 1
Beweis von (4.4.46) ( elementar unter Annahme, dass A diagonalisierbar:
T −1 AT = D = diag(µ 1 ,...,µ d )):
Bem. 3.1.13, (3.1.16) ⇒ Für RK-ESV y 1 = S(hA)y 0
∃T ∈ R d,d regulär:
R. Hiptmair
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25. April
2011
(4.4.44)
=⇒ exp(Ãh) = S(hA) mit σ(hA)∩]−∞,0] = ∅ für kleinesh > 0 . ✸
4.4
p. 509

? Modifizierte Gleichung im allgemeinen Fall
Numerische
Mathemtik
Definition 4.4.47 (Modifizierte Gleichung der Ordnungq).
Sei Ψ h die diskrete Evolution eines Einschrittverfahrens der Konsistenzordnungp für die ODE
ẏ = f(y) mit lokal Lipschitz-stetigemf : D ⊂ R d ↦→ R d .
Dann ist ˙ỹ = ˜f h (ỹ) mit h-abhängigem, lokal Lipschitz-stetigen˜f h : D ↦→ R d eine modifizierte
Gleichung der Ordnungq,q > p, wenn
∥ ∥
∥˜Φ h hy−Ψ h y∥ ≤ C(y)hq+1 ∀y ∈ D für h → 0 ,
wobei ˜Φ t h der Evolutionsoperator zu ˙ỹ =˜f h (ỹ) undC : D ↦→ R lokal gleichmässig beschränkt.
R. Hiptmair
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25. April
2011
Def. 4.4.47 ˆ= “Das ESV ist konsistent von der Ordnungq mit ˙ỹ =˜f h (ỹ).” → Def. 2.1.13
4.4
p. 510

Beispiel 4.4.48 (Modifizierte Gleichung der Ordnung 2 zu explizitem Euler-Verfahren).
Numerische
Mathemtik
Explizites Eulerverfahren (1.4.2) fürẏ = f(y): y 1 = y 1 (h) = Ψ h y 0 = y 0 +hf(y 0 )
Vergleich mit Taylorentwicklung (um0) (2.3.25) der exakten Lösungy(t):
y(h) = y 0 +f(y 0 )h+ 1 2 Df(y 0)f(y 0 )h 2 +O(h 3 ) fürh → 0 . (4.4.49)
“störender Term ☞ zu “verschieben” in˜f h
Modifizierte Gleichung der Ordnung 2:
˙ỹ =˜f h (ỹ) := f(ỹ)− 1 2 hDf(ỹ)f(ỹ)
denn aus (4.4.49), fürh → 0
f glatt
⇒ ˜Φ h hy 0 −y 1 (h) = O(h 3 ) ,
R. Hiptmair
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ỹ(h) = y 0 +˜f h (y 0 )h+ 1 2 D˜f h (y 0 )˜f h (y 0 )h 2 +O(h 3 )
= y 0 +hf(y 0 )− 1 2 h21 2 Df(y 0)f(y 0 )+ 1 2 Df(y 0)f(y 0 )h 2 +O(h 3 )
= y 0 +hf(y 0 )+O(h 3 ) = Ψ h y 0 +O(h 3 ) .
✸
4.4
p. 511

Durchwegs “stillschweigende Annahme”: f “hinreichend glatt” ⇒ Φ t ,Ψ h “hinreichend glatt”
Numerische
Mathemtik
✎ Notationen: Φ t ˆ= Evolutionsoperator zur ODEẏ = f(y),
t ↦→ y(t) ˆ= Lösungstrajektorien vonẏ = f(y) zum Anfangswerty 0 ∈ D.
Ziel: Formalisierung der ad-hoc-Konstruktion einer modifizierten Gleichung der Ordnung p + 1 aus
Bsp. 4.4.48
Idee: Rekursive Konstruktion von˜f h :
Annahme: diskrete EvolutionΨ h konsistent von der Ordnungpmitẏ = f h (y)
R. Hiptmair
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Ansatz:
˜f h = f h (y)+h p
∆f(y) (4.4.50)
Modifikatorfunktion
Ziel:
˜Φ h hy−Ψ h y = O(h p+2 ) fürh → 0 (4.4.51)
Konkrete Annahme, vgl. (2.4.13):
∃ lokale gleichmässig beschränktesd : D ↦→ R d mit
4.4
p. 512

τ(y 0 ,h) := Φ h h y 0 −Ψ h y 0 = d(y 0 )h p+1 +O(h p+2 ) für h → 0 , ∀y 0 ∈ D . (4.4.52)
Numerische
Mathemtik
Konsistenzfehler→Def. 2.1.11,
(Φ t h ˆ= Evolutionsoperator zuẏ = f h(y))
(4.4.51): Bestimme∆f so, dass Lsg. von ˙ỹ =˜f h (ỹ),ỹ(0) = y 0
˜Φ h hy−Ψ h y = ỹ(h)−y 1 = O(h p+2 ) fürh → 0 . (4.4.53)
Taylorentwicklung umh = 0, vgl. (2.3.25), benutze Dgl. und Kettenregel: Fürh → 0
ỹ(h) = y 0 +
p+1
∑
k=1
h j
j!ỹ(j) (0)+O(h p+2 ) = y 0 +
= y 0 +h˜f h (y 0 )+ 1 2 h2 D˜f h (y 0 )˜f h (y 0 )
p+1
∑
k=1
h j
j!
d j−1
dt j−1˜f h (ỹ(t))
|t=0
+O(h p+2 )
+ 1 6 h3( D 2˜f h (y 0 )(˜f h (y 0 ),˜f h (y 0 ))+D˜f h (y 0 )D˜f h (y 0 )˜f h (y 0 ) ) +···+O(h p+2 )
= y 0 +hf h (y 0 )+h p+1 ∆f(y 0 )+ 1 2 h2 Df h (y 0 )f h (y 0 )
+ 1 6 h3( D 2 f h (y 0 )(f h (y 0 ),f h (y 0 ))+Df h (y 0 )Df h (y 0 )f h (y 0 ) ) +···+O(h p+2 ) ,
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da “O(h p )-Modifikation” in (4.4.50), z.B.
h 2 D˜f h (y 0 )˜f h (y 0 ) = h 2( Df h (y 0 )+h p D∆f(y 0 ) ) (f h (y 0 )+h p ∆f(y 0 ))
= h 2 Df h (y 0 )f h (y 0 )+O(h p+2 ) .
4.4
p. 513

➣ Beobachtung: Taylorentwicklung vont ↦→ Φ t h Vy 0 umt = 0 ist enthalten !
Numerische
Mathemtik
ỹ(h) = Φ h h y 0 +h p+1 ∆f(y 0 )+O(h p+2 )
(4.4.52)
= Ψ h y 0 +h p+1 d(y 0 )+h p+1 ∆f(y 0 )+O(h p+2 ) .
(4.4.53) erfüllt durch ∆f(y) := −d(y) ! (4.4.54)
Versuch:
Reihenansatz für Vektorfeld der modifizierten Gleichung:
˜f h (y) = f(y)+h p ∆f p (y)+h p+1 ∆f p+1 (y)+h p+2 ∆f p+2 (y)+... . (4.4.55)
➣ Modifikatorfunktionen ∆f l ,l ∈ N, aus rekursiver Konstruktionsvorschrift
R. Hiptmair
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(4.4.54) ⇒ ∆f l (y) = − lim
h→0 ˜Φ h h,l−1y−Ψ h y
h l+1 , (4.4.56)
mit
˜Φ t h,l ˆ= Evolutionsoperator zur ODE
˙ỹ =˜f h,l (ỹ) := f(y)+h p ∆f p (y)+h p+1 ∆f p+1 (y)+h p+2 ∆f p+2 (y)+...+h l ∆f l (y) . (4.4.57)
4.4
p. 514

Bemerkung 4.4.58 (Berechnung der Modifikatorfunktionen∆f j durch Computeralgebra).
Numerische
Mathemtik
MAPLE-Code: Berechnung der∆f j
fcn := y ->f(y):
N :=q:
fcoe [1] := fcn(y):
for n from 2 by 1 to N do
modeq := sum(h^j*fcoe [j+1], j=0..n-2):
diffy [0] := y:
for i from 1 by 1 to n do
diffy [i] := diff(diffy[i-1],y)*modeq:
od:
ytilde := sum(h^k*diffy[k]/k!, k=0..n):
res := ytilde-y-h*fcn(y):
tay := convert(series(res,h=0,n+1),polynom):
fcoe [n] := -coeff(tay,h,n):
od:
simplify(sum(h^j*fcoe[j+1],j=0..N-1));
ESV:
Explizites Euler-Verfahren
✁ MAPLE-code [13]:
Berechnung der
Modifikatorfunktionen∆f l
für skalare ODEẏ = f(y).
Ausgabe der Reihe (4.4.55)
bis zumq. Term.
R. Hiptmair
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Beispiel 4.4.59 (Modifikatoren für einfache ESV).
Skalare Differentialgleichung: ẏ = y 2 → Bsp. 1.3.11
△
4.4
p. 515

Explizites Euler-Verfahren (1.4.2): y 1 = y 0 +hf(y 0 )
˜f(y) = y 2 −h y 3 +h 2 3/2y 4 −h 3 8/3y 5 +h 431 }{{} } {{ } } {{ } 6 y6 −h 5157
}{{}
15 y7
} {{ }
−∆f 1 ∆f 2 −∆f 3
∆f 4
−∆f 5
+h 6649
30 y8 −h 7 9427
} {{ }
210 y9 +h 8 19423
} {{ }
210 y10 −h 9 6576
} {{ }
35 h9 y 11 +O(h 10 ) .
} {{ }
∆f 6 −∆f 7 ∆f 8 −∆f 9
Implizites Euler-Verfahren (1.4.13): y 1 = y 0 +hf(y 1 )
res := ytilde-y-h*fcn(ytilde))
(In MAPLE code:
˜f(y) = y 2 +hy 3 +3/2h 2 y 4 +8/3h 3 y 5 + 31 6 h4 y 6 + 157
15 h5 y 7 + 649
30 h6 y 8
+ 9427
210 h7 y 9 + 19423
210 h8 y 10 + 6576
35 h9 y 11 +O(h 10 )
Implizite Mittelpunktsrregel (1.4.19): y 1 = y 0 +hf( 1 2 (y 0+y 1 ))
res := ytilde-y-h*fcn(0.5*(y+ytilde))
(In MAPLE code:
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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˜f(y) = y 2 + 1 4 h2 y 4 + 1 8 h4 y 6 +0.057291667h 6 y 8 +0.02343750000h 8 y 10 +O(h 10 ) .
☞ Nur gerade Potenzen vonh, vgl. Beweis zu Thm. 2.1.29, Thm. 2.4.22
✸
4.4
p. 516

Problem:
Potenzreihe (inh)
∞∑
k=1
∀h > 0 (↔ Konvergenzradius= 0)
h k ∆f k (y) möglicherweise divergent
Numerische
Mathemtik
Interpretation von (4.4.55) als asymptotische Entwicklung von˜f h , siehe Def. 2.4.7
Beispiel 4.4.60 (Bedeutung der modifizierten Gleichungen niedriger Ordnung).
Anfangswertproblem für logistische Differentialgleichung, siehe Bsp. 1.2.1
ẏ = λy(1−y) , y(0) = 0.01 .
R. Hiptmair
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∆f 1 (y) = λ 2( −1/2y +3/2y 2 −y 3) , ∆f 2 (y) = λ 3( − 11
6 y2 +3y 3 −3/2y 4 +1/3y ) .
∆f 1 (y) = λ 2( 1/2y −3/2y 2 +y 3) , ∆f 2 (y) = λ 3( − 11
6 y2 +3y 3 −3/2y 4 +1/3y ) 4.4
ESV: Explizites Euler-Verfahren (1.4.2), vgl. Bsp. 1.4.9, Modifikatorfunktionen aus (4.4.55)
ESV: Implizites Euler-Verfahren (1.4.13), vgl. Bsp. 1.4.15, Modifikatorfunktionen aus (4.4.55)
p. 517

Explicit Euler h=0.050000, logistic ODE, λ=10.000000
Implicit Euler h=0.050000, logistic ODE, λ=10.000000
1
Expl. Euler
y(t)
y 1
(t)
y 2
(t)
1
Impl. Euler
y(t)
y 1
(t)
y 2
(t)
Numerische
Mathemtik
0.8
0.8
0.6
0.6
y
y
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Fig. 181
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Fig. 182
R. Hiptmair
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Die Euler-Verfahren füry = f(y) liefern eine bessere Approximation für die Lösungen von
ẏ = ˜f 1,h (y) = f(y)+h∆f 1 (y) und ẏ = ˜f 1,h (y) = f(y)+h∆f 1 (y)+h 2 ∆f 2 (y) .
Betrachte abgeschnittene modifizierte Gleichung !
✸
4.4
p. 518

✬
✩
Lemma 4.4.61 (“Abgeschnittene” modifizierte Gleichung).
Mit Modifikatorfunktionen ∆f i gemäss (4.4.56) für die ODE ẏ = f(y) und das ESV mit
diskreter EvolutionΨ h (der Konsistenzordnungp) wie oben definiert, ist
Numerische
Mathemtik
˙ỹ =˜f h,l (ỹ) := f(ỹ)+h p ∆f p (ỹ)+h p+1 ∆f p+1 (ỹ)+···+h l ∆f l (ỹ) ,
eine modifizierte Gleichung der Ordnungl+1,l > p (→ Def. 4.4.47)
✫
✪
Beweis. Der Beweis ergibt sich aus der rekursiven Konstruktion der ∆f l , siehe (4.4.52), (4.4.53),
(4.4.54).
R. Hiptmair
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4.4.4 Modifizierte Gleichungen: Fehleranalyse
4.4
p. 519

Im Sinne der Rückwärtsanalyse (→ Bem. 4.4.43) des Lanzeitverhaltens von Einschrittverfahren ist
zu untersuchen:
Numerische
Mathemtik
• Gibt es eine (strukturerhaltende) modifizierte Gleichung, der Lösung für lange Zeiten nahe bei
der numerische Lösung (Gitterfunktion(y k ) k ) bleibt.
• Wenn ja, ist die rechte Seite dieser modifizierten Gleichung nahe bei der rechten Seite der Ausgangsgleichung.
Strategie: Was wollen wir ?
☞ Lemma 4.4.61:
y k+1 = Ψ h y k , d.h.
Familie modifizierter Gleichungen ˙ỹ =˜f h,l (ỹ), „konsistent mit dem ESV”
R. Hiptmair
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Konsistenzfehler τ(y,h) := Ψ h y− ˜Φ h h,ly → 0 für h → 0 .
4.4
p. 520

Idee: Erinnerung an Beweis des Konvergenzsatzes für ESV, Thm. 2.1.19
(vgl. auch Beweis von Thm. 2.1.26 und das „diskrete Gronwall-Lemma” Lemma
2.1.20)
‖y k −ỹ(kh)‖ ≤ 1 h
∥
max ∥τ(y j ,h) ∥ exp(Lhk)−1
j=0,...,k−1 L
. (4.4.62)
Numerische
Mathemtik
(L > 0: Lipschitz-Konstante der Inkrementfunktion des ESV, ỹ ˆ= Lösung der modifizierten
Gleichung)
Exponentielles Wachstum der Konstanten in (4.4.62) fürhk → ∞ !
( ∥ ∥τ(y j ,h) ∥ ∥ = O(h l+2 ) liefert keine sinnvollen Abschätzungen bei Langeitintegration)
R. Hiptmair
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2011
4.4
p. 521

JEDOCH:
γ = 1, L = 1
Numerische
Mathemtik
Wenn Konsistenzfehler „exponentiell klein”
100
‖τ‖ ≤ Chexp(−γ/h) , γ > 0 . (4.4.63)
log of bound
0
−100
−200
−300
−400
−500
‖y k −ỹ(kh)‖
−600
10 2
≤ Cexp(−γ/h+hkL) . (4.4.64)
10 1
final time T = hk
10 0
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
h
R. Hiptmair
Verhalten der Schranke aus (4.4.64)
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4.4
p. 522

γ = 1, L = 1
10 2 Contours for 0.1, 0.01, 0.001
Schranke≥ 0.1
10 2
γ = 1, L = 1, C = 1
bound < 0.1
bound < 0.01
bound < 0.001
Numerische
Mathemtik
final time T = hk
10 1
maximal final time T
10 1
10 0
Schranke≤ 0.001
10 0
10 −2 10 −1
h
Fig. 183
10 3 h
10 −1
10 −3 10 −2 10 −1 10 0
Fig. 184
R. Hiptmair
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Aus (4.4.64) lesen wir ab:
h <
Schrittweiteh„klein”
γ
TL−log(τ/C)
⇒ ‖y k −ỹ(kh)‖ ≤ τ für 0 ≤ kh ≤ T .
⇒ Numerische Lösungy k bleibt lange in der Nähe der Trajektoriet ↦→ ỹ(t)
(Präzisere Diskussion in Bem. 4.4.85)
4.4
p. 523

Wir sind frei in der Wahl der Abschneideindexl!
Numerische
Mathemtik
Frage: Was ist die beste abgeschnittene modifizierte Gleichung ?
Zur Beantwortung brauchen wir Konzepte/Hilfsmittel aus der Funktionentheorie !
Analytizitätsvoraussetzung
für jedes Kompaktum K ⊂ D gibt es ein R = R(K) > 0, so dass f(y) in jedem y ∈ K in
jeder Komponente vonyeine Potenzreihenentwicklung mit Konvergenzradius> R besitzt.
⇔
f ist holomorph inD
R. Hiptmair
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Erklärung: Potenzreihenentwicklung umy = (y 1 ,...,y d ) T in derj. Komponente
f(y 1 ,...,y j−1 ,y,y j+1 ,...,y d ) =
∞∑
a k (y)(y −y j ) k für |y −y j | < R .
k=0
4.4
p. 524

Beispiel 4.4.65 (Analytizitätsvoraussetzung für Hamiltonsche Differentialgleichungen).
Numerische
Mathemtik
f(y) = J −1 gradH(y) holomorph inD
⇔ H(y) holomorph inD
(mit jeweils gleicher unterer SchrankeRfür Konvergenzradius auf Kompakta)
Mathematisches Pendel, Bsp. 4.4.3:
➣ D = R 2 ,R = ∞ (ganze Funktion !)
Federpendel, Bsp. 4.4.35:
H(p,q) = 1 2 p2 −cosq
H(p,q) = 1 2 ‖p‖2 + 1 2 (‖q‖−1)2
➣ D = R 4 ,R = dist(K,{q = 0}) (H nicht holomorph inq = 0)
R. Hiptmair
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Beachte: H(p,q) jeweils analytisch in Umgebungen physikalisch sinnvoller Trajektorien !
✸
✎ Notation: ˜Φ t h,l ˆ= Evolutionsoperator zu ˙ỹ =˜f h,l (ỹ), vgl. Lemma 4.4.61
4.4
p. 525

✬
✩
Theorem 4.4.66 (Konsistenzfehlerabschätzung für abgeschnittene modifizierte Gleichungen).
Sei Ψ h die diskrete Evolution eines zu ẏ = f(y) konsistenten (partitionierten) Runge-Kutta-
Einschrittverfahrens. Unter der Analytizitätsvoraussetzung gibt es für jedes KompaktumK ⊂ D
KonstantenC 1 ,C 2 > 0 und einh 0 ∈]0,∞] so, dass
∥ Ψh y− ˜Φ h h,ly∥ ≤ C 1h(C 2 (l+1)h) l+1 ∀y ∈ K, ∀l ∈ N , ∀|h| ≤ h 0 . (4.4.67)
✫
✪
Numerische
Mathemtik
Hilfsmittel bei Beweis: Differentialgleichung in C → Thm. 2.2.85
R. Hiptmair
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2011
✬
✩
Lemma 4.4.68. Ist f holomorph in einer Umgebung von B ρ (0), |f(z)| ≤ M für allez ∈ B ρ (0)
undf(0) = ··· = f (p) (0) = 0,p ∈ N 0 , dann gilt
|f(z)| ≤ M|z| p+1 ρ −(p+1) ∀z ∈ B ρ (0) .
✫
✪
4.4
p. 526

Beweis. AufB ρ (0):
konvergente Potenzreihenentwicklung
f(z) = z p+1 ∑ ∞ a j z j
j=0
} {{ }
=:g(z)
, |g(z)| ≤ M für|z| = ρ .
ρp+1 g holomorph aufB ρ (0) ⇒|g| nimmt Maximum auf Rand|z| = ρ an (Maximumprinzip).
✷
Numerische
Mathemtik
Blosse Beschränktheit auf einer Nullumgebung einer holomorphen Funktion f mit |f(z)| =
O(|z| p+1 ) genügt bereits, um das Abfallverhalten fürz → 0 genau zu charakterisieren!
R. Hiptmair
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Beweis von Thm. 4.4.66 ☞ für skalaren Falld = 1,ẏ = f(y),D =]a,b[⊂ R Intervall,
☞ für explizites Euler-Verfahren (1.4.2): Ψ h y = y +hf(y)
(Beweis nach S. Reich 1999, siehe [29, Thm. 2])
Annahme:
f holomorph in Umgebung von
D
R
4.4
p. 527

Ziel, vgl. (4.4.67):
Abschätzung des Konsistenzfehlers ˜Φ h h,l (y)−Ψh (y) für modifizierte
Gleichungen der Ordnungl+1 (→ Def. 4.4.47)
⇕←(4.4.54)
Abschätzung der Modifikatorfunktionen∆f l !
Numerische
Mathemtik
Schritt I: Abschätzung für Modifikatorfunktion∆f 1 (auch zur Demonstration der Technik)
! Interpretation vonẏ = f(y) als Differentialgleichung in C → Thm. 2.2.85 :
f holomorph ⇒ Lösungent ↦→ y(t) analytisch (in Umgebung von0) ⇒ fortsetzbar nach C
⇒ EvolutionΦ t : B R (D) ↦→ C holomorph (für hinreichend kleines|t|)
R. Hiptmair
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25. April
2011
Im Folgenden: betrachte komplexe “Zeitschrittweiten”h ∈ C, 0 < α < 1 fest gewählt.
Aus der Abschätzung für Wegintegrale im Komplexen
∫
M := max |f(z)| ⇒
z∈B R (D) |Φh h
z −z| =
∣ 0
f(Φ τ )dτ
∣ ≤ M|h| ,
⇒ |Ψ h z −z| = |hf(z)| ≤ M|h| .
∀z ∈ B αR (D)
|h| klein.
(4.4.69)
4.4
p. 528

Schranke für|h|:
Numerische
Mathemtik
Wennz ∈ B αR (D) &|h| ≤ (1−α) R M ,0 ≤ α < 1
dann bleibt die Trajektorie ξ ↦→ Φ ξh z, 0 ≤ ξ ≤ 1,
inB R (D) !
z
D
αR
Φ h z Fig. 186
⇒
|h| ≤ h 1 := (1−α)R ⇒ |Φh y −y| ≤ (1−α)R ,
M |Ψ h ∀y ∈ B αR (D)
y −y| ≤ (1−α)R .
(
|h| ≤ (1−α)R
)
⇒ |Φ h y −Ψ h y| ≤ 2(1−α)R ∀y ∈ B
M
αR (D)
Anwendung von Lemma 4.4.68 aufg(h) = Φ h y −Ψ h y:
g holomorph inB (1−α)R/M (0)
g beschränkt durch2(1−α)R aufB (1−α)R/M (0)
) −2
(
⇒ |Φ h y −Ψ h y| ≤ 2(1−α)R|h| 2 (1−α)R
M
( )
≤ 2M|h| 2 M
∀y ∈ B
(1−α)R αR (D) ,
. (4.4.70)
(4.4.71)
dag(h) = O(h 2 ) (Euler-Verfahren Konsistenzordnung 1), so dassg(0) = g ′ (0) = 0.
(4.4.56)
⇒ |∆f 1 (y)| =
∣ lim Φ h y −Ψ h ∣
y ∣∣∣∣ ( )
(4.4.71) M
h→0 h 2 ≤ 2M ∀y ∈ B
(1−α)R αR (D) . (4.4.72)
R. Hiptmair
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25. April
2011
4.4
p. 529

Wir haben nun gesehen, wie man unter der Analytizitätsannahme an die rechte Seite f eine Abschätzung
für die erste Modifikatorfunktion erhalten kann. Benötigt wird eine Schranke für f in einer
kompakten UmgebungB R (D) ⊂ C.
Numerische
Mathemtik
Die rekursive Konstruktion der Modifikatorfunktionen gemäss (4.4.56) legt nun folgendes Vorgehen
nahe:
➀ Unter Verwendung von Abschätzungen für die Modifikatorfunktionen ∆f j , 1 ≤ j ≤ l, leite eine
Abschätzung für die rechte Seite ˜f h,l der modifizierten Gleichung (4.4.57) aus Lemma 4.4.61 her.
Ebenso wie alle Modifikatorfunktionen wird auch ˜f h,l analytisch in einer Umgebung vonD sein.
➁ Benutze die Schranke für ˜f h,l , um mit gleichen Techniken wie oben für∆f 1 die nächste Modifikatorfunktion∆f
l+1 abzuschätzen.
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➂ Mache weiter mit ➀
Rekursive Abschätzung
←→ Induktionsbeweis
Herausforderung: Formulierung einer geeigneten Induktionsannahme, vgl. (4.4.72).
4.4
p. 530

Numerische
Mathemtik
Schritt II. Induktionsbeweis: Induktionsannahme: Es gibtl-unabhängigeb > 0,c > 0, so dass
( ) clM l
∀l ∈ N: max |∆f l(y)| ≤ bM ∀y ∈ B
y∈B αR (D) (1−α)R αR (D) , ∀0 ≤ α < 1 . (4.4.73)
Die Konstantenb,c werden dann später geeignet festgelegt.
Induktionsbeginn “l = 0” ⇔ (4.4.72)
Induktionsschritt “l ⇒ l+1”: (0 < α < 1 fixiert!)
|˜f h,l (y)|≤|f(y)|+|h||∆f 1 (y)|+|h| 2 |∆f 2 (y)|+···+|h| l |∆f l (y)|
2M
l∑
( )
≤M +|h|
(1−α)R +bM |h| j jcM j
∀y ∈ B
, αR (D) ,
(1−α)R ∀0 < α < 1 .
j=2
aus (4.4.72) nach Induktionsannahme (4.4.73)
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? Nötig: Schranke für|˜f h,l (y)| in einer Umgebung vonB αR (D)
4.4
p. 531

Idee: „∀α” in (4.4.73) ➣ nutze Freiheit in der Wahl vonα!
⇒
α ∗ := α+δ(1−α) ∈]δ,1[ ⇒ 1−α ∗ = (1−α)(1−δ) , α ∗ > α .
max |˜f 2M
l∑
( )
h,l (y)| ≤ M +|h|
y∈B α ∗ R (D) (1−α)(1−δ)R +bM jcM|h| j
.
(1−α)(1−δ)R
j=2
Numerische
Mathemtik
Versuch: Vereinfachung durch Beschränkung von|h|: |h| ≤ h l := (1−α)R
(l+1)cM
⇒
(
max |˜f h,l (y)| ≤ M 1+
y∈B α ∗ R (D)
2
l∑
c(l+1)(1−δ) +b
Erinnerung an unser Ziel (4.4.73) für „l ← l+1”. Wegen
müssen wir also zeigen:
|˜Φ h h,l y −Ψh y| ≤ |h| l+2 bM
j=2
(
)
j j)
. (4.4.74)
(l+1)(1−δ)
∆f l+1 (y) = − lim
h→0 ˜Φ h h,l y −Ψh y
h l+2 , (4.4.56)
( c(l+1)M
) l+1|h| l+2 bMh
(1−α)R l h −(l+2)
l
∀y ∈ B αR (D) (4.4.75)
} {{ }
=h −1
l
!
Beachte: (4.4.75) ⇒ Behauptung des Theorems mitC 1 = bM,C 2 = cM
(1−α)R !
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4.4
p. 532

Beachte: per constructionem, Lemma 4.4.61: ˜Φ h h,l y −Ψh y = O(h l+2 ) fürh → 0
Numerische
Mathemtik
Lemma 4.4.68 ⇒ Da h ↦→ ˜Φ h h,l y −Ψh y analytisch, genügt es zu zeigen
|˜Φ h h,l y −Ψh y| ≤ h l bM ∀h ∈ B hl (0) , ∀y ∈ B αR (D) . (4.4.76)
Dann Dreiecksungleichung wie in (4.4.70) & Abschätzung analog zu (4.4.69):
|˜Φ h h,ly −y| ≤ |h| max |˜f h,l (y)| ∀y ∈ B αR (D), |h| „hinreichend klein”. (4.4.77)
y∈B α ∗ R (D)
Was brauchen wir ?
(|Ψ h y −y| ≤ M|h| wie oben)
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max
y∈B α ∗ R (D) |˜f h,l (y)| ≤ (b−1)M,
h l · max |˜f h,l (y)| ≤ δ(1 − α)R, damit die Trajektorie z ↦→ ˜Φ z
y∈B
h,l y in B α ∗ R(D) bleibt, wenn
α ∗ R
|z| ≤ h l (Beachte: B αR (D) ⊂ B α ∗ R(D)).
Dazu müssen wir die Parameter in (4.4.74) geeignet wählen!
4.4
p. 533

Wir sind „frei” in der Wahl vonδ ∈]0,1[ ! ➣ δ := b−1
c
·
1
l+1
⇒ h l (b−1)M = δ(1−α)R
Numerische
Mathemtik
(4.4.74)
⇒
max |˜f h,l (y)| ≤ M
y∈B α ∗ R (D)
(
2
l∑
( )
1+
c(l+1)−b+1 +b jc j)
c(l+1)−b+1
j=2
} {{ }
=:Γ(b,c,l)
.
Frage: Gibt esb,c > 0 (b−1 < 2c) so, dass max
l∈N
Γ(b,c,l) ≤ b−1 ?
Für Beweis von Thm. 4.4.66:
Γ(b,c,l) := 1+
Verhalten von
2
l∑
c(l+1)−b+1 +b
j=2
(
)
jc j
:
c(l+1)−b+1
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4.4
p. 534

1
22
20
b=20, c=300
b=20, c=100
b=10,c=10
400
350
300
0
Γ(b,c,l) < b−1
−1
Numerische
Mathemtik
Γ(b,c,ell)
18
16
14
12
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
l
Fig. 187
c
250
200
150
100
50
1
2 2 2 2
1
5 10 15 20 25 30
b
0
1
0
Fig. 188
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Linker Plot: l ↦→ Γ(b,c,l) ➣ eindeutiges Maximum für kleinesl
Rechter Plot:
Konturen von(b,c) ↦→ max l Γ(b,c,l)−b+1
Aus den Plots lesen wir ab: mögliche Wahl c = 300,b = 20 ∀l.
4.4
p. 535

Dann weiter wie zuvor skizziert, siehe (4.4.76), (4.4.77):
⇒ |˜Φ h h,ly −y| ≤ M(b−1)|h| ,
⇒ |˜Φ h h,l y −Ψh y| ≤ bM|h|
für |h| ≤ h l , ∀y ∈ B αR (D) , (4.4.78)
Numerische
Mathemtik
Beachte: ˜Φ h h,l y − Ψh y = O(h l+2 ) nach Konstruktion der Modifikatorfunktionen und holomorph in
Umgebung von0. Mit Formel fürh l , o.B.d.A.0 < h l < 1,
Lemma 4.4.68
⇒
|˜Φ h h,l y −Ψh y| ≤ bM
( ) |h| l+2 ( )
≤ bM|h| l+2 c(l+1)M l+1
. (4.4.79)
h l (1−α)R
Mit (4.4.56) folgt die Induktionsbehauptung fürl+1.
Behauptung des Theorems mitC 1 = bM,C 2 = cM R
(Fallα = 0) folgt ebenfalls aus (4.4.79) ✷
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4.4
p. 536

Verhalten der Schranke aus Thm. 4.4.66
✄
Mögliche Divergenz der asymptotischen Entwicklung
(4.4.55) manifestiert sich in C 1 h(C 2 (l +
1)h) l+1 → ∞ fürl → ∞.
Optimaler Abbruchindex:
l opt ≈
[ ] 1
C 2 eh
. (4.4.80)
10 0 l
10 −2
Numerische
Mathemtik
((l+1)C 2
h) (l+1)
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
10 −16
10 −18
10 −20
C 2
h = 0.1
C 2
h = 0.05
C 2
h = 0.01
10 0 10 1 10 2
Fig. 189
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4.4
p. 537

10 0 1/C 2
h
10 −2
40
35
Numerische
Mathemtik
10 −4
30
optimal consistency error bound
10 −6
10 −8
10 −10
optimal truncation index
25
20
15
10 −12
10
10 −14
5
10 −16
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Fig. 190
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1/C 2
h
Fig. 191
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✎ Notation: [x] ˆ= ganzzahliger Anteil vonx > 0
(4.4.80) ergibt sich aus Kurvendiskussion vonx ↦→ (ax) x ,x > 0.
4.4
p. 538

∥ Ψh y− ˜Φ h h,l opt
y
∥ ≤ C 1hexp(−l opt ) ≤ C 1 hexp(−γ/h) , γ := 1
C 2 e > 0 . (4.4.81)
Schranke exponentiell klein fürh → 0, vgl. (4.4.63)
Numerische
Mathemtik
Beachte: (4.4.81) ↔ Konsistenzfehlerabschätzung (2.1.18)
Nun leiten wir eine Abschätzung für die Abweichung der numerischen Lösung von der Lösungstrajektorie
der optimal abgeschnittenen modifizierten Gleichung ˙ỹ =˜f h,lopt (ỹ) her, vgl. (4.4.62).
R. Hiptmair
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Betrachte: AWP ẏ = f(y)y(0) = y 0 ∈ D auf[0,T], EndzeitpunktT ∈ J(y 0 )
4.4
p. 539

✎ Notationen: ỹ ˆ= Lösung des AWP ˙ỹ =˜f h,lopt (ỹ),ỹ(0) = y 0
(
y h k
)k := ((Ψ h ) k y 0
)
(l opt aus (4.4.80) mitC 2 aus Thm. 4.4.66 bzgl.K)
k , k ∈ {0,...,[ T/h]}: Gitterfunktion erzeugt durch das
Einschrittverfahren mit Schrittweiteh > 0 (numerische Näherungslösung)
Numerische
Mathemtik
✬
Lemma 4.4.82 (Konvergenz der optimal abgeschnittenen modifizierten Gleichung).
Es gebe eine kompakte UmgebungK ⊂ D vony 0 , so dassy h k
wennhhinreichend klein.
Es gelten die Voraussetzungen von Thm. 4.4.66 (Analytizitätsannahme).
∈ K für allek ∈ N,
Die diskrete Evolution zum ESV besitze die DarstellungΨ h y = y+hψ(y,h) mit einer
aufK gleichmässig Lipschitz-stetigen Inkrementfunktionψ, d.h., vgl. 2.1.24,
✩
R. Hiptmair
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∃L > 0: ‖ψ(z,h)−ψ(w,h)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀z,w ∈ K, |h| hinreichend klein.
Dann gibt esh 0 > 0 und vonh 0 unabhängige KonstantenC > 0,γ > 0 so, dass
∥
∥ỹ(hk)−yk
h ∥ ≤ C(exp(hkL)−1)exp(−γ/h) ∀k ∈ {0,...,[T/h]} , ∀0 < h < h 0 .
✫
✪
4.4
p. 540

Beweis.
Siehe (4.4.62) und die dortigen Bemerkungen:
Numerische
Mathemtik
Der Beweis von Thm. 2.1.19 kann fast unverändert übertragen werden, nachdem (2.1.23) durch
(4.4.81) ersetzt worden ist. Siehe auch Sect. 2.1.4 für die Beweistechnik. ✷
T < γ
Lh ⇒
“exponentiell kleiner” Fehler des Einschrittverfahrens
bzgl. der optimal abgeschnittenen modifizierten Gleichung
Nächster Punkt: Entsteht die optimal abgeschnittene modifizierte Gleichung wirklich durch eine „kleine”
Störung der ursprünglichen ODE?
R. Hiptmair
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2011
4.4
p. 541

✬
✩
Lemma 4.4.83 (Störungsabschätzung für optimal abgeschnittene modifizierten Gleichung).
Neben den Voraussetzungen von Thm. 4.4.66 (Analytizitätsannahme) gibt es für jedes Kompaktum
K ⊂ D eine von (hinreichend kleinem) h > 0 unabhängige Konstante C > 0 so, dass
Numerische
Mathemtik
∥
∥˜f h,l (y)−f(y) ∥ ≤ Ch p ∀y ∈ K , ∀l ∈ N .
✫
✪
Beweis. Ergänzung zum Beweis von Thm. 4.4.66, siehe die dort gemachten Annahmen und verwendeten
Notationen. Ausführungen für das explizite Euler-Verfahren, d.h.p = 1.
Aus der Definition von ˜f h,l , → Lemma 4.4.61,
R. Hiptmair
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l∑
˜f h,l (y)−f(y) = h j ∆f j (y) .
j=1
Idee: Verwende Abschätzung der Modifiktorfunktionen∆f j aus dem Beweis von Thm. 4.4.66
Konkret: aus (4.4.73) mitα = 0
⎛
|˜f h,l (y)−f(y)| ≤ |h| ⎝ 2M l∑
(
R +bM |h|
j−1 jcM
R
) j
⎞
⎠ .
4.4
p. 542

|h| ≤
R
( 2M
(l+1)2cM ⇒ |˜f h,l (y)−f(y)| ≤ |h|
R + 2bcM2
R
) j
l∑
(
2 −j j +1
)
j
l+1
j=2
} {{ }
beschränkt
.
Numerische
Mathemtik
0.8
0.7
0.6
Summe
l ↦→
l∑
2 −j j
j=2
✄
( ) j +1 j
(4.4.84)
l+1
Summe (4.4.84)
0.5
0.4
0.3
0.2
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0.1
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
l
Fig. 192
4.4
p. 543

Also: |˜f h,l (y)−f(y)| ≤ Ch für kleinesh,∀y ∈ K, mitC > 0 unabhängig vonl. ✷
Numerische
Mathemtik
Das Vektorfeld der optimal abgeschnittenen modifizierten Gleichung ist “O(h p )-nah” zuf
Bemerkung 4.4.85 (Schrittweitenbedingungen für „Langzeitintegration”).
Betrachte AWP
ẏ = f(y),y(0) = y 0 , auf[0,T] ⊂ J(y 0 ),f holomorph.
ESVy 1 = Ψ h y 0 der Konsistenzordnungp ∈ N.
Schrittweitenbedingung für genaue numerische Lösung (‖y(hk)−y k ‖ klein) auf[0,T]
R. Hiptmair
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Thm. 2.1.19 ⇒ h p exp(LT) ≪ 1 ⇒ h = O(exp(−T/p)) .
Schrittweitenbedingung für akzeptable(∗) numerische Lösung (‖ỹ(hk)−y k ‖ klein) auf[0,T]
Lemmas 4.4.82, 4.4.83
⇒ h < γ
LT ⇒ h = O(T−1 ) .
4.4
p. 544

(∗) „generisch akzeptabel” bzgl. allgemeiner additiver Störungen vonf. (Schärfer: strukturerhaltend
akzeptabel, siehe Anfang von Sect. 4.4.3)
△
Numerische
Mathemtik
4.4.5 Strukturerhaltende modifizierte Gleichungen
Gemäss Bem. 4.4.43 müssen wir zu zeigen, dass die Vektorfelder ˜f h,l der abgeschnittenen modifizierten
Gleichungen strukturelle Eigenschaften (f ∈ V von Bem. 4.4.14) von f erben. Fokus ist auf
Hamiltonschen Differentialgleichungen (→ Def. 1.2.20)↔Symplektizität (→ Def. 4.4.12)
R. Hiptmair
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Beispiel 4.4.86 (Modifizierte Gleichung für symplektisches Euler-Verfahren). → [26, Sect. 5.1.2]
Separierte Hamilton-Funktion mit PotentialU : R n ↦→ R, vgl. (1.2.28)
H(p,q) := 1 2 ‖p‖2 +U(q) , p,q ∈ R n .
Hamiltonsche Differentialgleichung:
ṗ = −gradU(q) , ˙q = p . (4.4.87)
4.4
p. 545

➀ Explizites Euler-Verfahren für (4.4.87), Schrittweiteh > 0 (Konsistenzordnung 1):
p 1 = p 0 −hgradU(q 0 ) , q 1 = q 0 +hp 0 .
Numerische
Mathemtik
Taylorentwicklung & (4.4.87) & (4.4.54) ➣ erste Modifikatorfunktion
p(h) = p 0 +hṗ(0)+ 1 2 h2¨p(0)+O(h 3 )
= p 0 −hgradU(q 0 )− 1 2 h2 ∇ 2 U(q 0 )p 0 +O(h 3 ) ,
q(h) = q 0 h˙q(0)+ 1 2 h2¨q(0)+O(h 3 )
Ausdruck für den Konsistenzfehler:
= q 0 +hp 0 − 1 2 h2 gradU(q 0 )+O(h 3 ) .
( ) p(h)−p1
τ(y 0 ,h) =
q(h)−q 1
(
−
=
1 2 h2 ∇ 2 )
U(q 0 )p 0
− 1 +O(h 3 ) .
2 h2 gradU(q 0 )
R. Hiptmair
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(4.4.56)
⇒ ∆f 1 (p,q) = 1 2
(
∇ 2 )
U(q)p
≠ J −1 grad
gradU(q)
˜H(y) .
4.4
p. 546

➁ Symplektisches Euler-Verfahren (4.4.26), Schrittweiteh > 0 (Konsistenzordnung 1):
p 1 = p 0 −hgradU(q 1 ) , q 1 = q 0 +hp 0 .
Numerische
Mathemtik
Taylorentwicklung & (4.4.87) & (4.4.54) ➣ Modifikatorfunktion
Im Unterschied zu oben, unter Verwendung von (4.4.26):
q(h) = q 0 +hp 0 − 1 2 h2 gradU(q 0 )+O(h 3 )
= q 0 +hp 1 + 1 2 h2 gradU(q 0 )+O(h 3 )
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∆f 1 (p,q) = 1 2
(
∇ 2 )
U(q)p
−gradU(q)
=
⎛
⎞
∂q (p,q) ⎠ , ˜H 1 (p,q) = − 1
∂p (p,q) 2 p·gradU(q) .
⎝ −∂ ˜H 1
∂ ˜H 1
⇒ Modifizierte Gleichung zweiter Ordnung ist Hamiltonsche Differentialgleichung !
4.4
p. 547

Konkret: mathematisches Pendel → Bsp. 1.2.17
3
2
Explicit Euler, h = 0.000000, trajektories for modified equation
Numerische
Mathemtik
n = 1 , H(p,q) = 1 2 p2 −cosq .
“exakte” Trajektorien
✄
p = velocity
1
0
Trajektorien zu modifizierten Gleichungen 2. Ord-
−1
nung
−2
−3
−6 −4 −2 0 2 4 6
q = α
Fig. 193
R. Hiptmair
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4.4
p. 548

3
Explicit Euler, h = 0.500000, trajektories for modified equation
3
Symplectic Euler, h = 0.500000, trajektories for modified equation
Numerische
Mathemtik
2
2
1
1
p = velocity
0
p = velocity
0
−1
−1
−2
−2
−3
−6 −4 −2 0 2 4 6
q = α
Fig. 194
−3
−6 −4 −2 0 2 4 6
q = α
Fig. 195
R. Hiptmair
Expl. Euler,h = 0.5
Synplekt. Euler,h = 0.5
✸
rev 35327,
25. April
2011
4.4
p. 549

✬
✩
Theorem 4.4.88 (Symplektizität der Modifikatorfunktionen).
Sei Ψ h die diskrete Evolution eines symplektischen Einschrittverfahrens (→ Def. 4.4.18) für
die Hamiltonsche Differentialgleichung ẏ = J −1 · gradH(y) mit glatter Hamilton-Funktion
H : D ⊂ R 2n ↦→ R,D sternförmig.
Dann sind die abgeschnittenen modifizierten Gleichungen ˙ỹ =˜f h,l (ỹ) aus Lemma 4.4.61 ebenfalls
Hamiltonsch für allel ∈ N und alle (hinreichend kleinen)h > 0.
✫
✪
Numerische
Mathemtik
Beweis. (von Thm. 4.4.88)
Idee: Induktion nachl
Induktionsbeginn: Fürl ≤ p: ˜f h,l (y) = f(y) = J −1·gradH(y) ✔
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
“l → l+1”: ˜Φ t ˆ= Evolutionsoperator zu ˙ỹ =˜f h,l (ỹ) = J −1 grad ˜H l (y) (Induktionsannahme !)
⇒ Für festest: ˜Φ t : D ↦→ R 2n is symplektisch (→ Def. 4.4.12)
Nach (4.4.52) & (4.4.54), Lemma 4.4.61 fürh → 0
˜Φ h y 0 −Ψ h y 0 = −∆f l+1 (y 0 )h l+2 +O(h l+3 ) ∀y 0 . (4.4.89)
4.4
p. 550

(D y˜Φ h )(y 0 )−(D y Ψ h )(y 0 ) = −(D y ∆f l+1 )(y)h l+2 +O(h l+3 ) . (4.4.90)
Numerische
Mathemtik
˜Φ h ,Ψ h = symplektische Abbildungen (→ Def. 4.4.12, Argumenty 0 weggelassen)
⇒
(D y˜Φ h ) T JD y˜Φ h
} {{ }
=J
= (D y Ψ h ) T JD y Ψ h
} {{ }
=J
+h l+2( (D y Ψ h ) T JD y ∆f l+1 +(D y ∆f l+1 ) T JD y Ψ h) +O(h l+3 ) .
⇒ 0 = (D y Ψ h ) T JD y ∆f l+1 +(D y ∆f l+1 ) T JD y Ψ h +O(h) .
Für konsistentes ESV, siehe Lemma 2.1.9: D y Ψ h = I+O(h) fürh → 0.
h→0
⇒ 0 = JD y ∆f l+1 +(D y ∆f l+1 ) T J ⇒ D y (J∆f l+1 ) = (D y (J∆f l+1 )) T .
Anwendung von Lemma 4.4.17 (Integrabilitätslemma) aufJ∆f l+1 .
✷
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Symplektische Integratoren liefern strukturerhaltende akzeptable(∗) diskrete Evolutionen für
(glatte) konservative mechanische Systeme.
(∗): (exponentiell genaue) Lösung einer Evolution mit “leicht gestörter” (nämlichO(h p ), siehe Lemma
4.4.83) Hamilton-Funktion ➢ Rückwärtsanalyse → Sect. 4.4.3
4.4
p. 551

Erklärung der “Langzeitenergieerhaltung” symplektischer Integratoren durch Rückwärtsanalyse:
☞ Lösung des ESV (Konsistenzordnung p) ist “exponentiell genaue” (→ Lemma 4.4.82) Approximation
der Lösung einer (optimal abgeschnittenen) modifizierten Gleichung
Diese ist eine Hamiltonsche Differentialgleichung (→ Def. 1.2.20) mit einer (bzgl. H) um
O(h p ) gestörten Hamilton-Funktion ˜H(y) (→ Thm. 4.4.83).
Numerische
Mathemtik
Details:
Annahmen:
symplektisches ESV der Konsistenzordnungp
Schrittweite h < h ∗ ⇒ numerischen Lösungen (y k ) k ⊂ K ⊂ D, K kompakte
TeilmengeK ⊂ D des Zustandsraums.
K ist sternförmig (darauf kann verzichtet werden [16, Sect. XI.3.2])
f erfüllt Analytizitätsannahme bzgl.K
R. Hiptmair
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2011
✎ Notation: (t,y) ↦→ ˜Φ t hy ˆ= Evolutionsoperator zur (optimal abgeschnittenen)
Abschätzung (4.4.81)
modifizierten Gleichung ˙ỹ =˜f h,lopt (ỹ).
⇒
∥ Ψh y− ˜Φ h hy∥ ≤ Chexp(− γ/h) ∀y ∈ K, ∀h < h ∗ .
4.4
p. 552

Thm. 4.4.88 ⇒ ˜f h,lopt (y) = J −1 grad ˜H h (y) mit ˜H h : K ↦→ R holomorph .
Numerische
Mathemtik
˜H h : K ↦→ R holomorph
K kompakt
⇒ ∃L > 0: |˜H h (y)− ˜H h (z)| ≤ L‖y−z‖ ∀y,z ∈ K .
„Teleskopsummenargument”:
ist Invariante einer Hamiltonschen ODE, siehe Lemma 1.2.23)
da ˜H h (˜Φ t hy) = ˜H h (y) für allet ∈ J(y), y ∈ K (Hamilton-Funktion
|˜H h (y k )− ˜H h (y 0 )| ≤
≤
Thm. 4.4.88
k−1 ∑
j=0
k−1 ∑
j=0
|˜H h (y j+1 )− ˜H h (y j )| =
∥ L
∥ Ψh y j − ˜Φ h ∥∥∥
hy j ≤ CL
k−1 ∑
j=0
k−1 ∑
j=0
|˜H h (Ψ h y j )− ˜H h (˜Φ h hy j )|
hexp(−γ/h) ≤ CLhkexp(−γ/h) .
⇒ ∃C > 0: max
y∈K |˜H h (y)−H(y)| ≤ Ch p ∀h < h ∗ .
⇒ |H(y k )−H(y 0 )| ≤ C(Lhkexp(−γ/h)+h p ) ∀h < h ∗ .
LT h p exp(−γ/h) ➣ „Energiefehler” der numerischen Lösung von der GrösseO(h p )
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
für „exponentiell lange Zeit”
☞ Dies ist die Erklärung für die Vermutung aus Bsp. (4.4.34) !
4.4
p. 553

✬
✩
Theorem 4.4.91 (Langzeitenergieerhaltung bei symplektischer Integration).
Für die Hamiltonsche ODE ẏ = J −1 gradH(y) (→ Def. 1.2.20) und ein dazu von Ordnung
p konsistentes symplektisches Einschrittverfahren (→ Def. 4.4.18) seien die Voraussetzungen
von Thm. 4.4.66 erfüllt.
Für hinreichend kleine (uniforme !) Schrittweiten h gelte (Ψ h ) k y ∈ K für alle k ∈ N 0 und
y ∈ K 0 , wobeiK,K 0 ⊂ D kompakt. Dann gibt esC > 0 mit
Numerische
Mathemtik
|H((Ψ h ) k y 0 )−H(y 0 )| ≤ C(hkexp(−γ/h)+h p ) ∀h hinreichend klein, ∀y 0 ∈ K 0 .
✫
✪
T exp(O(h −1 )) =⇒ H(y k )−H(y 0 ) = O(h p )
R. Hiptmair
rev 35327,
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Sect. 4.4.3": Methode der Rückwärtsanalyse erfordert uniforme Zeitschrittweite.
Eine bloss theoretische Einschänkung ?
Beispiel 4.4.92 (Symplektische Integratoren und variable Schrittweite). Fortsetzung Bsp. 4.4.33
4.4
p. 554

Symplektisches Eulerverfahren (4.4.26) für (4.4.4) auf [0,T], T = 5000. Erratische variable Schrittweiteh
i = 0.5(1+0.5(rand()−0.5)),i = 1,...,10000,p(0) = 0,q(0) = 7π/6
Numerische
Mathemtik
600
250
500
200
400
Gesamtenergie
300
200
Gesamtenergie
150
100
100
0
−100
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
t
50
0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
t
R. Hiptmair
rev 35327,
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2011
Energiedrift bei variabler Schrittweite (Verfahren
(4.4.26), links)
Energiedrift bei variabler Schrittweite (Verfahren
(4.4.26), rechts)
✸
4.5
p. 555

4.5 Methoden für oszillatorische Differentialgleichungen [23]
Numerische
Mathemtik
☞
Prototyp: ÿ = −ω 2 y , y(0) = y 0 , ẏ(0) = v 0
y(t) = αcos(ωt)+βsin(ωt) , α,β ∈ R
Verallgemeinerung (skalar): ÿ = −ω 2 y +g(y) , y(0) = y 0 , ẏ(0) = v 0 , (4.5.1)
mit Lipschitz-stetiger Störungg : R ↦→ R.
Verallgemeinerung (vektoriell) ÿ = −Ay+g(y) , y(0) = y 0 , ẏ(0) = v 0 , (4.5.2)
Bemerkung 4.5.3.
(4.5.1)
A ∈ R d,d symmetrisch positiv definit,
v:=ẏ
⇐⇒
)
d y
dt(
v
Lösung von (4.5.4) durch Variation der Konstanten:
=
( ) 0 1 y
−ω 0)( 2 v
+
g : R d ↦→ R d
( ) 0
g(y)
. (4.5.4)
R. Hiptmair
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( ) y(t)
v(t)
=
(
costω ω −1 )( )
sintω y0
+
−ωsintω costω v 0
∫t
0
(
ω −1 )
sin(t−s)ω
cos(t−s)ω
g(y(s))ds (4.5.5)
△
4.5
p. 556

Bemerkung 4.5.6.y(t) löst (4.5.1) &G ′ = g ➡
1 2 |ẏ|2 + 1 2 ω2 y(t)−G(y(t)) ≡ const.
„Energie” für ODE (4.5.1)
Beispiel 4.5.7 (Standardintegratoren für oszillatorische Differentialgleichung).
Adaptives explizites RK-ESV (Sect. 2.6 für (4.5.1):
y0=[1;0];f=@(t,x) [0,1;-omega^2,0]*x + 20*[0;sin(x(1))];
options=odeset(’reltol’,1.0e-2,’abstol’,1.0e-5);
[t,y]=ode45(f,[0,1],y0,options); („Energie” ˆ= Invariante aus Bem. 4.5.6)
△
Numerische
Mathemtik
#(Zeitschritte)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0 50 100 150 200 250
ω Fig. 196
Relativer Energiefehler fuer t=1
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 50 100 150 200 250
ω Fig. 197
R. Hiptmair
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25. April
2011
4.5
p. 557

ω ↑ ⇒ Oszillationen iny(t) ↑ ⇒ Anzahl Zeitschritte↑
✸
Numerische
Mathemtik
Ziel: Effiziente numerische Integration von (4.5.1)/(4.5.2) auch fürω ≫ 1 bzw.λ max (A) ≫ 1
Idee: ( wie bei exponentiellen Integratoren, siehe Sect. 3.7)
g ≡ const. ,
(4.5.8)
Verwende analytische Lösungsdarstellung (4.5.5) zur numerischen Integration:
y(t±h) = cos(hω)y(t)± sinhω
ω
±h ∫
ẏ(t)+
0
sin(±h−s)ω
ω
·g(y(t+s))ds (4.5.8)
y(t+h)−2cos(hω)y(t)+y(t−h) = h 2 (
sin(
1
2
hω)
1
2 hω ) 2
g . (4.5.9)
➣ Gautschis Zweischrittverfahren (y h (t+h) aus y h (t),y h (t−h)) für (4.5.1)
R. Hiptmair
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2011
y h (t+h)−2cos(hω)y h (t)+y h (t−h) = h 2 (
sin(
1
2
hω)
1
2 hω ) 2
g(y h (t)) . (4.5.10)
4.5
p. 558

Notwendig: Startschritt aus (4.5.5)
Ableitungsnäherung:
y h (h) = cos(hω)y 0 + sinhω
( )
ω v 0+ 1 sin(
1 2
2 h2 2
hω)
1
2 hω g(y 0 ) . (4.5.11)
Aus (4.5.8) fürg ≡ const:
y(t+h)−y(t−h) = 2h sinhω
hω ẏ(t) ⇒ v h(t) = hω
sinhω · yh(t+h)−y h (t−h)
2h
.
(4.5.12)
Numerische
Mathemtik
Bemerkung 4.5.13. Gautschi-Verfahren (4.5.10), (4.5.11) für vektorielles Problem (4.5.2) ?
Ersetze cos(hω) ↦→ coshA ,
( )
sin(
1 2
2
hω)
1
2 hω ↦→ 4(hA) −2 sin 2 (
2 1hA) . △
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Beispiel 4.5.14 (Gautschis Zweischrittverfahren).
Anfangswertproblem vom Typ (4.5.1) auf[0,1]:
ÿ = −ω 2 y +siny , y(0) = 1 , ẏ(0) = 0 .
4.5
p. 559

1.5
1
Gautschi−Verfahren: h = 0.1000, ω = 25
y(t)
v(t)/ω
y h
(t)
v h
(t)/ω
1
0.8
0.6
Gautschi−Verfahren: h = 0.0333, ω = 25
y(t)
v(t)/ω
y h
(t)
v h
(t)/ω
Numerische
Mathemtik
0.5
0.4
0.2
y
0
y
0
−0.2
−0.5
−0.4
−1
−0.6
−0.8
−1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 198
ω = 25:y h folgt (oszillatorischer Lösung), auch wennh ≈ 2π ω
−1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 199
R. Hiptmair
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25. April
2011
Relativer Fehler in „Energie” (→ Bem. 4.5.6) fürt = 1:
4.5
p. 560

0.25
Gautschi−Verfahren: h = 0.1000, ω = 25
Gautschi−Verfahren: h = 0.0333, ω = 25
6 x 10−3 t
Numerische
Mathemtik
5
0.2
4
energy
0.15
0.1
energy
3
2
0.05
1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 200
Zeitschritt h = 0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fig. 201
Zeitschritt h = 0.033
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.5
p. 561

10 1 Gautschi−Verfahren: Konvergenz, ω = 25
Numerische
Mathemtik
10 0
10 −1
Beobachtung:
Fehler fuer t=1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
|y h
(1)−y(1)|
|v h
(1)−v(1)|
Energiefehler
O(h 2 )
10 −3 10 −2 10 −1
h
Fig. 202
Ziel erreicht ?
Alle Fehler≈ O(h 2 )
⇕
Konvergenzordnung 2
R. Hiptmair
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25. April
2011
Fehler für fixeshin Abhängigkeit vonω:
4.5
p. 562

7
6
Gautschi−Verfahren: Konvergenz, h = 0.0500
|y h
(1)−y(1)|
|v h
(1)−v(1)|/ω
10 4 Gautschi−Verfahren: Energiedrift, h = 0.0500
10 2
Energiefehler fuer t=1
Numerische
Mathemtik
5
10 0
Fehler fuer t=1
4
3
Fehler fuer t=1
10 −2
10 −4
2
10 −6
1
10 −8
0
0 50 100 150 200
ω
10 −10
0 50 100 150 200
ω
h = 0.05: Was pasiert fürω ≈ 61,ω ≈ 123,ω ≈ 185 ? Instabilität ?
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.5
p. 563

15
Gautschi−Verfahren: Konvergenz, h = 0.0200
|y h
(1)−y(1)|
|v h
(1)−v(1)|/ω
10 4 Gautschi−Verfahren: Energiedrift, h = 0.0200
Energiefehler fuer t=1
Numerische
Mathemtik
10 2
Fehler fuer t=1
10
5
Fehler fuer t=1
10 0
10 −2
10 −4
0
0 50 100 150 200
ω
➣
10 −6
0 50 100 150 200
ω
h-Abhängigkeit kritischer Frequenzen
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
4.5
p. 564

Numerische
Mathemtik
h-Abhängigkeit kritischer Frequenzen
Logarithmus log 10 des relativen Energiefehlers
zum Endzeitpunktt = 0
Beobachtung:
✄
hω-Abhängigkeit kritischer Frequenzen
Fig. 203
✸
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Modellproblem:
ÿ = −ω 2 y +αy , α ≪ ω 2 . (4.5.15)
➤ Gautschi-Verfahren (4.5.10), Schrittweiteh: ➢ Dreitermrekursion
y h (t+h)−
{2cos(hω)+h 2 αsinc 2 ( 1 }
2 hω) y h (t)+y h (t−h) = 0 . (4.5.16)
4.5
p. 565

1
0.8
Numerische
Mathemtik
sinc(x)
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
Die sinc-Funktion:
sinc(x) := sinx
x
➤ Analytisch auf R
➤ |sinc(x)| ≤ 1 mit globalem Maximum inx = 0
−0.8
−1
0 5 10 15 20
x
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Analyse von (4.5.16):
Ansatzy h (kh) = ξ k ↔ Charakteristische (quadratische) Gleichung
∃ Lösungeny h (kh) von (4.5.16):
lim y h(hk) = ±∞ ⇔
k→∞
∣
∣2cos(hω)+h 2 αsinc 2 ( 1 2 hω) ∣ ∣∣ > 2
Abhilfe [23]:
(coshω ≈ 1 ⇔ hω ≈ 2πl, l ∈ Z) ⇒ y h (hk) → ±∞ auch fürh ≪ 1 .
„Filterung”: Dämpfung vonα, fallshω ≈ 2πl:
4.5
p. 566

In (4.5.10), (4.5.11) ersetze: g(y h (t)) ↦→ g(ψ(hω)y h (t)), ψ(ξ) := sinc 2 ξ(1+ 1 2 (1−cosξ))
Numerische
Mathemtik
➤
Modifiziertes Gautschi-Verfahren:
y h (t+h)−2cos(hω)y h (t)+y h (t−h) = h 2 (
sin(
1
2
hω)
1
2 hω ) 2
g(ψ(hω)y h (t)) . (4.5.17)
10 1 Filterndes Gautschi−Verfahren: Konvergenz, ω = 25
Beispiel
4.5.18 (Modifiziertes Gautschi-Verfahren).
AWP aus Bsp. 4.5.10, Integration gemäss (4.5.17),
Filterfunktionψ(ξ) := sinc 2 ξ(1+ 1 2 (1−cosξ))
Fehler fuer t=1
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Konvergenzordnung 2
✄
10 −4
10 −5
10 −6
|y (1)−y(1)| h
|v h
(1)−v(1)|
Energiefehler
O(h 2 )
10 −3 10 −2 10 −1
h
4.5
p. 567

0.14
0.12
Filterndes Gautschi−Verfahren: Konvergenz, h = 0.0500
|y h
(1)−y(1)|
|v h
(1)−v(1)|/ω
10 −1 Filterndes Gautschi−Verfahren: Energiedrift, h = 0.0500
Energiefehler fuer t=1
Numerische
Mathemtik
0.1
10 −2
Fehler fuer t=1
0.08
0.06
0.04
Fehler fuer t=1
10 −3
0.02
0
0 50 100 150 200
ω
10 −4
0 50 100 150 200
ω
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
4.5
p. 568

hω-Abhängigkeit der Energiedrift
Beobachtung:
(4.5.17): Keine Instabilität
✄
Numerische
Mathemtik
Im Vergleich zu (4.5.10) (→
Bsp. 4.5.14) deutlich reduzierte
Energiedrift (Skala!)
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
4.5
p. 569

Numerische
Mathemtik
Verzeichnisse
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
4.5
p. 570

Numerische
Mathemtik
Index
R-reversible Abbildung, 462
R-reversible Evolution, 462
a posteriori
Fehlerschätzung, 292
A-Stabilität, 358
absolute Toleranz, 295
adjungierte Matrix, 443
Affin-Kovarianz
Runge-Kutta, 230
Aitken-Neville-Schema, 254
akzeptable Lösung, 551
akzeptables Resultat, 508
algebraische Konvergenz, 78, 79, 122
algebraische Nebenbedingung
bei DAE, 405
algebraische Stabilität, 362
alternierende Bilinearform, 473
analytisch, 195
analytische Funktion, 192, 524
Analytizitätsvoraussetzung, 524
Anfangswertproblem
Lösung, 21
linear, 52
steifes, 375
Asymptotische (absolute) Kondition, 58
asymptotische Entwicklung, 256, 260, 517
Asymptotische Stabilität
eines Fixpunkts, 340
attraktiver Fixpunkt, 24, 322
autonome Differentialgleichung, 18
Autonomisierung, 18
Autonomisierungsinvarianz, 232
AWP
Kondition, 60
B-Stabilität, 362
Bahnebene, 41
Banachscher Fixpunktsatz, 150
Basisverfahren
für Extrapolation, 266
Bewegungsgleichungen
Hamiltonsche Form, 38
Molekulardnamik, 498
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
4.5
p. 571

Newtonsche, 37
bimolekulare Reaktion, 29
Blow-up, 44, 51, 310
Bootstrapping, 222
Butcher-Bäum, 244
Butcher-Matrix, 368
Butcher-Schema, 224
Cauchy-Hadamard
Formel von, 205
DAE, 404, 405
separiert, 406
vom Index 1, 408
Deskriptorform
mechanischer Bewegungsgleichungen, 419
von Bewegungsgleichungen, 420
Determinante
Ableitung, 443
diagonal-implizite ESV, 391
DIFEX, 278
Differentialgleichung
Hamiltonsche, 39
linear, 53
logistische, 186, 209, 250
Variation der Konstanten, 54
Differentialgleichungen
Skalare, 50
differentiell-algebraische Gleichung (DAE), 404
differentiell-algebraisches Anfangswertproblem (DAE), 405,
406
differentielle Konditionsanalyse, 58
Differenzenverfahren, 75, 87, 100
DIRK-Einschrittverfahren, 391
diskrete Evolution
Konsistenz, 125
Konsistenzfehler, 125
Konsistenzordnung, 127
reversibel, 140
diskretes dynamisches System, 347
Diskretisierungsfehler, 121
Diskretisierungsparameter, 252
dissipatives Vektorfeld, 356
Divergenz
eines Vektorfeldes, 447
Doppelpendel, 70
Drehimpuls, 41
Dreitermrekursion, 565
dynamisches System
diskret, 347
Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren, 310
eingebettete Runge-Kutta-Verfahren, 311
Einschrittfehler, 139
Einschrittverfahre
implizit, 121
Einschrittverfahren, 105, 119
diagonal-implizit, 391
explizit, 121
Konvergenz, 130
Notation, 120
reversibel, 274
Schrittweitensteuerung, 287
symplektisch, 483
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
4.5
p. 572

elementare Differentiale, 243
Energie
für oszillatorische Differentialgleichung, 557
Energiedrift, 104, 113, 468, 555, 569
Energieerhaltung, 39, 467
Pendel, 38
Energiemannigflatigkeit, 505
Erstes Integral
Bedingung, 29
erstes Integral, 29, 434
linear, 435
polynomial, 435
quadratisch, 102, 435
erweiterter Zustandsraum
einer ODE, 12
erzeugende Funktion, 199
ESV
Radau, Ordnung 3, 371
Radau, Ordnung 5, 371
Euler
Implizit, 371
Euler-Verfahren, 267
explizites, Stabilitätsfunktion, 330
implizit, 85
semi-implizit, 387
Euler-Verfahrens
Konvergenz, 75
Eulersches Polygonzugverfahren, 73
Eulerverfahren
explizit, 73, 161
implizit, 161
implizites, Stabilitätsfunktion, 330
Evolution
R-reversibel, 462
diskrete, 146
Evolutionsoperator, 49
explizite Mittelpunktsregel, 245
explizite Trapezregel, 245
explizites Einschrittverfahren, 121
explizites Eulerverfahren, 73, 161
exponentiell klein, 522
exponentielle Konvergenz, 79, 187
exponentielle Runge-Kutta-Verfahren, 401
Extrapolation, 252
Extrapolations-Einschrittverfahren, 266
Extrapolationstableau, 254
Extrapolationsverfahren
global, 264
lokal, 265
Faltung, 55
Federpendel, 494
Fehlerfortpflanzung, 139
Fehlerfunktion, 138
Fixpunkt
asymptotisch stabil, 340
asymptotische Stabilität, 345
attraktiv, 24, 84, 322, 340
einer ODE, 339
repulsiv, 24
Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren, 162, 185, 245, 356,
374, 486
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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22. Januar
2008
4.5
p. 573

Gauss-Radau-Quadratur, 369
Gaussquadratur, 161
Gautschi-Verfahren, 558
Filterung, 567
modizifiertes, 567
Gautschis Zweischrittverfahren, 558
gewöhnliche Differentialgleichung, 12
autonome, 18
erster Ordnung, 12
Gewichte
einer Quadraturformel, 160
Gitterfunktion, 121
Glattheit
hinreichende, 130
globale Lösung
eines AWP, 48
globale Lipschitzbedingung, 61
Gradientenfluss, 353
Grenzzyklus, 381
Gronwalls Lemma, 62
Hamilton-Funktion, 39, 466
Molekulardnamik, 497
separiert, 484
Hamiltonsche Bewegungsgleichugen
mit Nebenbedingunge, 422
Hamiltonsche Differentialgleichung, 39, 466
Herzschlagmodell, 32
hinreichende Glattheit, 130
holomorph, 192, 195
holomorphe Funktion, 524
homogene lineare Differentialgleichung, 54
implizite Mittelpunktsregel, 99, 128, 161, 484
implizites Einschrittverfahren, 121
implizites Euler-Verfahren, 85
implizites, Euler-Verfahren, 245
Impuls, 41
Index
einer DAE, 408, 421
inkompressible Strömung, 446
Inkremente
Kollokation, 147
Runge-Kutta, 224
Inkrementfunktion, 125
Inkrementgleichungen, 147
linearisiert, 388
Instabilität
Gautschi-Verfahren, 563
Integrabilitätslemma, 481
intervallweise Kondition, 60
Invariante, 29
invariante Mannigfaltigkeit, 382
Jordan-Block, 342
Jordan-Normalform, 342
Joukowski-Transformation, 201
Keplerproblem, 40
Keplersches Gesetz
erstes, 42
zweites, 42
kinetische Energie, 38
klassisches Runge-Kutta-Verfahren, 245
Knoten
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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2008
4.5
p. 574

einer Quadraturformel, 160
Knotenanalyse
von Schaltkreisen, 380, 402
Kollaps, 44, 51, 309
Kollokation
Inkremente, 147
Kollokations
RK-ESV, 369
Kollokationsbedingung, 144
Kollokationspunkt, 144
Kollokationsverfahren, 144
Inkrementfunktion, 147
Konsistenz, 180
Kompaktheitsargument, 135
Kondition, 57
analyse
differentielle, 63
asymptotisch, 58
intervallweise, 60
punktweise, 60
Kongruenztransformation, 473
Konsistenz, 125
Runge-Kutta-Verfahren, 239
Konsistenzfehler, 125, 131, 138
Konsistenzordnung, 127
Splittingverfahren, 280
Kontraktion, 150
Konvergenz, 122
algebraisch, 78
exponentiell, 187
Kollokationsverfahren, 185
von Einschrittverfahren, 130
Konvergenzordnung, 122
Konvergenzradius, 205
kovariante Transformation, 53
Kovergenz
global, 122
Kraftfeld
konservativ, 40
Kreuzprodukt (Vektorprodukt), 436
Kuttas 3/8-Regel, 245
L-Stabilität, 367
Lösung
eines Anfangswertproblems, 21
Lagrange-Multiplikator, 420, 422
Lagrange-Polynom, 145
Laurent-Entwicklung, 193
Legendre-Polynom, 197
Legendre-Polynome, 162
Rekursionsformel, 197
Lenard-Jones-Potential, 497
Lie-Trotter-Splitting, 279
linear-implizites Runge-Kutta-Verfahren, 393
lineare Differentialgleichung, 52, 53
linearer Operator
stetig, 164
linearisierte Störungstheorie, 58
Linearisierung
um Fixpunkt, 322
Liouville
Satz von, 447
Lipschitz-Stetigkeit
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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2008
4.5
p. 575

lokale, 46
Logistische Differentialgleichung, 186, 209, 250, 279
logistische Differentialgleichung, 23, 268
Lotka-Volterra Differentialgleichung, 26
Makroschritt
bei Extrapolationsverfahren, 265
MAPLE, 128
mathematisches Pendel, 37
symplektische Integration, 467
Matrix
Propagations-, 64
Wronski, 64
Matrixexponentialfunktion, 54, 397
Matrixfunktionen, 337
maximale Fortsetzbarkeit, 44
maximales Existenzintervall, 45
Mikroschritt
bei Extrapolationsverfahren, 266
Minimalkoordinaten, 420
Mittelpunktsregel, 223
explizit, 223, 227
implizit, 99, 161
implizit, Stabilitätsfunktion, 330
Modellprobelanalyse
implizites Euler-Verfahren, 88
Modellproblem
für gestörte oszillatorische Differentialgleichungen, 565
Modellproblemanalyse, 322
explizites Eulerverfahren, 84
modifizierte Differentialgleichung, 508
für lineare AWP, 509
modifizierte Gleichung
abgeschnittene, 519
der Ordnung q, 510
Molekulardnamik, 497
Molekulardynamik, 501
mplizite Trapezregel, 245
multivariates Polynom, 435
Newton-Verfahren
vereinfacht, 392
Newtonsche Bewegungsgleichungen, 37
nichtdegenerierte Bilinearform, 473
Nichtexpansivität, 353
nichtlineare Stabilität, 140
Normalform
bei schiefsymmetrischen Matrizen, 473
numerische Quadratur, 160
numerischer Integrator, 116
ODE, 12
skalar, 15
Operatornorm, 164
ordinary differential equation (ODE), 12
Ordnung
einer Quadraturformel, 181
Ordnungsschranken
für Runge-Kutta-Verfahen, 245
Ordnungssteuerung
bei Extrapolationsverfahren, 271
Oregonator, 31
oszillatorische Differentialgleichungen, 556
parasitäre Kapazität, 409
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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2008
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p. 576

partikuläre Lösung, 54
partitionierte Runge-Kutta-Einschrittverfahren, 489
Peano
Satz von, 47
Pendel, 37, 419
Pendelgleichung, 469
Phasenraum
einer ODE, 12
Picard-Lindelöf
Satz von, 47
Pol
einer Funktion, 193
Polygonzugverfahen, 72
Polynom
multivariat, 435
polynomiale Invariante, 435
Polynominterpolation
Fehlerabschätzung, 174
potentielle Energie, 38
Problem
in der Numerik, 57
Projektions-Einschrittverfahren, 165
Projektionsoperator, 164
Propagationsmatrix, 64
Punkt
stationär, 28
punktweise Kondition, 60
Push-Forward, 472
Quadraturformel, 160
Mittelpunktsregel, 223
Ordnung, 181
Trapezregel, 223
Räuber-Beute-Modell, 26
Rückwärtsanalyse, 551
von Integrationsverfahren, 507
Radau-ESV, Ordnung 3, 371
Radau-ESV, Ordnung 5, 371
Radau-Verfahren, 417
Rationale Approximation
der Exponentialfunktion, 329
Reaktionskinetik, 29
rechte Seite
einer ODE, 12
Regel
Kuttas 3/8, 230
Mittelpunkt, explizit, 223
Trapez, explizit, 223, 228
relative Toleranz, 295
repulsiver Fixpunkt, 24
Residuensatz, 192
Residuum
einer komplexwertigen Funktion, 193
Reversibilität, 140, 274, 460
reversible Einschrittverfahren
Konsistenzordnung, 142
Riccati-Differentialgleichung, 14, 74
Richtungsfeld, 14
RK4, 229
Stabilitätsfunktion, 331
Rodrigues-Formel, 197
Romberg-Quadratur, 252
ROW-Methoden, 393
Numerische
Mathemtik
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Runge-Kutta
3/8-Regel, 230
Affin-Kovarianz, 230
Autonomisierung, 232
eingebettet, 311
Einschritt-Verfahren, 224
Inkremente, 224
klassisch, 229
Runge-Kutta-Einschrittverfahren
R-reversibel, 464
steif-genaue, 367
symmetrisch, 457
Runge-Kutta-Verfahen
Autonomisierungsinvarianz, 232
Ordnungsschranken, 245
Runge-Kutta-Verfahren, 222, 224
eingebettet, 310
exponentiell, 401
Konsistenz, 239
Konstruktion, 223
Konvergenzordnung, 245
linear-implizit, 393
Stabilitätsfunktion, 327
Satz
Peano & Picard-Lindelöf, 47
Satz über implizite Funktionen, 149
Satz von Liouville, 447
Schaltkreis
Knotenanalyse, 380, 402
Schrittweitenbeschränkung, 153, 349
für explizite RK-ESV, 334
Schrittweitenkorrektur, 300
Schrittweitensteuerung, 377
für ESV, 287
Schrittweitenvorschlag, 300
Schur-Zerlegung, 336
semi-implizites Euler-Verfahren, 387
Sensitivitä, 57
Separation der Variablen, 24
sinc-Funktion, 566
Singuläre Störungstechnik, 409
Skalare Differentialgleichungen , 50
Skalare ODE, 15
Spektralradius
einer Matrix, 347
Spektrum
einer Matrix, 342
Splitting
Lie-Trotter, 279
Strang, 279
Splittingverfahren, 278, 487
inexakt, 285
inexakte, 285
ssymmetrische Runge-Kutta-Einschrittverfahren, 457
Störmer-Verlet-Verfahren, 104, 484
Molekulardnamik, 498
Stabilit
nichtlineare, 140
Stabilität, 139
-sfunktion, 371
-sgebiet, 350
B-, 362
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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2008
4.5
p. 578

L-, 367
Stabilitätsfunktion, 330
Interpretation, 327
von Runge-Kutta-Verfahren, 327
Stabilitätsgebiet, 326
Startschritt, 106, 559
steif-genau, 367, 413
Steifheit, 375
sternförmig, 481
stetiger linearer Operator, 164
Strang-Splitting, 279
Stromlinien, 449
strukturerhaltende Integratoren, 508
Stufen
eines RK-ESV, 225
symplektische Abbildung, 478
symplektische Evolution, 472
symplektischer Fluss, 474
symplektischer Integrator, 485
symplektisches Einschrittverfahren, 483
symplektisches Euler-Verfahren, 484, 487
symplektisches Produkt, 472
Taylorentwicklung, 240
Toleranz
absolute, 295
bei Schrittweitensteuerung, 292
realtiv, 295
Relativ, 295
Trajektorie, 26
Transformation
kovariant, 53
Trapezregel, 223
explizit, 223, 228
explizit, Stabilitätsfunktion, 330
Varationsgleichung, 65
Variation der Konstanten, 54, 396, 556
Variationsgleichung, 450
Vektorfeld, 18
Vektorprodukt, 42
Verfahren
ESV, Runge-Kutta, 224
Euler, implizit, 161
Runge-Kutta, 222, 224
Runge-Kutta, klassisch, 229
Runge-Kutta, Konstruktion, 223
versteckte Nebenbedingungen, 421
bei DAEs, 423
volumenerhaltende Abbildung, 447
Volumenerhaltung, 447
bei Hamiltonschen ODEs, 469
wohlgestellt, 61
Problem, 57
Wronski-Matrix, 64
Zeeman-Modell, 32
Zeitgitter, 119
Zeitschrittweite, 119
Zeitskalierungsinvarianz, 325
Zeitumkehrsymmetrie (bei mechanischen Systemen), 461
Zustandsraum
einer ODE, 12
Molekulardnamik, 497
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
4.5
p. 579

Zwangskraft, 420
Zweischrittverfahren, 105
Gautschis, 558
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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22. Januar
2008
4.5
p. 580

Numerische
Mathemtik
Beispiele und Bemerkungen
[Lösung der Schaltkreis-DAEs mit MATLAB, 418
[Steife Probleme in der chemischen Reaktionskinetik, 377
‘Gronwall-Schranke” für Kondition, 63
“Butcher barriers” für explizite RK-ESV, 246
“Versagen” adaptive Zeitschrittsteuerung, 306
A-Stabilität ⇏ Diskrete Nichtexpansivität, 361
Adaptive explizite RK-ESV für steifes Problem, 376
Adaptive RK-ESV zur Teilchenbahnberechnung, 314
Adaptives semi-implizites RK-ESV für steifes Problem, 384
Affin-Kovarianz der Runge-Kutta-Verfahren, 230
Allgemeine Variation-der-Konstanten-Formel, 55
Analytizitätsgebiet für logistischen Dgl., 209
Analytizitätsvoraussetzung für Hamiltonsche Differentialgleichungen,
525
Anfangswerte für Dgl. höherer Ordnung, 22
Attraktive und repulsive Fixpunkte einer skalaren ODE,
341
Attraktiver Grenzzyklus, 381
Autonome skalare Differentialgleichungen, 50
Autonomisierung, 18
Autonomisierungsinvarianz von Runge-Kutta-Verfahren, 232
AWP-Löser in MATLAB, 25
B-Stabilität, 362
Bedeutung der modifizierten Gleichungen niedriger Ordnung,
517
Bedeutung linearer AWPe, 56
Bedingungsgleichungen für Linear-implizite Runge-Kutta-
Verfahren 2. Ordnung, 393
Berechnung der Modifikatoren ∆f j durch Computeralgebra,
515
Bimolekulare Reaktion, 29
Butcher-Bäume, 244
DAE: Transformation auf separierte Form, 407
Definitionsintervalle von Lösungen von AWPe, 48
Dense output, 234
DIFEX, 278
Doppelpendel, 70
Effizienzgewinn durch Adaptivität, 298
Einfache A-stabile RK-ESV, 350
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2008
4.5
p. 581

Einfache reversible Einschrittverfahren, 141
Einfache symplektische Integratoren, 484
Eingebettete RK-ESV, 310
Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren, 311
Einschrittformulierung des Störmer-Verlet-Verfahrens, 113
Energieerhaltung bei numerischer Integration, 467
Energieerhaltung bei semi-impliziter Mittelpunktsregel, 394
Euler-Extrapolationsverfahren mit Ordnungssteuerung, 272
Euler-Verfahren für Pendelgleichung, 89
Eulerverfahren für längenerhaltende Evolution, 98
Explizite Runge-Kutta-Schritte für Ricatti-Differentialgleichung,
226
Explizites Euler-Verfahren für logistische Dgl, 82
Explizites Eulerverfahren als Differenzenverfahren, 75
Exponentielles Euler-Verfahren, 398
Exponentielles Euler-Verfahren für steifes AWP, 399
Extrapolationsverfahren als Runge-Kutta-Verfahren, 270
Extrapolierte implizite Mittelpunktsregel, 274
Extrapoliertes Euler-Verfahren, 267
Federpendel, 494
Fehler bei Polynominterpolation in Gauss-Knoten, 208
Fixpunktform von Projektions-Einschrittverfahren, 166
Funktionenkalkül für Matrizen, 337
Gauss-Kollokations-ESV bei stark attraktiven Fixpunkten,
363
Gauss-Kollokationsverfahren, 360
Gautschis Zweischrittverfahren, 559
Glattheitsannahmen an rechte Seite, 118
Globaleh 2 -Extrapolation für implizite Mittelpunktsregel, 276
Gradientenfluss, 353
Hamiltonsche Bewegungsgleichugen mit Nebenbedingungen,
422
Implementierung steif-genauer RK-ESV für DAE, 430
Implizite Mittelpunktregel für Kreisbewegung, 101
Implizite Mittelpunktsregel als Differenzenverfahren, 100
Implizite Mittelpunktsregel für logistische Dgl., 101
Implizite Mittelpunktsregel für Pendelgleichung, 103
Implizite RK-ESV bei schnellen Transienten, 365
Implizite RK-ESV mit linearisierten Inkrementgleichungen,
389
Implizites Euler-Verfahren für Pendelgleichung in Deskriptorform,
426
Implizites Eulerverfahren als Differenzenverfahren, 87
Implizites Eulerverfahren für logistische Differentialgleichung,
87
Ineffizienz expliziter Runge-Kutta-Verfahren, 320
Inexakte Splittingverfahren, 285
Interpolationsfehler bei Polynominterpolation in Gauss-Knoten,
188
Interpretation der Stabilitätsfunktion, 327
Invertierbarkeit der Koeffizientenmatrix von RK-ESV, 368
Knotenanalyse eines Schaltkreises, 402
Kollokationsverfahren als Projektionsverfahren, 163
Kollokationsverfahren und numerische Quadratur, 160
Kondition skalarer linearer Anfangswertprobleme, 60
Konsistenzordnung einfacher Einschrittverfahren, 128
Konstante 2-Formen, 473
Konstruktion einfacher Runge-Kutta-Verfahren, 223
Konvergenz des expliziten Euler-Verfahrens, 75
Konvergenz einfacher Splittingverfahren, 279
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
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22. Januar
2008
4.5
p. 582

Konvergenz expliziter Runge-Kutta-Verfahen, 237
Konvergenz kombinierter Verfahren, 250
Konvergenz von einfachen Kollokations-Einschrittverfahren,
157
Konvergenz von Gauss-Kollokations-Einschrittverfahren, 177
Konvergenz von Kollokationsverfahren, 185
Lösbarkeit der Inkrementgleichungen für Gauss-Kollokations-
ESV, 359
Lösung der Inkrementgleichungen, 234
Lösungsfunktion aus Extrapolationsverfahren, 162
Langzeit-Energieerhaltung bei symplektischer Integration,
493
Linearisierung der Inkrementgleichungen, 386
Lorenz system, 66
Magnetnadel
Präzession , 436
Massenpunkt im Zentralfeld, 40
Mathematisches Pendel, 37
MATLAB-Integratoren für Index-1-DAEs, 417
MATLAB-Integratoren für Pendelgleichung in Deskriptorform,
424
Modifikatoren für einfache ESV, 515
Modifizierte Gleichung der Ordnung 2 zu explizitem Euler-
Verfahren, 511
Modifizierte Gleichung für RK-ESV und lineare AWPe, 509
Modifizierte Gleichung für symplektisches Euler-Verfahren,
545
Modifiziertes Gautschi-Verfahren, 567
Molekulardnamik, 497
Notation fuer Einschrittverfahren, 120
Numerische Integration bei Blow-up, 287
Numerische Integratoren als approximative Evolutionsoperatoren,
50
Numerische Quadratur, 160
Oregonator-Reaktion, 31
Partitionierte Runge-Kutta-Einschrittverfahren, 489
Pendelgleichung in Deskriptorform, 419
Philosophische Grundlage der Rückwärtsanalyse, 507
Präzession
Magnetnadel, 436
Projektion auf Energiemannigfaltigkeit, 504
Qualität der Fehlerschätzung, 293
Räuber-Beute-Modelle, 26
Radau-ESV bei stark attraktiven Fixpunkten, 372
Reskalierung des Modellproblems, 324
Resourcenbegrenztes Wachstum, 23
Reversibilität bei mechanischen Systemen, 460, 463
Richtungsfeld und Lösungskurven, 14
RK-Bedingungsgleichungen für Konsistenzordnung p =
3, 239
RK-ESV für autonome homogene lineare ODE, 334
RK-ESV und Elimination der DAE-Nebenbedingungen, 414
Romberg-Quadratur, 253
Schaltkreis
steife -gleichunge Zeitbereich, 379
Schrittweitenbedingungen für ‘Langzeitintegration”, 544
Schrittweitenbeschränkung aus Lemma 2.2.7, 153
Schrittweitensteuerung für Bewegungsgleichungen, 317
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
4.5
p. 583

Schrittweitensteuerung für explizite Trapezregel/Euler-Verfahren, Verfahren
303
Schrittweitensteuerung und Blow-up, 310
Schrittweitensteuerung und Instabilität, 308
Schrittweitensteuerung und Kollaps, 309
Singulär gestörte Schaltkreisgleichungen, 409
Skalierungsinvarianz der Extrapolation, 254
Splittingverfahren für mechanische Systeme, 283
Störmel-Verlet-Verfahren für Pendelgleichung, 107
Störmer-Verlet-Verfahren als Differenzenverfahren, 106
Störmer-Verlet-Verfahren als Polygonzugmethode, 114
Stabilitätsfunktionen einiger RK-ESV, 330
Stabilitätsgebiet des exponentiellen Euler-Verfahren, 398
Standardintegratoren für oszillatorische Differentialgleichung,
557
Steife Schaltkreisgleichungen im Zeitbereich, 379
Steuerung von ˜Ψ durch Ψ, 301
Strömungsvisualisierung, 449
Strang-Splitting erzeugt reversible ESV, 283
Stufenform der Inkrementgleichungen, 225
Symplektische Integratoren und variable Schrittweite, 554
Symplektisches Euler-Verfahr, 487
Symplektisches Euler-Verfahren für Pendelgleichung, 491
Symplektisches Flussintegral, 474
Symplektizität der Pendelgleichung, 469
ESV adaptiv, explizit, steifes Problem, 376
Verhalten von Stabilitätsfunktionen, 331
Vielteilchen-Molekulardynamik, 501
Volumenerhaltende Integratoren für d = 2, 451
Volumenerhaltendes Splittingverfahren 2. Ordnung, 455
Volumenerhaltung bei zweidimensionalen Hamiltonschen
ODEs, 469
Warum Einschrittverfahren hoher Ordnung?, 246
Zeemans Herzschlagmodell, 32
Zeitlich ungleichmässiges Verhalten von Lösungen, 289
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
Translationsinvarianz von Lösungen autonomer Dgl., 18
Umformulierung der Inkrementgleichungen, 147
Vektorräume von Vektorfeldern und Eigenschaften von Evolutionen,
479
4.5
p. 584

Numerische
Mathemtik
Definitionen
R-reversible Abbildung, 462
(Abgeschnittene) asymptotische Entwicklung, 256
A-Stabilität, 350
algebraische Stabilität, 362
Alternierende, nichtdegenerierte Bilinearform, 473
Arten der Konvergenz, 79
Asymptotische Stabilität eines Fixpunkts, 340
DAE vom Index 1, 408
Diskretisierungsfehler, 121
Dissipatives Vektorfeld, 356
Einschrittverfahren, 119
Erstes Integral, 29
Evolutionsoperator, 49
explizite und implizite Einschrittverfahren, 121
Exponentielle Runge-Kutta-Verfahren, 401
Fixpunkt, 339
Hamiltonsche Differentialgleichung, 39
Konsistenz einer diskreten Evolution, 125
Konsistenzfehler einer diskreten Evolution, 125
Konsistenzordnung einer diskreten Evolution, 127
Konvergenz und Konvergenzordnung, 122
L-Stabilität, 367
Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung, 14
Lösung eines Anfangswertproblems, 21
Lokale Lipschitz-Stetigkei, 46
Maximale Fortsetzbarkeit einer Lösung, 44
Modifizierte Gleichung der Ordnung q, 510
Nichtexpansivität, 353
Nichtlineare Stabilität, 140
Polynomiale Invarianten, 435
Projektionsoperator, 164
Residuum einer komplexwertigen Funktion, 193
Reversible diskrete Evolutionen, 141
Runge-Kutta-Verfahren, 224
Stabilitätsgebiet eines Einschrittverfahrens, 326
Sternförmiges Gebiet, 480
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
4.5
p. 585

Stetiger linearer Operator, 164
Symplektische Abbildung, 478
symplektisches Einschrittverfahren, 483
Symplektisches Produkt, 472
Numerische
Mathemtik
Volumenerhaltung, 446
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
4.5
p. 586

Numerische
Mathemtik
MATLAB-Codes
odeset, 314
ode45, 376
odeset, 376
ode15s, 384
ode23s, 384
ode23, 313
ode45, 280, 313
odeset, 280, 313, 384
Adaptives RK-ESV für steifes Problem, 376
Aitken-Neville-Extrapolation, 255
ode15s, 418
ode23s, 437
ode23t, 418
ode45, 437
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
4.5
p. 587

Numerische
Mathemtik
Notationen
C l (J,D) ˆ= l-mal stetig differenzierbare Funktionen J ↦→
D, 14
D y f ˆ= Ableitung von f nach y (Jacobi-Matrix), 46
J(t 0 ,y 0 ) :=]t − ,t + [ ˆ= maximales Existenzintervall, 45
O(g(h)) ˆ= “Landau-O”, 78
P n ˆ= Legendre-Polynom vom Gradn ∈ N 0 , 197
[x] ˆ= ganzzahliger Anteil vonx > 0, 538
divf ˆ= Divergenz eines Vektorfeldes, 447
‖y‖ M
:= (y T My) 1 /2
induzierte Vektornorm, 353
P s ˆ= Raum der univariaten Polynome vom Grad≤ s, 145
Ψ s,t y ˆ= Diskrete Evolution, 119
J ˆ= Matrix zum symplektischen Produkt, 472
a×b ˆ= Vektorprodukt, 436
y,z,... Fettdruck für Spaltenvektoren, 13
C − := {z ∈ C: Rez < 0}, 342
1 = (1,...,1) T , 327
(n) ˆ=n. Ableitung nach der Zeitt, 19
∇ 2 f ˆ= Hesse-Matrix, 478
adj(X) adjungierte Matrix, 443
⊗ ˆ= Kronecker-Produkt von Matrizen, 389
ρ(A): Spektralradius einer Matrix, 347
f ˆ= rechte Seite einer ODE, 12
σ(A): Spektrum einer Matrix, 342
˙ ˆ= Ableitung nach der Zeitt, 13
y α für Multiindex α, 435
Im(M) := {Mx:x ∈ R d }, Bild der MatrixM, 405
TOL Toleranz, 292
Euklidische Vektornorm ‖·‖, 40
Hamilton-Funktion H, 39
Konsistenzfehler τ(t,y,h), 125
Landau-o, 126
Landau-Symbol O(h p ), 122
Push-Forward Φ ∗ , 472
symplektisches Produkt ω(v,w), 472
Vektorprodukt ×, 42
R. Hiptmair
rev 35327,
22. Januar
2008
4.5
p. 588

Numerische
Mathemtik
Appendix
MATLAB-Files zu Beispielen
R. Hiptmair
rev 35327,
28. Mai
2009
• Beispiel 1.2.5
• Beispiel 1.2.12
• Beispiel 1.2.15
• Beispiel 1.3.36
• Beispiel 1.4.4
• Beispiel 1.4.9
↔ File/Directoryex:LV
↔ File/Directoryex:Oregonator
↔ File/Directoryex:heartbeat
↔ File/Directoryex:Lorenz
↔ File/Directoryex:expleulcvg
↔ File/Directoryex:eeullog
4.5
p. 589

• Beispiel 1.4.15
• Beispiel 1.4.17
• Beispiel 1.4.18
• Beispiel 1.4.21
↔ File/Directoryex:ieullog
↔ File/Directoryex:pendeul
↔ File/Directoryex:eulspin
↔ File/Directoryex:logimid
Numerische
Mathemtik
• Beispiel 1.4.22
↔ File/Directoryex:imidspin
>> eulspin([1;0],10,40,’midspin40’)
>> eulspin([1;0],10,160,’mispin160’)
• Beispiel 1.4.24
↔ File/Directoryex:pendimid
>> pendmidp([pi/4;0],5,50,’pendimid50’);
>> pendmidp([pi/4;0],5,100,’pendimid100’);
>> pendmidp([pi/4;0],5,200,’pendimid200’);
• Beispiel 1.4.32
↔ File/Directoryex:svpend
R. Hiptmair
rev 35327,
28. Mai
2009
• Beispiel 2.2.57
• Beispiel 2.2.49
• Beispiel 2.4.2
• Beispiel 2.3.22
• Beispiel 2.4.17
• Beispiel 2.4.19
↔ File/Directoryex:cvgkoll
↔ File/Directoryex:GaussCollcvg
↔ File/Directoryex:kombesv
↔ File/Directoryex:rkexplcvg
↔ File/Directoryex:eulexpol
↔ File/Directoryex:eulex
4.5
p. 590

• Beispiel 2.5.4
• Beispiel 2.5.14
• Beispiel 2.6.4
• Beispiel 2.6.15
• Beispiel 2.6.16
• Beispiel 3.0.1
• Beispiel 3.3.14
• Beispiel 3.4.1
• Beispiel 3.5.2
• Beispiel 3.5.5
• Beispiel 3.5.7
↔ File/Directoryex:splitcvg
↔ File/Directoryex:splitinex
↔ File/Directoryex:qualest
↔ File/Directoryex:adesv
↔ File/Directoryex:adaptsat
↔ File/Directoryex:logeximpl
↔ File/Directoryex:GaussCollLog
↔ File/Directoryex:iesvstiff
↔ File/Directoryex:ode45stiff
↔ File/Directoryex:odecircuit
↔ File/Directoryex:odes
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
28. Mai
2009
• Beispiel 3.6.1 ↔ File/Directoryex:silog
logsieul(0.1,round(5*1.5.^(0:18)),’silog’);
• Beispiel 3.6.3 ↔ File/Directoryex:siradlog
siradlog(0.1,round(5*1.5.^(0:18)),’siradlog’)
• Beispiel 3.6.12
• Beispiel 3.7.5
↔ File/Directoryex:pendimipEnSmp
↔ File/Directoryex:eeul
4.5
p. 591

• Beispiel 3.7.6
• Beispiel 3.8.15
• Beispiel 3.8.28
• Beispiel 3.8.29
• Beispiel 4.1.3
• Beispiel 4.4.1
• Beispiel 4.4.33
• Beispiel 4.4.37
• Beispiel 4.4.35
• Beispiel 4.4.39
↔ File/Directoryex:eeulstiff
↔ File/Directoryex:daecircml
↔ File/Directoryex:daependmatlab
↔ File/Directoryex:daependieul
↔ File/Directoryex:magneedle
↔ File/Directoryex:enpres
↔ File/Directoryex:pendsympeul
↔ File/Directoryex:md
↔ File/Directoryex:springpend
↔ File/Directoryex:moldyn
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
28. Mai
2009
4.5
p. 592

Numerische
Mathemtik
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R. Hiptmair
rev 35327,
28. Mai
2009
4.5
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