Beispiel - SAM - ETH Zürich

Definiere Raum
F = {y ∈ C([t 0 ,t 1 [), y(t 0 ) = y 0 }
Numerische
Mathemtik
für eint 1 > t 0 und den Operator
T : F → F, T : y ↦→ z(t) = y 0 +
∫ t
t 0
f(s,y(s)) ds.
Damit kann (1.3.5) auf dem Intervall [t 0 ,t 1 ] als Fixpunktgleichung T(y) = y in F geschrieben werden.
Aus der lokalen Lipschitz-Stetigkeit folgt für genügend kleinest 1 > t 0 , dassT eine Kontraktion
ist. Mit dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Behauptung für das Zeitintervall (t 0 ,t 1 ). Das maximale
Existenzintervall erhält man über Fortsetzung.
Bemerkung 1.3.6 (Definitionsintervalle von Lösungen von AWPen).
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
„Die Lösung eines Anfangswertproblems sucht sich Ihren Definitionsbereich selbst”
!
DefinitionsbereichJ(t 0 ,y 0 ) hängt (meist) von(t 0 ,y 0 ) ab !
Terminologie: FallsJ(t 0 ,y 0 ) = I ➥ Lösungy : I ↦→ R d ist global.
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1.3
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