Beispiel - SAM - ETH Zürich

☞ Bekannt aus der linearen Algebra [10, Lemma 4.3.4]: A·adj(A) = det(A)·I
Numerische
Mathemtik
Beweis. Als Polynom in den Matrixelementen istA ↦→ detA eineC ∞ -Funktion:
detA := ∑
sgn(σ)
σ∈Π d
det(I+ǫH) = ∑
sgn(σ)
σ∈Π d
d∏
a i,σ(i) .
i=1
d∏
(δ i,σ(i) +ǫh i,σ(i) )
i=1
d∏
d∑
= (1+ǫh ii )+O(ǫ 2 ) = 1+ǫ h ii +O(ǫ 2 ) . ,
i=1
i=1
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
für H = (h ij ) d i,j=1 , denn jede Permutation ≠ Id erzeugt ein Produkt der Grösse O(ǫ2 ). Daher für
reguläresX ∈ R d,d :
det(X+ǫH)−det(X) = ǫtrace(det(X)X −1 H)+O(ǫ 2 ) .
} {{ }
adj(X)
Da die regulären Matrizen in R d,d dicht liegen,X ↦→ adjX stetig→
✷
4.1
p. 444