Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Theorem 4.3.4 (Reversible Gauss-Kollokations-ESV).
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Gauss-Kollokations-ESV sind reversibel (→ Def. 2.1.27).
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Numerische
Mathemtik
Da Gauss-Kollokationsverfahren zur Klasse der Runge-Kutta-Einschrittverfahren gehören, genügt es,
die Voraussetzungen von Thm. 4.3.1 zu verifizieren. Dazu verwende die expliziten Formeln (2.2.3) für
die Runge-Kutte-Koeffizientena ij undb i ,1 ≤ i,j ≤ s.
a ij =
∫ ci
0
L j (τ)dτ , b i =
∫ 1
0
L i (τ)dτ ,
wobei die c i die auf [0,1] normalisierten Kollokationspunkte (= Gausspunkte) sind, und die L j die
dazugehörigen Lagrange-Polynome, siehe (2.2.2).
Lage der Gaussknoten für die s-Punkt Gaussquadraturformel auf [0,1] is symmetrisch um 1 2 , siehe
Fig. 59:
c i = c s+1−s ⇒ L i (τ) = L s+1−i (1−τ) , 1 ≤ i ≤ s . (4.3.5)
a s+1−i,s+1−j +a ij =
∫ cs+1−i
0
=−
∫ 1−cs+1−i
1
L s+1−j (τ)dτ +
∫ c i
0
L j (τ)dτ
L s+1−j (1−τ)dτ +
∫ c i
L j (τ)dτ
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
4.3
p. 459