Beispiel - SAM - ETH Zürich

k 0 := (f(y 0 ),...,f(y 0 )) T erfüllt G(0,k 0 ) = 0
Numerische
Mathemtik
Ableitung (ˆ= Jacobi-Matrix) vonGin(0,k 0 ) (aus Kettenregel)
D k G(0,k 0 ) = I
ist die Einheitsmatrix und damit offensichtlich invertierbar.
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Ein alternativer, technisch aufwändigerer, Beweis erfordert blosse lokale Lipschitz-Stetigkeit von f
und gibt zusätzliche Schrittweitenschranke für die Existenz einer Lösung der Inkrementgleichungen:
Hilfsmittel bei alternativem Beweis (→ Analysis-Vorlesung):
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R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Theorem 2.2.9 (Banachscher Fixpunktsatz, parameterabhängige Version).
V ⊂ R d abgeschlossen,U ⊂ R n offen,F : U ×V ↦→ V sei totalm-mal stetig differenzierbar,
m ∈ N 0 , und besitze die gleichmässige Kontraktionseigenschaft
∃0 ≤ q < 1: ‖F(u,z)−F(u,w)‖ ≤ q‖z−w‖ ∀z,w ∈ V, ∀u ∈ U .
Dann gibt es einem-mal stetig differenzierbare FunktionG : U ↦→ V so dass
2.2
p. 150