Beispiel - SAM - ETH Zürich

Reλ < 0 ⇒ α < 0 ⇒ x T Ax = α‖x‖ 2 ≤ 0 ∀x ∈ R 2
⇒ rechte Seite f(y) = Ay ist dissipativ (→ Def. 3.3.5)
⇒ Evolution nichtexpansiv, siehe Lemma 3.3.6.
Numerische
Mathemtik
(“Vererbung”)
⇒
Diskrete EvolutionΨ h nichtexpansiv
∥
∥Ψ h y∥ = |S(hλ)||y| ≤ ‖y‖ 2 2 = |y| ⇒ |S(z)| ≤ 1 ∀z ∈ C − .
∗
⇒ |S(z)| < 1 ∀z ∈ C − .
⇒ C − ⊂ S Ψ (Stabilitätsgebiet→Def. 3.1.4) . ✷
∗: S(z) is a meromorphic function so that |S(z)| can attain its maximal value on C − only on the
boundary∂C = iR.
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Alle Gaus-Kollokations-ESV sind A-stabil
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R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Bemerkung 3.3.13 (Lösbarkeit der Inkrementgleichungen für Gauss-Kollokations-ESV).
Die Inkrementgleichungen eines Gauss-Kollokations-RK-ESV für eine nichtexpansive
autonome ODE sind für jedesh > 0 eindeutig lösbar →[18, Sect. IV.14].
3.3
p. 359