Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Theorem 1.3.28 (Lipschitz-stetige Abhängigkeit vom Anfangswert).
Es seien y,ỹ Lösungen des AWP (1.1.13) zu Anfangswerten y 0 ∈ D bzw. ỹ 0 ∈ D. Unter der
Annahme (1.3.27) mit stetigemL(t) gilt
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(∫ t
)
‖y(t)−ỹ(t)‖ ≤ ‖y 0 −ỹ 0 ‖·exp L(τ)dτ
t 0
∀t ∈ I .
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Numerische
Mathemtik
Hilfsmittel beim Beweis:
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Lemma 1.3.29 (Gronwalls Lemma). → [1, Sect. II.6], [8, Lemma 3.9]
SeiJ ⊂ R Intervall,t 0 ∈ J,u,a,β ∈ C 0 (J,R + ),amonoton wachsend. Dann gilt
∫ t
∫ t
u(t) ≤ a(|t−t 0 |)+ β(τ)u(τ)dτ ⇒ u(t) ≤ a(|t−t 0 |)exp
∣ β(τ)dτ
∣ .
t 0 t 0
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R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
➤ AWP (1.1.13) is wohlgestellt unter Annahme (1.3.27) !
➤ Schranke für absolute punktweise Kondition (für EndzeitpunktT )
( ∫ ) T
κ abs ≤ exp . (1.3.31)
t 0
L(τ)dτ
1.3
p. 62