Beispiel - SAM - ETH Zürich

∥
≤ |h|·‖A‖ ∞ max ∥f(g j )−f(p j ) ∥ j=1,...,s
≤ |h|L·‖A‖ ∞ ‖g−p‖ ,
Numerische
Mathemtik
wobei im letzten Schritt die globale Lipschitz-Bedingung fürf benutzt wurde.
|h| <
Wähle h 0 =
1
L‖A‖ ∞
⇒ g ↦→ F(h,g) isth-gleichmässige Kontraktion.
r
‖A‖ ∞ (‖f(y 0 )‖+Lr)
Damit erfüllt F mit U =]−h 0 ,h 0 [ und V = {g: ‖g−y 0 ‖ ≤ r} die Voraussetzungen des Banachschen
Fixpunktsatzes Thm. 2.2.9.
⇒
{
f ∈ C m (D) ⇒ ∃g :]−h 0 ,h 0 [↦→ R d·s }
: F(h,g(h)) = g(h)
Wegen der Äquivalenz (2.2.11) is damit der Beweis abgeschlossen.
.
✷
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Bemerkung 2.2.12 (Schrittweitenbeschränkung aus Lemma 2.2.7).
Aus dem Beweis von Lemma 2.2.7 mit Hilfe des Fixpunktarguments, Thm 2.2.9: Lösbarkeit der Inkre-
2.2
p. 153