Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Lemma 4.4.83 (Störungsabschätzung für optimal abgeschnittene modifizierten Gleichung).
Neben den Voraussetzungen von Thm. 4.4.66 (Analytizitätsannahme) gibt es für jedes Kompaktum
K ⊂ D eine von (hinreichend kleinem) h > 0 unabhängige Konstante C > 0 so, dass
Numerische
Mathemtik
∥
∥˜f h,l (y)−f(y) ∥ ≤ Ch p ∀y ∈ K , ∀l ∈ N .
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Beweis. Ergänzung zum Beweis von Thm. 4.4.66, siehe die dort gemachten Annahmen und verwendeten
Notationen. Ausführungen für das explizite Euler-Verfahren, d.h.p = 1.
Aus der Definition von ˜f h,l , → Lemma 4.4.61,
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
l∑
˜f h,l (y)−f(y) = h j ∆f j (y) .
j=1
Idee: Verwende Abschätzung der Modifiktorfunktionen∆f j aus dem Beweis von Thm. 4.4.66
Konkret: aus (4.4.73) mitα = 0
⎛
|˜f h,l (y)−f(y)| ≤ |h| ⎝ 2M l∑
(
R +bM |h|
j−1 jcM
R
) j
⎞
⎠ .
4.4
p. 542