Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Theorem 4.4.23 (Symplektische Runge-Kutta-Einschrittverfahren).
Alle Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5), die quadratische Invarianten erhalten, sind
symplektisch.
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Numerische
Mathemtik
Beweis. Φ t ˆ= Evolutionsoperator zu Hamiltonschen Dgl. ẏ = f(y) := J −1 gradH(y) ist eine
symplektische Abbildung für (alle zulässigen)t
Def. 4.4.12
⇒ I(Y) := Y T JY ist quadratisches erstes Integral der Variationsgleichung
Ẇ(t;y) = Df(Φ t y)W(t;y) .
Ψ h ˆ= diskrete Evolution des EK-ESV fürẏ = f(y)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
̂Ψ h ˆ= diskrete Evolution des EK-ESV für
{ ẏ = f(y) ,
Ẇ = Df(y)W :
Lemma 4.2.7
⇒
dΨ h
dy (y 0) = W 1 =
(
( ))
̂Ψ h y0
I
W
( y1
W 1
) = ̂Ψ h ( y0
I
)
.
.
4.4
p. 486