Beispiel - SAM - ETH Zürich

Wegenẏ(t) = f(y(t)) folgt für die Einschrittfehlerfunktione(t) = y(t)−y h (t)
ė(t) = f(y(t))−f(y h (t))−δ(t) , 0 ≤ t ≤ h .
Numerische
Mathemtik
Hilfsmittel: Taylorformel
ϕ(1)−ϕ(0) = ϕ ′ (0)+
∫ 1
0
(1−τ)ϕ ′′ (τ)dτ ,
fürϕ(ξ) := f(y(t)+ξ(y h (t)−y(t))) mit der Kettenregel:
ϕ ′ (ξ) = Df(y(t)+ξ(y h (t)−y(t)))·(y h (t)−y(t)) ,
ϕ ′′ (ξ) = D 2 f(y(t)+ξ(y h (t)−y(t)))(y h (t)−y(t),y h (t)−y(t)) .
Einsetzen in die Formel für die Einschrittfehlerfunktion:
∫ 1
ė(t) = ϕ(0)−ϕ(1)−δ(t) = Df(y(t))e(t)− (1−τ)D 2 f(y(t)+τe(t))(e(t),e(t)) −δ(t) .
0
} {{ }
=:ρ(t)
Dabei gilt die offensichtliche Abschätzung:
‖ρ(t)‖ ≤ max
y∈K
∥
∥D 2 f(y)
∥
∥·‖e(t)‖
2
Lemma 2.2.36
≤ Ch 2s+2 , (2.2.55)
wobeiK = {z ∈ D: ‖z−y(t)‖ ≤ R} mit vontunabhängigemR > 0 undC > 0 unabhängig von
h.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 182