Beispiel - SAM - ETH Zürich

➁ Annahme A1:(y k ) N k=0 existiert undy k ∈ K δ ⊂ Ω für einδ > 0. Diese Annahme wird a posteriori
(durch Induktion nachN) für hinreichend kleinesh G besätigt.
Numerische
Mathemtik
➂ Beachtey k+1 = Ψ t k,t k+1 y k ➣ Rekursion für Fehler e k := y(t k )−y k
(
e k+1 = y(t k+1 )−Ψ t )
k,t k+1 y(t k ) +
(Ψ t k,t k+1 y(t k )−Ψ t )
k,t k+1 y k
} {{ } } {{ }
Einschrittfehler
propagierter Fehler
(2.1.17)
= τ(t k ,y(t k ),h k )+e k +h k (ψ(t k ,y(t k ),h k )−ψ(t k ,y k ,h k )) ,
wobei die Def. 2.1.11 des Konsistenzfehlersτ benutzt worden ist.
➃ Kompaktheitsargumente:
(2.1.22)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Konsequenz der lokalen Konsistenzfehlerabschätzung (2.1.18): für|h| hinreichend klein
∥ ∥
∃C > 0:
∥Φ t,t+h y−Ψ t,t+h y∥ ≤ C c h p+1 ∀(t,y),(t+h,y) ∈ K δ . (2.1.23)
Konsequenz der lokalen Lipschitz-Stetigkeit (→ Def. 1.3.2) der Inkrementfunktion ψ: für |h|
hinreichend klein
∃L > 0: ‖ψ(t,z,h)−ψ(t,w,h)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀(t,z),(t,w) ∈ K δ . (2.1.24)
2.1
p. 135