Beispiel - SAM - ETH Zürich

Anwendung auf kleine Zeitintervalle [t 0 ,t 1 ],[t 1 ,t 2 ],...,[t N−1 ,t N ] ➤ implizite Mittelpunktsregel
Numerische
Mathemtik
durch implizite Mittelpunktsregel erzeugte Näherungy k+1 füry(t k ) erfüllt
y k+1 := y h (t k+1 ) = y k +h k f( 1 2 (t k +t k+1 ), 1 2 (y k +y k+1 )) , k = 0,...,N −1 , (1.4.19)
mit lokaler (Zeit)schrittweite h k := t k+1 −t k .
Beachte: (1.4.19) erfordert Auflösen einer (evtl. nichtlinearen) Gleichung nachy k+1 !
(➤ Terminologie „implizit”)
Bemerkung 1.4.20 (Implizite Mittelpunktsregel als Differenzenverfahren).
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
(1.4.19) aus Approximation der Zeitableitung d dt
G := {t 0 ,t 1 ,...,t N }:
durch zentralen Differenzenquotienten auf Zeitgitter
ẏ = f(t,y) ←→ y h(t k+1 )−y h (t k )
h k
= f( 1 2 (t k +t k+1 ), 1 2 (y h(t k )+y(t k+1 )), k = 0,...,N −1 .
△
1.4
p. 100