Beispiel - SAM - ETH Zürich

Aus Kollokationsbedingungen (2.2.1):
ẏ h (c j h) = f(y h (c j h)) , ˙ỹh (c j h) = f(ỹ h (c j h)) , j = 1,...,s .
Numerische
Mathemtik
(3.3.10)
d ′ (c j ) = 2hM(y h (c j h)−ỹ h (c j h))·(f(y h (c j h))−f(ỹ h (c j h))) ≤ 0 , (3.3.11)
daf dissipativ ⇔ Nichtexpansivität vonΦ t , vgl Lemma 3.3.6.
(3.3.8), (3.3.9), (3.3.11) ⇒ Behauptung, da Gewichteb j der Gauss-Quadraturformeln positiv !. ✷
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Lemma 3.3.12 (Diskrete Nichtexpansivität ⇒ A-Stabilität).
Nichtexpansivität (→ Def. 3.3.1) erbende RK-ESV (→ Def. 2.3.5) sind A-stabil (→ Def. 3.2.16).
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R. Hiptmair
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rev 35327,
24. Juni
2011
Beweis. Skalare komplexe Dlg. ↔ reelle Dlg. inD = R 2 : für beliebigesλ = α+iβ ∈ C
(˙u˙v) ( )( (
ẏ = λy y=u+iv α −β u u
⇔ = ↔ ẏ = f(y) mit y := .
β α v)
v)
} {{ }
=:A
3.3
p. 358