Beispiel - SAM - ETH Zürich

Gegebeny k−1 ≈ y(t k−1 ),y k ≈ y(t k ) approximierey(t) auf[t k−1 ,t k+1 ] durch
• Parabelp(t) durch(t k−1 ,y k−1 ),(t k ,y k )(∗),
Numerische
Mathemtik
• mit
(∗) ➜
¨p(t k ) = f(y k )(∗).
Parabel eindeutig bestimmt.
y k+1 := p(t k+1 ) ≈ y(t k+1 )
Störmer-Verlet-Verfahren für (1.4.25) (ZeitgitterG := {t 0 ,t 1 ,...,t N }):
y k+1 = − h k
h k−1
y k−1 +
Für uniforme Zeitschrittweiteh:
(
1+ h )
k
y
h k +
2 1(h2 k +h kh k−1 )f(t k ,y k ) , k = 1,...,N −1 .
k−1
(1.4.26)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
y k+1 = −y k−1 +2y k +h 2 f(t k ,y k ) , k = 1,...,N −1 . (1.4.27)
Beachte: (1.4.26) erfordert nicht das Lösen einer Gleichung (➤ explizites Verfahren)
Terminologie: y k+1 = y k+1 (y k ,y k−1 ) ➤ (1.4.26) ist ein Zweischrittverfahren
(Explizites/implizites Euler-Verfahren, Mittelpunktsregel = Einschrittverfahren)
1.4
p. 105