Beispiel - SAM - ETH Zürich

Beweis von Lemma 2.2.13 mit Fixpunktargument, ohne Glattheitsanforderungen an f (für
autonome ODE):
Numerische
Mathemtik
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird f als global Lipschitz-stetig angenommen, vgl. Beweis
zu Lemma 2.2.7:
∃L > 0: ‖f(z)−f(w)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀z,w ∈ D . (2.2.14)
Mitg i aus den äquivalenten Inkrementgleichungen (2.2.6):
Inkrementfunktion:
s∑
s∑
ψ(t,y,h) = y+h b i f(g j ) , g i = y+h a ij f(g j ) . (2.2.15)
j=1
j=1
Wähle y,z ∈ D und definiere (für hinreichend kleines h, siehe Lemma 2.2.7) g y i ,gz i
∈ R d als
Lösungen von
g y s∑
i = y+ a ij f(g y j ) ,
j=1
, i = 1,...,s .
s∑
gi z = z+ a ij f(gj z ) .
j=1
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 156