Beispiel - SAM - ETH Zürich

Klar ist p(A) =
s∑
c j A j ∑
für Polynomp ∈ P s ,p(z) = s
j=1
Für rationale Funktion
s∑
falls
s∑
j=1
R(z) =
j=1
s∑
j=1
p j z j
q j A j invertierbar.
Istf(z) = ∞ ∑
i=0
q j z j R(A) =
⎛
⎝
s∑
j=1
j=1
q j A j ⎞
⎠−1 ⎛ ⎝
c j z j .
s∑
j=1
a j z j eine Potenzreihe mit Konvergenzradiusρ > 0, so ist
f(A) :=
∞∑
a j A j wohldefiniert für ‖A‖ < ρ .
p j A j ⎞
⎠ , (3.1.18)
i=0
So lassen sich transzendente Funktionen von Matrizen, wie etwa die Matrixexponentialfunktion
(1.3.14) definieren.
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Für alle oben eingeführten Matrixfunktionen gilt, vgl. 1.3.15,
A = S −1 BS ⇒ f(A) = S −1 f(B)S ∀A,B ∈ C d,d , S ∈ C d,d regulär . (3.1.19)
3.1
p. 338