Beispiel - SAM - ETH Zürich

Bemerkung 2.3.15 (Autonomisierungsinvarianz von Runge-Kutta-Verfahren).
Eine weitere Transformation einer ODE: Autonomisierung → Bem. 1.1.7
△
Numerische
Mathemtik
Auch hier stellt sich die Frage, wann “RK-ESV mit Autonomisierung kommutieren”, vgl. Bem. 2.3.13.
( ( )
y y
s)
s)
Autonomisierung:
ẏ = f(t,y) ,
y(t 0 ) = y 0
⇒ ż :=
▼
˙
=
( ) f(s,y)
1
Evolutionen: Φ t,t+h ↔ ̂Φ h ,
Diskrete Evl.: Ψ t,t+h
h
↔ ̂Ψ h h .
Wunsch:
(
Φ t,t+h )
y
t+h
▼
=: g
= ̂Φ h( )
y
(Ψ t,t+h
) (
h
y
=
t t+h
̂Ψ h y
h t)
,
(
y(0)
s(0)
(2.3.16) kann wieder durch durch ein kommutierendes Diagramm ausgedrückt werden:
=
(
y0
t 0
)
. (2.3.16)
.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
ẏ = f(t,y)
⏐
↓
RK-ESV
Autonomisierung
−−−−−−−−−−→ ż = g(z)
⏐
⏐
↓RK-ESV
(y k ) k
ŷ k :=( y k tk
)
−−−−−−→ (ŷ k ) k .
2.3
p. 232