Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Lemma 4.2.2 (Volumenerhaltende Abbildungen).
Eine stetig differenzierbare Abbildung Φ : D ⊂ R d ↦→ R d ist genau dann volumenerhaltend,
wenn|detDΦ(y)| = 1 für alley ∈ D.
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Numerische
Mathemtik
Beweis. Nach dem Transformationssatz für Integrale:
∫ ∫
Vol(Φ(V)) = 1dx =
Φ(V) V
|detDΦ(y)|dy .
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Theorem 4.2.3 (Satz von Liouville).
Sei f : D ⊂ R d ↦→ R d stetig differenzierbar. Genau dann wenn divf(y) = 0 für jedesy ∈ D,
ist die zuẏ = f(y) gehörige EvolutionΦ t volumenerhaltend, d.h.
R. Hiptmair
✩rev 35327,
24. Juni
2011
∀V ⊂ D kompakt: ∃δ > 0: Vol(Φ t (V)) = Vol(V) ∀0 ≤ t < δ .
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✎ Notation: Divergenz divf(y) = d ∑
j=1
∂f i
∂y i
(y) = traceDf(y), mitf = (f 1 ,...,f d ) T
4.2
p. 447