Beispiel - SAM - ETH Zürich

Erinnerung: Eine AbbildungV : R d ↦→ R heisst konvex, falls
Numerische
Mathemtik
V(ξx+(1−ξ)y) ≤ ξV(x)+(1−ξ)V(y) ∀0 ≤ ξ ≤ 1 . (3.3.3)
Erinnerung: EineC 1 -Funktionϕ : R ↦→ R is genau dann konvex, wennϕ ′ monoton steigt.
Offensichtliche Konsequenz aus (3.3.3): Ist V : R d ↦→ R konvex, so gilt das für jeden “Schnitt”
τ ↦→ V(y+τ(x−y)),x,y ∈ R d .
d
dτ
C 1 -PotentialV : R d ↦→ R konvex
⇕
ϕ monoton steigend fürϕ(τ) := V(y+τ(x−y)) ∀x,y ∈ Rd
⇕
(gradV(x)−gradV(y)) T (x−y) ≥ 0 ∀x,y ∈ R d .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.3
p. 354