Beispiel - SAM - ETH Zürich

✎ Notationen: ỹ ˆ= Lösung des AWP ˙ỹ =˜f h,lopt (ỹ),ỹ(0) = y 0
(
y h k
)k := ((Ψ h ) k y 0
)
(l opt aus (4.4.80) mitC 2 aus Thm. 4.4.66 bzgl.K)
k , k ∈ {0,...,[ T/h]}: Gitterfunktion erzeugt durch das
Einschrittverfahren mit Schrittweiteh > 0 (numerische Näherungslösung)
Numerische
Mathemtik
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Lemma 4.4.82 (Konvergenz der optimal abgeschnittenen modifizierten Gleichung).
Es gebe eine kompakte UmgebungK ⊂ D vony 0 , so dassy h k
wennhhinreichend klein.
Es gelten die Voraussetzungen von Thm. 4.4.66 (Analytizitätsannahme).
∈ K für allek ∈ N,
Die diskrete Evolution zum ESV besitze die DarstellungΨ h y = y+hψ(y,h) mit einer
aufK gleichmässig Lipschitz-stetigen Inkrementfunktionψ, d.h., vgl. 2.1.24,
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R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
∃L > 0: ‖ψ(z,h)−ψ(w,h)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀z,w ∈ K, |h| hinreichend klein.
Dann gibt esh 0 > 0 und vonh 0 unabhängige KonstantenC > 0,γ > 0 so, dass
∥
∥ỹ(hk)−yk
h ∥ ≤ C(exp(hkL)−1)exp(−γ/h) ∀k ∈ {0,...,[T/h]} , ∀0 < h < h 0 .
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4.4
p. 540