Beispiel - SAM - ETH Zürich

Numerische
Mathemtik
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Theorem 3.1.6 (Stabilitätsfunktion von Runge-Kutta-Verfahren).
Die diskrete Evolution Ψ h λ
zu einem s-stufigen Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5)
mit Butcher-Schema c A bT (siehe (2.3.6)) für die ODE ẏ = λy ist ein Multiplikationsoperator
der Form
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Ψ h λ = 1+zbT (I−zA) −1 1
} {{ }
Stabilitätsfunktion S(z)
= det(I−zA+z1bT )
det(I−zA)
, z := λh , 1 = (1,...,1) T ∈ R s .
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R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Bemerkung 3.1.7 (Interpretation der Stabilitätsfunktion).
Ψ h λ y = S(z)y = (1+λhbT (I−λhA) −1 1)y
Φ h λ = eλh
Diskrete Evolution
(Kontinuierliche) Evolution
➣
S(z) ≈ exp(z): Stabilitätsfunktion = Approximation der Exponentialfunktion (um0).
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3.1
p. 327