Beispiel - SAM - ETH Zürich

mit KompaktumK ⊂ D, für das (rückblickend) angenommen werden kann, dassy h (τ) ∈ K für alle
t ≤ τ ≤ t+h. Dann für alley,z ∈ (C 0 ([t,t+h])) d ,y(τ),z(τ) ∈ K ∀t ≤ τ ≤ t+h,
Numerische
Mathemtik
‖F(y(·))−F(z(·))‖ ∞ ≤ h‖P(f(·.,y(·))−f(·,z(·)))‖ ∞
(2.2.29)
≤ h‖P‖L‖y(·)−z(·)‖ .
|h| < 1
‖P‖L
⇒ F ist Kontraktion.
Für hinreichend kleines|h| bleibtF(y(·)) in einer Umgebung der konstanten Funktiony 0 , wenny(·)
daraus gewählt wird.
Damit sind die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes Thm. 2.2.9 erfüllt.
✎ Notation: τ ↦→ y(τ) ˆ= Lösung des AWP ẏ = f(t,y),y(t) = y 0 ∈ D,
τ ↦→ y h (τ) ˆ= Lösung von (2.2.24) (zu Anfangswerty 0 )
✷
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 168