Beispiel - SAM - ETH Zürich

Beweis.
(Analog zum Beweis von Lemma 2.2.7, Kontraktionsargument)
Wir müssen die eindeutige Lösbarkeit der Definitionsgleichung (2.2.24) für die Funktiony h zeigen.
Numerische
Mathemtik
Technik: Banachscher Fixpunktsatz Thm. 2.2.9 angwandt auf Fixpunktgleichung (2.2.26), vgl. Beweis
von Thm. 1.3.4.
y h (τ) = F(y h ) , F(y h )(τ) := y 0 +
∫ τ
t
P(f(·,y h (·)))(ξ)dξ , t ≤ τ ≤ t+h . (2.2.28)
Beachte: Abbildungseigenschaft F : (C 0 ([t,t+h])) d ↦→ (C 0 ([t,t+h])) d
Erinnerung an Analysis: ➣ (C 0 ([t,t+h]),‖·‖ ∞ ) ist Banachraum !
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Lokale Lipschitz-Bedingung & Kompaktheitsargument, vgl. Beweis von Thm. 2.1.19
∃L > 0: ‖f(τ,z)−f(τ,w)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀t ≤ τ ≤ t+h , ∀z,w ∈ K ⊂ D , (2.2.29)
2.2
p. 167